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1、第二章第二章 测量误差分析与处理测量误差分析与处理u当当对对同同一一量量进进行行多多次次等等精精度度重重复复测测量量，得得到到一一系列不同的测量值，称为系列不同的测量值，称为测量列测量列。u利利用用统统计计学学的的方方法法，从从理理论论上上来来估估计计随随机机误误差差对对测测量量结结果果的的影影响响，也也就就是是首首先先从从测测量量列列中中求求得得一一个个最最优优概概值值，然然后后对对最最优优概概值值的的测测量量误误差差作出估计，得出测量值，这就是作出估计，得出测量值，这就是数据处理数据处理。第一节第一节 随机误差的分布规律随机误差的分布规律 一、随机误差的正态分布性质一、随机误差的正态分布性
2、质n测定值的随机性表明了测量误差的随机性质。测定值的随机性表明了测量误差的随机性质。n随机误差就其个体来说变化是无规律的，但随机误差就其个体来说变化是无规律的，但在总体上却遵循一定的统计规律。在总体上却遵循一定的统计规律。u测量列中的随机误差：测量列中的随机误差：i=xiX0式中式中,i 测量列的随机误差，测量列的随机误差，i=1，2，3，n；xi 测量列的测量值；测量列的测量值；X0 被测量的真值。被测量的真值。u随机误差分布的性质随机误差分布的性质u有有界界性性：在在一一定定的的测测量量条条件件下下，测测量量的的随随机机误误差差总总是是在在一一定定的的、相相当当窄窄的的范范围围内内变变动动
3、，绝绝对对值值很很大大的的误误差差出出现现的的概概率率接接近近于于零。零。u单单峰峰性性：绝绝对对值值小小的的误误差差出出现现的的概概率率大大，绝绝对对值值大大的的误误差差出出现现的的概概率率小小，绝绝对对值值为为零零的的误误差差出出现现的的概概率率比比任任何何其其它它数数值值的的误误差出现的概率都大。差出现的概率都大。u对对称称性性：绝绝对对值值相相等等而而符符号号相相反反的的随随机机误差出现的概率相同，其分布呈对称性。误差出现的概率相同，其分布呈对称性。u抵抵偿偿性性：在在等等精精度度测测量量条条件件下下，当当测测量量次次数数不不断断增增加加而而趋趋于于无无穷穷时时，全全部部随随机机误差的
4、算术平均值趋于零。误差的算术平均值趋于零。u正态分布的正态分布的分布密度函数分布密度函数为为 式中，式中，标准误差（均方根误差）；标准误差（均方根误差）；e e 自然对数的底。自然对数的底。u如用测定值如用测定值x x本身来表示，则本身来表示，则二、正态分布密度函数与概率积分二、正态分布密度函数与概率积分u对对于于一一定定的的被被测测量量，在在静静态态情情况况下下，X X0 0是是一一定定的的，的的大大小小表表征征着着诸诸测测定定值值的的弥散程度。弥散程度。u值值越越小小，正正态态分分布布密密度度曲曲线线越越尖尖锐锐，幅幅值值越越大大；值值越越大大，正正态态分分布布密密度度曲曲线越平坦，幅值越
5、小。线越平坦，幅值越小。u可可用用参参数数来来表表征征测测量量的的精精密密度度，越越小，表明测量的精密度越高。小，表明测量的精密度越高。u并不是一个具体的误差并不是一个具体的误差，它的数值大小只，它的数值大小只说明了在一定条件下进行一列等精度测量时，说明了在一定条件下进行一列等精度测量时，随机误差出现的概率密度分布情况。随机误差出现的概率密度分布情况。u在一定条件下进行等精度测量时，任何单次在一定条件下进行等精度测量时，任何单次测定值的误差测定值的误差i i可能都不等于可能都不等于，但我们认，但我们认为为这列测定值具有同样的均方根误差这列测定值具有同样的均方根误差；而；而不同条件下进行的两列等
6、精度测量，一般来不同条件下进行的两列等精度测量，一般来说具有不同的说具有不同的值。值。u随机误差出现的性质决定了人们不可能随机误差出现的性质决定了人们不可能正确地获得单个测定值的真误差正确地获得单个测定值的真误差i i的数的数值，而只能在一定的概率意义之下估计测量值，而只能在一定的概率意义之下估计测量随机误差数值的范围，或者求得误差出现于随机误差数值的范围，或者求得误差出现于某个区间的概率。某个区间的概率。u将正态分布密度函数积分将正态分布密度函数积分u概率积分概率积分若令若令a=z，则，则第二节第二节 直接测量误差分析与处理直接测量误差分析与处理u子样平均值：子样平均值：代表由代表由n个测定
