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1、通信原理1通信原理第第10章章 数字信号最佳接收数字信号最佳接收2第10章 数字信号最佳接收l10.1数字信号的统计特性数字信号的统计特性n以二进制为例研究接收电压的统计特性。以二进制为例研究接收电压的统计特性。n假设：通信系统中的噪声是均值为假设：通信系统中的噪声是均值为0的带限高斯白噪声，其的带限高斯白噪声，其单边功率谱密度为单边功率谱密度为n0；并设发送的二进制码元为；并设发送的二进制码元为“0”和和“1”，其发送概率分别为，其发送概率分别为P(0)和和P(1)，则有，则有P(0)+P(1)=1n若此通信系统的基带截止频率小于若此通信系统的基带截止频率小于fH，则根据低通信号抽，则根据低
2、通信号抽样定理，接收噪声电压可以用其抽样值表示，抽样速率要样定理，接收噪声电压可以用其抽样值表示，抽样速率要求不小于其奈奎斯特速率求不小于其奈奎斯特速率2fH。n设在一个码元持续时间设在一个码元持续时间Ts内以内以2fH的速率抽样，共得到的速率抽样，共得到k个抽个抽样值：，则有样值：，则有k 2fHTs。3第10章 数字信号最佳接收n由于每个噪声电压抽样值都是正态分布的随机变量，故其一维由于每个噪声电压抽样值都是正态分布的随机变量，故其一维概率密度可以写为概率密度可以写为式中，式中，n 噪声的标准偏差；噪声的标准偏差；n2 噪声的方差，即噪声平均功率；噪声的方差，即噪声平均功率；i 1，2，k
3、。n设接收噪声电压设接收噪声电压n(t)的的k个抽样值的个抽样值的k维联合概率密度函数为维联合概率密度函数为 4第10章 数字信号最佳接收n由高斯噪声的性质可知，高斯噪声的概率分布通过带限线性由高斯噪声的性质可知，高斯噪声的概率分布通过带限线性系统后仍为高斯分布。所以，带限高斯白噪声按奈奎斯特速系统后仍为高斯分布。所以，带限高斯白噪声按奈奎斯特速率抽样得到的抽样值之间是互不相关、互相独立的。这样，率抽样得到的抽样值之间是互不相关、互相独立的。这样，此此k 维联合概率密度函数可以表示为维联合概率密度函数可以表示为n当当k 很大时，在一个码元持续时间很大时，在一个码元持续时间Ts内接收的噪声平均功
4、率内接收的噪声平均功率可以表示为：可以表示为：或者将上式左端的求和式写成积分式，则上式变成或者将上式左端的求和式写成积分式，则上式变成5第10章 数字信号最佳接收n利用上式关系，并注意到利用上式关系，并注意到 式中式中 n0 噪声单边功率谱密度噪声单边功率谱密度则前式的联合概率密度函数可以改写为：则前式的联合概率密度函数可以改写为：式中式中 n=(n1,n2,nk)k 维矢量，表示一个码元内噪声的维矢量，表示一个码元内噪声的k个抽样值。个抽样值。n需要注意，需要注意，f(n)不是时间函数，虽然式中有时间函数不是时间函数，虽然式中有时间函数n(t)，但，但是后者在定积分内，积分后已经与时间变量是
5、后者在定积分内，积分后已经与时间变量t无关。无关。n是一个是一个k维矢量，维矢量，它可以看作是它可以看作是k 维空间中的一个点。维空间中的一个点。6第10章 数字信号最佳接收n在码元持续时间在码元持续时间Ts、噪声单边功率谱密度、噪声单边功率谱密度n0和抽样数和抽样数k（它和（它和系统带宽有关）给定后，系统带宽有关）给定后，f(n)仅决定于该码元期间内噪声的能仅决定于该码元期间内噪声的能量：量：n由于噪声的随机性，每个码元持续时间内噪声的波形和能量由于噪声的随机性，每个码元持续时间内噪声的波形和能量都是不同的，这就使被传输的码元中有一些会发生错误，而都是不同的，这就使被传输的码元中有一些会发生
