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1、1第三章第三章 扭扭 转转 31 工程实际中的扭转问题工程实际中的扭转问题32 扭转时的内力扭转时的内力33 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转34 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形35 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算231 工程实际中的扭转问题工程实际中的扭转问题P PP P一一 工程实例工程实例 A:攻丝手柄攻丝手柄 B:联轴器联轴器二二 受力特点受力特点 构件两端受到两个在垂直于轴线构件两端受到两个在垂直于轴线平面内的力偶作用，两力偶大小平面内的力偶作用，两力偶大小相等，转向相反。相等，转向相反。3mmOBA扭转角（扭转角（AB）：）：B截面绕轴线相对截面绕轴
2、线相对A截面转动的角位移。截面转动的角位移。剪应变（剪应变（）：）：直角的改变量。直角的改变量。三三变形特点变形特点 各横截面绕轴线发生相对转动各横截面绕轴线发生相对转动 即：任意两截面间有相对的角位移即：任意两截面间有相对的角位移 扭转角扭转角ABO AB4四四 轴轴工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。石油钻机中的钻杆等。传动轴传动轴532 扭转时的内力扭转时的内力一一 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系其中：其中：P 功率，千瓦（功
3、率，千瓦（kW）n 转速，转转速，转/分分（rpm）63 扭矩的符号规定：扭矩的符号规定：右手螺旋规则：与外法线方向一致为正右手螺旋规则：与外法线方向一致为正二二 扭矩扭矩 1 扭矩：扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。mmmTxmm4 简便算法简便算法 扭矩等于截面一侧所有外力偶矩的代数和。扭矩等于截面一侧所有外力偶矩的代数和。2 截面法求扭矩截面法求扭矩7三三 扭矩扭矩图图 扭矩图表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。扭矩图表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。1 直观表示扭矩变化规律；直观表示扭矩变化规律；2|T|max值及其
4、截面位置值及其截面位置 强度计算（危险截面）强度计算（危险截面）。xT意意 义义8例例1 已知一传动轴，已知一传动轴，n=300r/min，主动轮输入主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试画扭矩图。，试画扭矩图。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩9nA B C Dm2 m3 m1 m4112233求扭矩求扭矩x10扭矩图扭矩图BC段为危险截面。段为危险截面。xTnA B C Dm2 m3 m1 m44.789.566.371133 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚壁厚
5、（r0：为平均半径）为平均半径）一一 实验：实验：1 实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶施加一对外力偶 m。122 实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线变成斜直线纵向线变成斜直线。3 结论：结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。变，只是绕轴线作了相对转动。各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。13圆周线无平移，无轴向变形，假设无轴向正应力圆周线无平移，无轴向变形，假设
6、无轴向正应力周向线仍为圆形，假设无径向正应力周向线仍为圆形，假设无径向正应力纵向线倾斜角度相同，假设各截面都有切应力，环向均布纵向线倾斜角度相同，假设各截面都有切应力，环向均布壁很薄，切应力径向也是均匀分布的壁很薄，切应力径向也是均匀分布的4 抽象假设抽象假设 145 薄壁圆筒切应力薄壁圆筒切应力 A0：平均半径所作圆的面积平均半径所作圆的面积15二二 切应力互等（双生）定理切应力互等（双生）定理 在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向
7、则共同指向或共同背离该交线。或共同背离该交线。acddxb dy tz单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为力状态称为纯剪切应力状态纯剪切应力状态。16三三 剪切虎克定律剪切虎克定律l1 与与 的关系的关系2 剪切虎克定律剪切虎克定律 当当 p，剪应力与剪应变成正比关系，剪应力与剪应变成正比关系GPa剪切弹性模量剪切弹性模量17 T=m18 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系常数。对各向同性材料，这