7、值个测定值x1,x2,xn组成的子样的散布中心组成的子样的散布中心u子样方差：子样方差：描述子样在其平均值附近散布描述子样在其平均值附近散布程度程度一、算术平均值原理一、算术平均值原理 u测定值子样的算术平均值是被测量真值的最测定值子样的算术平均值是被测量真值的最佳估计值。佳估计值。u算术平均值的意义算术平均值的意义 设设x x1 1、x x2 2、，x xn n为为n n次测量所得的值，则次测量所得的值，则算术平均值算术平均值 为为 u算术平均值的性质算术平均值的性质 用算术平均值代替被测量的真值，则有用算术平均值代替被测量的真值，则有 式中式中 vi xi的剩余误差；的剩余误差；xi 第第
8、i个测量值，个测量值，i=1，2，n。（1 1）剩余误差的代数和等于零，即）剩余误差的代数和等于零，即 （2 2）剩余误差的平方和为最小，即）剩余误差的平方和为最小，即u测定值子样平均值的均方根误差是测定值测定值子样平均值的均方根误差是测定值母体均方根误差的母体均方根误差的 倍。倍。u在等精度测量条件下对某一被测量进行多在等精度测量条件下对某一被测量进行多次测量，用测定值子样平均值估计被测量次测量，用测定值子样平均值估计被测量真值比用单次测量测定值估计具有真值比用单次测量测定值估计具有更高更高的的精密度。精密度。二、二、贝塞尔公式贝塞尔公式 u因因为为真真值值X X0 0为为未未知知，所所以以
9、必必须须用用残残差差v vi i来来表示，即表示，即 此式称此式称贝塞尔公式贝塞尔公式。三、测量结果的置信度三、测量结果的置信度 假设用假设用 对对进行估计的误差为进行估计的误差为 ，那么，那么 。对于某一指定的区间。对于某一指定的区间,，落在该区落在该区间内的概率为间内的概率为 。同样地，可以求得测定值子样平均值同样地，可以求得测定值子样平均值 落落在区间在区间,的概率为的概率为u 表示表示“测定值子样平均测定值子样平均值这一随机变量出现于一个固定区间内值这一随机变量出现于一个固定区间内 ”这一事件的概率；这一事件的概率；u 表示表示“在宽度一定作随在宽度一定作随机变动的随机区间机变动的随机
10、区间 内内包含被测量真值包含被测量真值”这一事件的概率。这一事件的概率。u定义区间定义区间 为测量结果的为测量结果的置信区间置信区间，也称为置信限，也称为置信限u为为置信区间半长置信区间半长，也称为误差限，也称为误差限u概率概率 为测量为测量真值经过在置信区间真值经过在置信区间 内内的的置信概率置信概率。u危险率危险率：u置信区间与置信概率共同表明了测量结置信区间与置信概率共同表明了测量结果的果的置信度置信度，即测量结果的可信程度。，即测量结果的可信程度。u对于同一测量结果，置信区间不同，其对于同一测量结果，置信区间不同，其置信概率是不同的。置信概率是不同的。u置信区间越宽，置信概率越大；反之
11、亦置信区间越宽，置信概率越大；反之亦然。然。u一列等精度测量的结果可以表达为在一定一列等精度测量的结果可以表达为在一定的置信概率之下，以测定值子样平均值为的置信概率之下，以测定值子样平均值为中心，以置信区间半长为误差限的量中心，以置信区间半长为误差限的量 测量结果子样平均值测量结果子样平均值置信区间半长（置置信区间半长（置信概率信概率P？）？）例题例题1：在等精度测量条件下对某透平机械的在等精度测量条件下对某透平机械的转速进行了转速进行了20次测量，获得如下的一列测次测量，获得如下的一列测定值（单位：定值（单位：r/min）4753.1 4757.5 4752.7 4752.8 4752.1