6、错误，而另一些则无错。另一些则无错。7第10章 数字信号最佳接收n设接收电压设接收电压r(t)为信号电压为信号电压s(t)和噪声电压和噪声电压n(t)之和之和:r(t)=s(t)+n(t)则在发送码元确定之后，接收电压则在发送码元确定之后，接收电压r(t)的随机性将完全由噪声的随机性将完全由噪声决定，故它仍服从高斯分布，其方差仍为决定，故它仍服从高斯分布，其方差仍为 n2，但是均值变为，但是均值变为s(t)。所以，当发送码元。所以，当发送码元“0”的信号波形为的信号波形为s0(t)时，接收电时，接收电压压r(t)的的k维联合概率密度函数为维联合概率密度函数为式中式中 r=s+n k 维矢量，表
7、示一个码元内接收电压的维矢量，表示一个码元内接收电压的k个抽个抽 样值；样值；s k 维矢量，表示一个码元内信号电压的维矢量，表示一个码元内信号电压的k个抽样值。个抽样值。8第10章 数字信号最佳接收n同理，当发送码元同理，当发送码元“1“的信号波形为的信号波形为s1(t)时，接收电压时，接收电压r(t)的的k维联合概率密度函数为维联合概率密度函数为n顺便指出，若通信系统传输的是顺便指出，若通信系统传输的是M 进制码元，即可能发送进制码元，即可能发送s1，s2，si，sM之一，则按上述原理不难写出当发送码元之一，则按上述原理不难写出当发送码元是是si时，接收电压的时，接收电压的k 维联合概率密
8、度函数为维联合概率密度函数为 仍需记住，以上三式中的仍需记住，以上三式中的k 维联合概率密度函数不是时间维联合概率密度函数不是时间t的函的函数，并且是一个标量，而数，并且是一个标量，而r 仍是仍是k维空间中的一个点，是一个维空间中的一个点，是一个矢量。矢量。9第10章 数字信号最佳接收l10.2 数字信号的最佳接收数字信号的最佳接收n“最佳最佳”的准则：错误概率最小的准则：错误概率最小n产生错误的原因：暂不考虑失真的影响，主要讨论在产生错误的原因：暂不考虑失真的影响，主要讨论在二进制数字通信系统中如何使噪声引起的错误概率最二进制数字通信系统中如何使噪声引起的错误概率最小。小。n判决规则判决规则
9、设在一个二进制通信系统中发送码元设在一个二进制通信系统中发送码元“1”的概率为的概率为P(1)，发送码元，发送码元“0”的概率为的概率为P(0)，则总误码率，则总误码率Pe等于等于式中式中Pe1=P(0/1)发送发送“1”时，收到时，收到“0”的条件概的条件概率；率；Pe0=P(1/0)发送发送“0”时，收到时，收到“1”的条件概的条件概率；率；上面这两个条件概率称为错误转移概率。上面这两个条件概率称为错误转移概率。10第10章 数字信号最佳接收按照上述分析，接收端收到的每个码元持续时间内的电压可按照上述分析，接收端收到的每个码元持续时间内的电压可以用一个以用一个k 维矢量表示。接收设备需要对
10、每个接收矢量作判维矢量表示。接收设备需要对每个接收矢量作判决，判定它是发送码元决，判定它是发送码元“0”，还是，还是“1”。由接收矢量决定的两个联合概率密度函数由接收矢量决定的两个联合概率密度函数f0(r)和和f1(r)的曲线的曲线画在下图中（在图中把画在下图中（在图中把r 当作当作1维矢量画出。）：维矢量画出。）：可以将此空间划分为两个区域可以将此空间划分为两个区域A0和和A1，其边界是，其边界是r0，并将判，并将判决规则规定为：决规则规定为：若接收矢量落在区域若接收矢量落在区域A0内，则判为发送码元是内，则判为发送码元是“0”；若接收矢量落在区域若接收矢量落在区域A1内，则判为发送码元是内
