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1、计计计计 算算算算 方方方方 法法法法授课老师：聂德明 仰仪北楼606计量测试工程学院计量测试工程学院Numerical MethodNumerical Method6 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程常微分方程欧拉方法欧拉方法龙格龙格-库塔方法库塔方法6 常微分方程数值解法常微分方程数值解法微分方程微分方程常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程线性常微分方程线性常微分方程非线性常微分方程非线性常微分方程一阶线性常微分方程初值问题一阶线性常微分方程初值问题 6.1欧拉欧拉(Euler)方法方法数值方法的基本思想数值方法的基本思想 在解的存在区间上取在解的存在区间上取n+1个节点
2、个节点 利用数值计算方法寻求利用数值计算方法寻求y(x)在节点上的近似值：在节点上的近似值：y0,y1,.yn连续连续 离散离散 一阶线性常微分方程初值问题一阶线性常微分方程初值问题 6.1欧拉欧拉(Euler)方法方法x0 x1x2xixi+1xn6.1 欧拉欧拉(Euler)方法方法6.1 欧拉欧拉(Euler)方法方法单步显式单步显式xixi+16.1 欧拉欧拉(Euler)方法方法几何意义：几何意义：用一条折线近似代替积分曲线y=y(x)。因此欧拉法又称为折线法折线法。6.1 欧拉欧拉(Euler)方法方法截断误差截断误差一阶精度一阶精度例例 用欧拉法求初值问题 6.1 欧拉欧拉(Eu
3、ler)方法方法当当h=0.02时在区间时在区间0,0.10上的数值解上的数值解 6.1 欧拉欧拉(Euler)方法方法nxnyny(xn)n=y(xn)-yn001.00001.0000010.020.98200.98250.000520.040.96500.96600.000530.060.94890.95030.001440.080.93360.93540.001850.100.91920.9230.00216.1 梯形方法梯形方法单步隐式单步隐式xixi+16.1 梯形方法梯形方法截断误差截断误差二阶精度二阶精度6.1 改进改进Euler方法方法预报预报-校正公式校正公式6.1 改进改进Euler方法方法二阶精度二阶精度截断误差截断误差6.1 改进改进Euler方法方法例例 在区间在区间0,1.5上，取上，取h=0.1。（1）用欧拉法计算公式如下：）用欧拉法计算公式如下：（2）用改进欧拉法计算公式如下：）用改进欧拉法计算公式如下：