12、4749.2 4750.6 4751.0 4753.9 4751.2 4750.3 4753.3 4752.1 4751.2 4752.3 4748.4 4752.5 4754.7 4650.0 4751.0 试求该透平机转速（设测量结果的置信概试求该透平机转速（设测量结果的置信概率率P95）。）。u在实际测量工作中，并非任何场合下都能在实际测量工作中，并非任何场合下都能对被测量进行多次测量，而多为单次测量。对被测量进行多次测量，而多为单次测量。如果知道了在某种测量条件下测量的精密如果知道了在某种测量条件下测量的精密度参数，而且在同样的测量条件下取得单度参数，而且在同样的测量条件下取得单次测量
13、的测定值，那么次测量的测定值，那么单次测量情况下测单次测量情况下测量结果的表达式量结果的表达式为：为：测量结果单次测定值测量结果单次测定值置信区间半长置信区间半长（置信概率（置信概率P P？）？）例题例题2 2：对例对例1 1所述的透平机转速测量，设测所述的透平机转速测量，设测量条件不变，单次测量的测定值为量条件不变，单次测量的测定值为4753.1 4753.1 r/minr/min，求该透平机转速（测量结果的置信，求该透平机转速（测量结果的置信概率概率P P9595）。）。在同样的置信概率下，用单次测定值在同样的置信概率下，用单次测定值表示测量结果比用多次测量所获得的测定表示测量结果比用多次
14、测量所获得的测定值子样平均值表示的误差大。值子样平均值表示的误差大。四、测量结果的误差评价四、测量结果的误差评价u标准误差标准误差u若测量结果用单次测定值表示，误差限若测量结果用单次测定值表示，误差限采用标准误差，则采用标准误差，则 测量结果单次测定值测量结果单次测定值x标准误差标准误差 （P=68.3%）u若测量结果用测定值子样平均值表示，若测量结果用测定值子样平均值表示，误差限采用标准误差，则误差限采用标准误差，则 测量结果子样平均值测量结果子样平均值x标准误差标准误差 （P=68.3%）u极限误差极限误差u测量列标准误差的三倍，定义为测量列测量列标准误差的三倍，定义为测量列的极限误差的极
15、限误差u子样平均值的极限误差与测量列极限误子样平均值的极限误差与测量列极限误差的关系是差的关系是五、小子样误差分析与五、小子样误差分析与t分布分布 当当测测量量次次数数很很少少时时，子子样样平平均均值值的的标标准准误误差差很很不不准准确确，并并且且子子样样容容量量愈愈小小，这这种种情情况况就就愈严重。愈严重。为为了了在在未未知知的的情情况况下下，根根据据子子样样平平均均值值估估计计被被测测量量真真值值，就就须须考考虑虑一一个个统统计计量量。它它的的分分布布只只取取决决于于子子样样容容量量n n，而而与与无无关关。这这时时需引入需引入统计量统计量t t。u定义定义t为为ut不不服服从从正正态态分
16、分布布，而而服服从从t分分布布，其其概概率率密密度度函数为函数为式式中中，是是特特殊殊函函数数，v是是正正整整数数，称称为为t分分布布的自由度。的自由度。u当进行当进行n n次独立测量时，由于次独立测量时，由于t t受平均值受平均值的约束，服从自由度为的约束，服从自由度为n n1 1的的t t分布，所分布，所以以 n n1 1。ut t分布与母体均方根误差分布与母体均方根误差无关，只与子无关，只与子样容量样容量n n有关。有关。u表中列有在各种自由度和置信概率下，满足式表中列有在各种自由度和置信概率下，满足式 的的tp值值。它它表表明明自自由由度度为为v的的t分布在区间分布在区间tp，tp内的
17、概率为内的概率为P。u假假设设一一列列等等精精度度独独立立测测定定值值x1，x2，xn服服从从正正态态分分布布，真真值值和和均均方方根根误误差差均均未未知知。根根据据这这一一列列测测定定值值可可求求得得算算术术平平均均值值及及其其均均方方根根误误差差的估计值：的估计值：u由于由于 服从自由度服从自由度v=n1的的t分布，所以分布，所以可用上式做以下的概率描述可用上式做以下的概率描述或或u测量结果可表示为：测量结果可表示为：测量结果测量结果例例3 3 用光学高温计测量某金属铸液的温用光学高温计测量某金属铸液的温度，得到如下度，得到如下5 5个测量数据（个测量数据（）：）：975975，10051