11、，则判为发送码元是“1”。A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)11第10章 数字信号最佳接收显然，区域显然，区域A0和区域和区域A1是两个是两个互不相容的区域。当这两个区互不相容的区域。当这两个区域的边界域的边界r0 确定后，错误概率确定后，错误概率也随之确定了。也随之确定了。这样，总误码率可以写为这样，总误码率可以写为式中，式中，P(A0/1)表示发送表示发送“1”时，矢量时，矢量r落在区域落在区域A0的条件概的条件概率率 P(A1/0)表示发送表示发送“0”时，时，矢量矢量r落在区域落在区域A1的条件概率的条件概率这两个条件概率可以写为：这两个条件概率可以写为：
12、这两个概率在图中分别由两块阴影面积表示。这两个概率在图中分别由两块阴影面积表示。A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)12第10章 数字信号最佳接收将上两式代入将上两式代入得到得到参考上图可知，上式可以写为参考上图可知，上式可以写为上式表示上式表示Pe是是r0 的函数。为了求出使的函数。为了求出使Pe最小的判决分界点最小的判决分界点r0，将上式对，将上式对r0 求导求导 并令导函数等于并令导函数等于0，求出最佳分界点求出最佳分界点r0的条件：的条件：A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)13第10章 数字信号最佳接收即即当先验概率相等时，即当
13、先验概率相等时，即P(1)=P(0)时，时，f0(r0)=f1(r0)，所以，所以最佳分界点位于图中两条曲线交点处的最佳分界点位于图中两条曲线交点处的r 值上。值上。在判决边界确定之后，按照接收矢量在判决边界确定之后，按照接收矢量r 落在区域落在区域A0应判为收应判为收到的是到的是“0”的判决准则，这时有：的判决准则，这时有：若若 则判为则判为“0”；反之，反之，若若则判为则判为“1”。在发送在发送“0”和发送和发送“1”的先验概率相等时，上两式的条件的先验概率相等时，上两式的条件简化为：简化为：A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)若f0(r)f1(r)，则判为“0
14、”若f0(r)d)是噪声抽样值大于是噪声抽样值大于d 的的概率。概率。现在来计算上式中的现在来计算上式中的P(|d)。设接收滤波器输入端高斯白。设接收滤波器输入端高斯白噪声的单边功率谱密度为噪声的单边功率谱密度为n0，接收滤波器输出的带限高斯噪，接收滤波器输出的带限高斯噪声的功率为声的功率为 2，则有，则有50第10章 数字信号最佳接收 上式中的积分值是一个实常数，我们假设其等于上式中的积分值是一个实常数，我们假设其等于1，即假设，即假设故有故有这样假设并不影响对误码率性能的分析。由于接收滤波器是这样假设并不影响对误码率性能的分析。由于接收滤波器是一个线性滤波器，故其输出噪声的统计特性仍服从高
15、斯分布。一个线性滤波器，故其输出噪声的统计特性仍服从高斯分布。因此输出噪声因此输出噪声 的一维概率密度函数等于的一维概率密度函数等于对上式积分，就可以得到抽样噪声值超过对上式积分，就可以得到抽样噪声值超过d 的概率：的概率：51第10章 数字信号最佳接收 上式中已作了如下变量代换：上式中已作了如下变量代换：将上式代入误码率公式，得到将上式代入误码率公式，得到 52第10章 数字信号最佳接收 现在，再将上式中的现在，再将上式中的Pe和和d/的关系变换成的关系变换成Pe和和E/n0的关系。的关系。由上述讨论我们已经知道，在由上述讨论我们已经知道，在M 进制基带多电平最佳传输系进制基带多电平最佳传输