8、三个弹性常数之间存在下列关系1934 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形一一 等直圆杆横截面应力等直圆杆横截面应力变形几何方面变形几何方面物理关系方面物理关系方面静力学方面静力学方面20无数薄壁圆筒无数薄壁圆筒表表里里21 1.平截面假设；平截面假设；2.轴向无伸缩；轴向无伸缩；3.纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。等直圆杆扭转实验观察：等直圆杆扭转实验观察：221 变形几何关系变形几何关系距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与该点到圆心的距离与该点到圆心的距离 成正比成正比常数常数232 应力应变关系应力应变关系虎克定律：虎克定律：代入上式得：代入上式得：？243 静
9、力平衡关系静力平衡关系令令代入物理关系式代入物理关系式 OdA截面性质截面性质扭转变形公式扭转变形公式扭转应力公式扭转应力公式25二二 扭转时的变形扭转时的变形或或1 单位长度扭转角单位长度扭转角2 扭转角扭转角抗扭刚度抗扭刚度注：注：1）两个截面的相对扭转角）两个截面的相对扭转角2）l 段内段内T G Ip 均为常数均为常数265 公式讨论公式讨论 仅适用于各向同性、线弹性材料，小变形圆截面直杆。仅适用于各向同性、线弹性材料，小变形圆截面直杆。式中：式中：T横截面上的扭矩，通过外力偶矩可求。横截面上的扭矩，通过外力偶矩可求。该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。Ip截面极惯性矩，纯几何量，无物
10、理意义。截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。单位：单位：mm4，m4。27 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是只是Ip值不同。值不同。a.实心圆截面：实心圆截面：b.空心圆截面：空心圆截面：dDO28 应力分布应力分布（实心截面）（实心截面）（空心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。结构轻便，应用广泛。29 最大切应力：最大切应力：由由知：当知：当抗扭截面系数（抗扭截面模量）抗扭截面系数（抗扭截面模量）单位：单位：mm3
11、或或m3。实心圆截面：实心圆截面：空心圆截面：空心圆截面：30 例例1 一轴一轴AB传递的功率为传递的功率为Nk=7.5kw,转速转速=360r/min。如图。如图D=3cm，d=2cm。求。求AC段横截面边缘处以及段横截面边缘处以及CB段横截面外边段横截面外边缘和内边缘处的切应力。缘和内边缘处的切应力。解解：（1 1）计算扭矩）计算扭矩）计算扭矩）计算扭矩 （2 2）计算极惯性矩）计算极惯性矩）计算极惯性矩）计算极惯性矩 外力偶矩外力偶矩扭矩扭矩AC段段BC段段31 （3 3）计算应力）计算应力）计算应力）计算应力CB段横截面内、外边缘处的切应力段横截面内、外边缘处的切应力AC段轴横截面边缘
12、处的切应力段轴横截面边缘处的切应力32一一 强度计算强度计算1 强度条件：强度条件：等截面圆轴：等截面圆轴：2 应用应用 校核强度：校核强度：设计截面尺寸：设计截面尺寸：计算许可载荷：计算许可载荷：35 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算许用切应力许用切应力33二二 刚度条件刚度条件1 单位长度的转角单位长度的转角2 应用应用 校核刚度：校核刚度：设计截面尺寸：设计截面尺寸：计算许可载荷：计算许可载荷：许用单位扭转角许用单位扭转角34 例例2 功率为功率为150150kW，转速为转速为15.415.4转转/秒的电动机转子轴如图，秒的电动机转子轴如图，许许用切应力用切应力 =3
13、0=30M PaPa，试校核其强度。试校核其强度。解：解：求扭矩及扭矩图求扭矩及扭矩图计算并校核强度计算并校核强度此轴满足强度要求此轴满足强度要求D3=135D2=75D1=70TmxABCmm35 例例3 长为长为 L=2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，的作用，如图，若杆的内外径之比为若杆的内外径之比为 =0.8=0.8，G=80=80GPa ，许用切应力，许用切应力 =30=30MPa，试设计杆的外径；若试设计杆的外径；若 =2/=2/m ，试校核此杆的试校核此杆的刚度，并求右端面转角。刚度，并求右端面转角。解：解：设计杆的外径设计杆的外径3640Nm
14、xT代入数值得：代入数值得：D 0.0226m。由扭转刚度条件校核刚度由扭转刚度条件校核刚度3740NmxT右端面转角右端面转角为：为：38例例4解：解：1）按强度设计）按强度设计2）按刚度设计）按刚度设计 故故39 例例5 某传动轴设计要求转速某传动轴设计要求转速n=500 r/min，输入功率输入功率N1=500 马力，马力，输输出功率分别出功率分别 N2=200马力及马力及 N3=300马力，已知：马力，已知：G=80GPa，=70M Pa，=1/m ，试确定：试确定：AB 段直径段直径 d1和和 BC 段直径段直径 d2？若全轴选同一直径，应为多少？若全轴选同一直径，应为多少？主动轮与
15、从动轮如何安排合理？主动轮与从动轮如何安排合理？解：解：扭矩如图扭矩如图 500400N1N3N2ACBTx7.024 4.21(kNm)40500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm)1）由强度条件由强度条件41 综上：综上：全轴选同一直径时全轴选同一直径时2）由刚度条件由刚度条件42 轴上扭矩的轴上扭矩的绝对值绝对值最大最大的的越小越越小越合理，所以，合理，所以，1轮和轮和2轮应轮应 该该换换位。位。换位后换位后,轴的扭矩如图所示轴的扭矩如图所示,此时此时,轴的最大直径才轴的最大直径才 为为 75 75mm。Tx 4.21(kNm)2.81443本章作业本章作业第一次：第一次：3-2，3-3第二次：第二次：3-4，3-5，3-6，3-74445