18、005，988988，993993，987987 设金属铸液温度稳定，测温随机误差属设金属铸液温度稳定，测温随机误差属于正态分布。试求铸液的实际温度（取于正态分布。试求铸液的实际温度（取P P9595）。）。解：解：根据根据P P9595和和v v4 4，查表得，查表得t tp p2.782.78，则测，则测量结果为量结果为u若上例用正态分布求取给定置信概率下若上例用正态分布求取给定置信概率下的置信温度区间是的置信温度区间是980.6,999.0，这要比，这要比由由t分布求得的区间分布求得的区间小小。u这表明，在测量次数较少的情况下，用这表明，在测量次数较少的情况下，用正态分布计算误差限，往往
19、会正态分布计算误差限，往往会得到得到“太太好好”的结果，夸大了测量结果的精密度的结果，夸大了测量结果的精密度。因此，对小子样的误差分析，应采用因此，对小子样的误差分析，应采用t分分布处理。布处理。第三节第三节 粗大误差粗大误差u粗大误差是指不能用测量客观条件解释粗大误差是指不能用测量客观条件解释为合理的那些突出误差，它明显地歪曲为合理的那些突出误差，它明显地歪曲了测量结果。了测量结果。u含有粗大误差的测定值称为坏值，应予含有粗大误差的测定值称为坏值，应予以剔除。以剔除。u产生粗大误差的原因：产生粗大误差的原因：u测量者的主观原因测量者的主观原因u客观外界条件的原因客观外界条件的原因一、拉伊特准
20、则拉伊特准则u拉拉伊伊特特准准则则(3(3准准则则)：如如果果测测量量列列中中某某一一测测定定值值残残差差v vi i的的绝绝对对值值大大于于该该测测量量列列标标准准误误差差的的3 3倍倍，那那么么可可认认为为该该测测量量列列中中有有粗大误差存在，且该测定值为坏值。粗大误差存在，且该测定值为坏值。u坏坏值值剔剔除除后后，应应重重新新计计算算新新测测量量列列的的算算术术平平均均值值及及标标准准误误差差，并并再再次次进进行行检检验验看看余下的数据中是否还含有坏值余下的数据中是否还含有坏值。u拉伊特准则是判定粗大误差存在的一种最拉伊特准则是判定粗大误差存在的一种最简单的方法。简单的方法。u拉伊特准则
21、是在重复测量次数拉伊特准则是在重复测量次数n n趋于无穷大趋于无穷大的前提下建立的，当的前提下建立的，当n n有限时，尤其是当有限时，尤其是当n n很小时（如很小时（如n10n10），此准则就不可靠。），此准则就不可靠。二、格拉布斯准则二、格拉布斯准则 对对某某一一被被测测量量进进行行多多次次等等精精度度独独立立测测量量，获得一列测定值获得一列测定值x1，x2，xn。为为了了检检查查测测定定值值中中是是否否含含有有粗粗大大误误差差，将将xi由小到大按顺序排列为由小到大按顺序排列为格拉布斯按照数理统计理论导出了统计量格拉布斯按照数理统计理论导出了统计量的分布，取定危险率的分布，取定危险率a a，
22、可求得临界值，可求得临界值g g0 0(n,a)(n,a)，而而 这样，得到了判定粗大误差的格拉布斯这样，得到了判定粗大误差的格拉布斯准则：若测量列中最大测定值或最小测定值准则：若测量列中最大测定值或最小测定值的残差有满足的残差有满足 者，则可认为含有残差者，则可认为含有残差v vi i的测定值是坏值，的测定值是坏值，因此该测定值按危险率因此该测定值按危险率a a应该剔除。应该剔除。u用格拉布斯准则判定测量列中是否含有粗用格拉布斯准则判定测量列中是否含有粗大误差的坏值时，选择不同的危险率可能大误差的坏值时，选择不同的危险率可能得到不同的结果。得到不同的结果。u危险率的含义是按本准则判定为异常数
23、据，危险率的含义是按本准则判定为异常数据，而实际上并不是，从而犯错误的概率。而实际上并不是，从而犯错误的概率。u危险率就是误剔除的概率。危险率就是误剔除的概率。例例5 5 测某一介质温度测某一介质温度15次，得到以下一次，得到以下一列测定值数据（列测定值数据（）：）：20.42，20.43，20.40，20.43，20.42，20.43，20.39，20.30，20.40，20.43，20.42，20.41，20.39，20.39，20.40 试判断其中有无含有粗大误差的坏值。试判断其中有无含有粗大误差的坏值。解：解：(1)按大小顺序将测定值重新排列按大小顺序将测定值重新排列20.30，20.
24、39，20.39，20.39，20.40，20.40，20.40，20.41，20.42，20.42，20.42，20.43，20.43，20.43，20.43(2)计算子样平均值和测量列标准误差计算子样平均值和测量列标准误差(3)(3)选取选取a a5 5，查表得，查表得g g0 0(15,5(15,5)2.412.41(4)(4)计算最大与最小测定值的残差，并用格拉布计算最大与最小测定值的残差，并用格拉布斯准则判定斯准则判定因因故故x x(1)(1)20.3020.30在在a a5 5下被判定为坏值而剔除。下被判定为坏值而剔除。(5)(5)剔除含有粗大误差的坏值后，重新计算余下测剔除含有粗
25、大误差的坏值后，重新计算余下测定值的算术平均值和标准误差，查表求新的临定值的算术平均值和标准误差，查表求新的临界值，再进行判定。界值，再进行判定。故余下的测定值中已无粗大误差的坏值。故余下的测定值中已无粗大误差的坏值。系统误差与随机误差在性质上是不同系统误差与随机误差在性质上是不同的，它的出现具有一定的规律性，不能的，它的出现具有一定的规律性，不能像随机误差那样依靠统计的方法来处理，像随机误差那样依靠统计的方法来处理，只能采取具体问题具体分析的方法，通只能采取具体问题具体分析的方法，通过仔细的校验和精心的试验才能发现与过仔细的校验和精心的试验才能发现与消除。消除。第四节第四节 系统误差的分析与
26、处理系统误差的分析与处理 设有一列测定值设有一列测定值x x1 1，x x2 2，x xn n，若，若测定值测定值x xi i中含有系统误差中含有系统误差i i，消除系统误，消除系统误差之后其值为差之后其值为x xi i，则，则x xi i=x=xi i+i i，其，其算术平均值为算术平均值为 式中，式中，是消除系统误差之后的一列测定是消除系统误差之后的一列测定值的算术平均值。值的算术平均值。一、系统误差的性质一、系统误差的性质 测定值测定值x xi i的残差的残差 式中，式中，vvi i是消除系统误差之后的测定值的残差。是消除系统误差之后的测定值的残差。由此，可以得到系统误差的两点性质：由此
27、，可以得到系统误差的两点性质：（1 1）对对恒恒值值系系统统误误差差，由由于于 ，所所以以v vi i =v vi i。由残差计算出的测量列的均方根误差。由残差计算出的测量列的均方根误差 式中，式中，是消除系统误差后测量列的均方根误差。是消除系统误差后测量列的均方根误差。因因此此，得得到到系系统统误误差差的的性性质质之之一一：恒恒值值系系统统误误差差的的存存在在，只只影影响响测测量量结结果果的的准准确确度度，不不影影响响测测量量的的精精密密度度参参数数。如如果果测测定定值值子子样样容容量量足足够够大大，含含有有恒恒值值系系统误差的测定值仍服从正态分布。统误差的测定值仍服从正态分布。(2)对对变
28、变值值系系统统误误差差，一一般般有有 ，所所以以vi vi，。因此，得到系统误差的第二个性质：因此，得到系统误差的第二个性质：变值系统误差的存在，不仅影响测量结果变值系统误差的存在，不仅影响测量结果的准确度，而且会影响测量的精密度参数。的准确度，而且会影响测量的精密度参数。二、系统误差处理的一般原则二、系统误差处理的一般原则 1 1在测量之前，应该尽可能预见到产生系统误在测量之前，应该尽可能预见到产生系统误差的来源，设法消除之。或者使其影响减少到可差的来源，设法消除之。或者使其影响减少到可以接收的程度。以接收的程度。系系统统误误差差的的来来源源一一般般可可以以归归纳纳为为以以下下几几个个方方面
29、：面：由由于于测测量量设设备备、试试验验装装置置不不完完善善，或或安安装装、调调整整，使用不得当而引起的误差。使用不得当而引起的误差。由于外界环境因素的影响而引起的误差。由于外界环境因素的影响而引起的误差。由于测量方法不正确，或者测量方法所赖以存在由于测量方法不正确，或者测量方法所赖以存在的理论本身不完善而引起的误差。的理论本身不完善而引起的误差。2 2在实际测量时，尽可能地采用有效的测量方在实际测量时，尽可能地采用有效的测量方法，消除或减弱系统误差对测量结果的影响。法，消除或减弱系统误差对测量结果的影响。（1 1）对置法：消除恒值系统误差常用的方法。对置法：消除恒值系统误差常用的方法。这种方
30、法的实质是交换某些测量条件，使得这种方法的实质是交换某些测量条件，使得引起恒值系统误差的原因以相反的方向影响测量引起恒值系统误差的原因以相反的方向影响测量结果，从而中和其影响。结果，从而中和其影响。例如，在两臂为例如，在两臂为l l1 1,l,l2 2的天平上称重，的天平上称重，先将被测重量先将被测重量x x放在左边，标准砝码放在左边，标准砝码P P放放在右边，调平衡后，有在右边，调平衡后，有 若若l l1 1与与l l2 2不严格相等，则取不严格相等，则取x xP P必引入恒值必引入恒值系统误差，此时，若将系统误差，此时，若将x x、P P交换位置，由于交换位置，由于l l1 1ll2 2，
31、P P需换为需换为P P才能与才能与x x平衡，即平衡，即 于是可取于是可取 这样可消除因天平臂长不等而引入的恒值这样可消除因天平臂长不等而引入的恒值系统误差。系统误差。（2 2）对对称称观观测测法法：消消除除线线性性变变化化的的累累进进系系统统误误差最有效的方法。差最有效的方法。若在测量过程中存在某种随时间呈线性变若在测量过程中存在某种随时间呈线性变化的系统误差，则可以通过对称观测法来消除。化的系统误差，则可以通过对称观测法来消除。它就是将测量以某一时刻为中心对称地安排，它就是将测量以某一时刻为中心对称地安排，取各对称点两次测定值的算术平均值作为测量取各对称点两次测定值的算术平均值作为测量结
32、果，即可达到消除线性变化的累进系统误差结果，即可达到消除线性变化的累进系统误差的目的。的目的。u由于许多系统误差都随时间变化，而且由于许多系统误差都随时间变化，而且在短时间内可认为是线性变化。因此，在短时间内可认为是线性变化。因此，如果条件许可均宜采用对称观测法。如果条件许可均宜采用对称观测法。（3 3）半半周周期期偶偶数数观观测测法法：可可以以很很好好地地消消除除周周期期性变化的系统误差。性变化的系统误差。周期性系统误差可表示为周期性系统误差可表示为 其其中中为为常常数数，t t 为为决决定定周周期期性性误误差差的的量量，T T为为周期性系统误差的变化周期。周期性系统误差的变化周期。当当t=
33、tt=t0 0时，周期性误差时，周期性误差0 0为为当当 时，时，而而 。可可见见，测测得得一一个个数数据据后后，相相隔隔t t的的半半个个周周期期再再测测一一个个数数据据，取取二二者者的的平平均均值值，即即可可消消去去周周期性系统误差。期性系统误差。3 3在测量之后，通过对测定值进行数据处在测量之后，通过对测定值进行数据处理，检查是否存在尚未被注意到的变值系统误理，检查是否存在尚未被注意到的变值系统误差。差。4 4最后，要设法估计出未被消除而残留下最后，要设法估计出未被消除而残留下来的系统误差对最终测量结果的影响。来的系统误差对最终测量结果的影响。三、系统误差存在与否的检验三、系统误差存在与
34、否的检验u一般情况下，人们不能直接通过对等精度测一般情况下，人们不能直接通过对等精度测量数据的统计处理来判断恒值系统误差的存量数据的统计处理来判断恒值系统误差的存在，除非改变恒值系统误差产生的测量条件；在，除非改变恒值系统误差产生的测量条件；但对于变值系统误差，有可能通过对等精度但对于变值系统误差，有可能通过对等精度测量数据的统计处理来判定变值系统误差的测量数据的统计处理来判定变值系统误差的存在。存在。u在容量相当大的测量列中，如果存在着非在容量相当大的测量列中，如果存在着非正态分布的变值系统误差，那么测定值的分正态分布的变值系统误差，那么测定值的分布将偏离正态，检验测定值分布的正态性，布将偏
35、离正态，检验测定值分布的正态性，将揭露出变值系统误差的存在。将揭露出变值系统误差的存在。u在实际测量中，往往不必作烦冗细致的正在实际测量中，往往不必作烦冗细致的正态分布检验，可以借助于考察测定值残差的态分布检验，可以借助于考察测定值残差的变化情况和利用某些较为简捷的判据来检验变化情况和利用某些较为简捷的判据来检验变值系统误差的存在。变值系统误差的存在。1 1根根据据测测定定值值残残差差的的变变化化判判定定变变值值系系统统误误差差的的存在存在 若若对对某某一一被被测测量量进进行行多多次次等等精精度度测测量量，获获得得一一系系列列测测定定值值x x1 1，x x2 2，x xn n，各各测测定定值
36、值的的残残差表示为差表示为 如如果果测测定定值值中中系系统统误误差差比比随随机机误误差差大大，那那么么，残残差差v vi i的的符符号号将将主主要要由由 项项的的符符号号来来决决定定。因因此此，如如果果将将残残差差按按照照测测量量的的先先后后顺顺序序排排列列起起来来。这些残差的符号变化将反映出这些残差的符号变化将反映出 的的符符号号变变化化，进进而而反反映映出出i i的的符符号号变变化化。由由于于变变值值系系统统误误差差i i的的变变化化具具有有某某种种规规律律，因因而而残残差差v vi i的变化也具有大致相同的规律性。的变化也具有大致相同的规律性。由此可得：由此可得：准准则则：将将测测量量列
37、列中中诸诸测测定定值值按按测测量量的的先先后后顺顺序序排排定定，若若残残差差的的大大小小有有规规律律地地向向一一个个方方向向变变化化，由由正正到到负负或或者者相相反反，则则测测量量列列中中会会有有累进的系统误差。累进的系统误差。准则准则：将测量列中诸测定值按测量的先：将测量列中诸测定值按测量的先后顺序排定，若残差的符号呈有规律的交替变后顺序排定，若残差的符号呈有规律的交替变化，则测量列中含有周期性的系统误差。化，则测量列中含有周期性的系统误差。例例6 对某恒温箱内的温度进行了对某恒温箱内的温度进行了1010次测量，次测量，一次获得如下测定值（一次获得如下测定值（）：）：20.0620.06，2
38、0.0720.07，20.0620.06，20.0820.08，20.1020.10 20.12 20.12，20.1420.14，20.1820.18，20.1820.18，20.2120.21 试判定该测量列中是否存在变值系统误试判定该测量列中是否存在变值系统误差。差。解：解：计算各测定值的残差，并按先后顺序排列如计算各测定值的残差，并按先后顺序排列如下：下：-0.06-0.06，-0.05-0.05，-0.06-0.06，-0.04-0.04，-0.02-0.02，0 0，0.020.02，0.060.06，0.060.06，0.090.09 可见，残差由负变正，其数值逐渐增大，可见，残
39、差由负变正，其数值逐渐增大，故测量列中存在累进系统误差。故测量列中存在累进系统误差。2 2利用判据来判定变值系统误差的存在利用判据来判定变值系统误差的存在 根据残差变化情况来判定变值系统误根据残差变化情况来判定变值系统误差的存在，只有在测定值所含系统误差比差的存在，只有在测定值所含系统误差比随机误差大的情况下才是有效的。否则，随机误差大的情况下才是有效的。否则，残差的变化情况并不能作为变值系统误差残差的变化情况并不能作为变值系统误差存在与否的依据。为此，还需要进一步依存在与否的依据。为此，还需要进一步依靠统计的方法来判别。下面给出几个变值靠统计的方法来判别。下面给出几个变值系统误差存在与否的判
40、据。这些判据的实系统误差存在与否的判据。这些判据的实质是以检验分布是否偏离正态为基础的。质是以检验分布是否偏离正态为基础的。判据判据1：对某一被测量进行多次等精度测量，获得对某一被测量进行多次等精度测量，获得一列测定值一列测定值x1，x2，xn，各测定值的残差依次，各测定值的残差依次为为v1，v2，vn。把前面。把前面k个残差和后面（个残差和后面（nk）个残差分别求和（当）个残差分别求和（当n为偶数时，取为偶数时，取k=n/2；当当n为奇数时，取为奇数时，取k=(n+1)/2），并取其差值），并取其差值 若差值若差值D显著地异于零，则测量列中含有累进的显著地异于零，则测量列中含有累进的系统误差
41、。系统误差。判判据据2：对对某某一一被被测测量量进进行行多多次次等等精精度度测测量量，获获得得一一列列测测定定值值x1，x2，xn，各各测测定定值值的的真真误误差依次为差依次为1，2，n。设设 ，若若 ，则则可可认认为为该该测测量量列列中中含含有有周周期期性性系系统统误误差差。其其中中是是该该测测量量列列的的均均方方根误差。根误差。判判据据2是是以以独独立立真真误误差差的的正正态态分分布布为为基基础础的的。在实际计算中，可以用残差在实际计算中，可以用残差vi来代替来代替i。例例7 试用判据试用判据1 1、2 2来判定例来判定例6 6中的测量列中的测量列是否含有系统误差。是否含有系统误差。解：计
42、算得到各测定值的残差：解：计算得到各测定值的残差：-0.06，-0.05，-0.06，-0.04，-0.02，0，0.02，0.06，0.06，0.09用判据用判据1检验检验因为因为可见，可见，D显著地显著地异于零，故可认为测量异于零，故可认为测量列中含有累进系统误差。这与准则列中含有累进系统误差。这与准则1判定判定的结论相同。的结论相同。u当测量次数无穷大时，只要当测量次数无穷大时，只要D0，一般就，一般就可认为测量列中含有累进系统误差。可认为测量列中含有累进系统误差。u当测量次数当测量次数n有限时，有限时，D0不能说明累进不能说明累进误差的存在，一般采用误差的存在，一般采用D vmax作为
43、作为判定测量列中累进系统误差存在的依据。判定测量列中累进系统误差存在的依据。用判据用判据2 2检验检验因为因为 故可判定测量列内含有周期性系统误差。故可判定测量列内含有周期性系统误差。这一结果在例这一结果在例6 6中未曾得到。中未曾得到。这说明，在判定一个测量列中是否会有变这说明，在判定一个测量列中是否会有变值系统误差时，联合运用上述判定变值系统误值系统误差时，联合运用上述判定变值系统误差存在与否的准则和判据是有益的。差存在与否的准则和判据是有益的。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用第五节第五节 间
44、接测量误差分析与处理间接测量误差分析与处理u在间接测量中，测量误差是各个测量值在间接测量中，测量误差是各个测量值误差的函数。因此，研究间接测量的误差误差的函数。因此，研究间接测量的误差也就是研究函数误差。也就是研究函数误差。u研究函数误差有下列三个基本内容：研究函数误差有下列三个基本内容：u已知函数关系和各个测量值的误差，求函数已知函数关系和各个测量值的误差，求函数即间接测量值的误差。即间接测量值的误差。u已知函数关系和规定的函数总误差，要求分已知函数关系和规定的函数总误差，要求分配各个测量值的误差。配各个测量值的误差。u确定最佳的测量条件，即使函数误差达到最确定最佳的测量条件，即使函数误差达
45、到最小值时的测量条件。小值时的测量条件。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用一、误差传布原理一、误差传布原理u设设间间接接测测量量值值y是是直直接接测测量量值值x1，x2，xm的的函函数数，其其函函数数关关系系的的一一般般形形式式可可表示为表示为y=f（x1，x2，xm）u假假定定对对x1，x2，xm各各进进行行了了n次次测测量量，那那么么每每个个xi都都有有自自己己的的一一列列测测定定值值xi1，xi2，xin，其其相相应应的的随随机机误误差差为为 ，。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消
46、费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用u若若将将测测量量x1，x2，xm时时所所获获得得的的第第一一个个测测定定值值代代入入函函数数关关系系式式，可可求求得得间间接接测测量量值值的的第第一一个个测定值测定值y1，即，即y1=f（x11，x21，xm1）u由由于于测测定定值值x11，x21，xm1与与真真值值之之间间存存在在随随机机误误差差，所所以以y1与与真真值值之之间间也也必必定定有有误误差差，记记为为y1。由误差的定义，上式可写为。由误差的定义，上式可写为 Y+y1=f（X1+11,X2+21,Xm+m1）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应
47、当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 若若 较较小小，且且诸诸X Xi i是是彼彼此此独独立立的的量量，将将上上式式按按泰泰勒勒公公式式展展开开，并并取取其其误误差差的的一一阶阶项项作作为为一一次次近近似似，略略去去一一切切高高阶阶误误差项，那么上式可近似写成差项，那么上式可近似写成经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 同样地，将测量同样地，将测量x x1 1，x x2 2，x xn n时所获得的第时所获得的第二、第三，直至第二、第三，直至第n
48、n个测定值分别代入函数关系个测定值分别代入函数关系式，可得式，可得 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 将上述各式相加并除以将上述各式相加并除以n n，可求得间接测量值，可求得间接测量值的算术平均值的算术平均值 ，也就是，也就是Y Y的最优概值的最优概值 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 式中，式中，正好是测量正好是测量x xm m时所得一列测定值时所得一列测定值的算术平均值的算术平均值 的随机误差，记
49、为的随机误差，记为 ，所，所以以 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 另一方面，将直接测量另一方面，将直接测量x x1 1，x x2 2，x xm m所获所获得的测定值的算术平均值得的测定值的算术平均值 ，,代入函数代入函数关系式，并将其在关系式，并将其在x x1 1，x x2 2，x xm m的邻域内用泰的邻域内用泰勒公式展开，可有勒公式展开，可有 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 将上两式进行比较，
50、可得将上两式进行比较，可得 由此可得出由此可得出结论结论：间接测量值的最佳估计值可：间接测量值的最佳估计值可以由与其有关的各直接测量值的算术平均值代入以由与其有关的各直接测量值的算术平均值代入函数关系式求得。函数关系式求得。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 并且可以知道，直接测量值并且可以知道，直接测量值x x1 1，x x2 2，x xm m第第j j次测量获得的测定值的误差次测量获得的测定值的误差 ，与其相应的间接测量值与其相应的间接测量值Y Y的误差的误差 之间关系应之间关系应为为 经营者提