16、系统中，发送码元的频谱形状由发送滤波器的特性决定：统中，发送码元的频谱形状由发送滤波器的特性决定：发送码元多电平波形的最大值为发送码元多电平波形的最大值为等。这样，利用巴塞伐尔定理等。这样，利用巴塞伐尔定理计算码元能量时，设多电平码元的波形为计算码元能量时，设多电平码元的波形为Ax(t)，其中，其中x(t)的的最大值等于最大值等于1，以及，以及53第10章 数字信号最佳接收则有码元能量等于则有码元能量等于因此，对于因此，对于M 进制等概率多电平码元，求出其平均码元能量进制等概率多电平码元，求出其平均码元能量E等于等于因此有因此有于是得到误码率的最终表示式：于是得到误码率的最终表示式：54第10
17、章 数字信号最佳接收当当M2时，时，上式是在理想信道中，消除码间串扰条件下，二进制双极性上式是在理想信道中，消除码间串扰条件下，二进制双极性基带信号传输的最佳误码率。基带信号传输的最佳误码率。M进制多电平信号的误码率曲线：进制多电平信号的误码率曲线：由此图可见，当误码率由此图可见，当误码率较低时，为保持误码率较低时，为保持误码率不变，不变，M值增大到值增大到2倍，倍，信噪比大约需要增大信噪比大约需要增大7 dB。Pe110-110-210-310-410-610-5E/n0(dB)M=24816051015 2025 30 3555第10章 数字信号最佳接收n10.9.2 非理想信道的最佳基带
18、传输系统非理想信道的最佳基带传输系统u最佳传输条件最佳传输条件接收信号码元的频谱等于接收信号码元的频谱等于GT(f)C(f)。为了使高斯白噪。为了使高斯白噪声条件下的接收误码率最小，在接收端可以采用一个匹声条件下的接收误码率最小，在接收端可以采用一个匹配滤波器。为使此匹配滤波器的传输函数配滤波器。为使此匹配滤波器的传输函数GR(f)和接收和接收信号码元的频谱匹配，要求信号码元的频谱匹配，要求GR(f)=GT*(f)C*(f)基带传输系统的总传输特性为基带传输系统的总传输特性为 H(f)=GT(f)C(f)GR(f)=GT(f)C(f)GT*(f)C*(f)=|GT(f)|2|C(f)|2 此总
19、传输特性此总传输特性H(f)能使其对于高斯白噪声的信噪比最小，能使其对于高斯白噪声的信噪比最小，但是还没有满足消除码间串扰的条件。为了消除码间串但是还没有满足消除码间串扰的条件。为了消除码间串扰，由第扰，由第6章的讨论得知，章的讨论得知，H(f)必须满足：必须满足：56第10章 数字信号最佳接收 为此，可以在接收端增加一个横向均衡滤波器为此，可以在接收端增加一个横向均衡滤波器T(f)，使系统，使系统总传输特性满足上式要求。故从上两式可以写出对总传输特性满足上式要求。故从上两式可以写出对T(f)的要的要求求:式中式中57第10章 数字信号最佳接收从上述分析得知，在非理想信道条件下，最佳接收滤波器
20、的从上述分析得知，在非理想信道条件下，最佳接收滤波器的传输特性应该是传输特性为传输特性应该是传输特性为GR(f)的匹配滤波器和传输特性的匹配滤波器和传输特性为为T(f)的均衡滤波器级连。的均衡滤波器级连。u非理想信道的最佳基带传输系统方框图非理想信道的最佳基带传输系统方框图u最后需要说明的是，上面的讨论是假定发送滤波器和信道特性最后需要说明的是，上面的讨论是假定发送滤波器和信道特性已给定，由设计接收滤波器使系统达到最佳化。在理论上，自已给定，由设计接收滤波器使系统达到最佳化。在理论上，自然也可以假定接收滤波器和信道特性已给定，设计发送滤波器然也可以假定接收滤波器和信道特性已给定，设计发送滤波器使系统达到最佳；或者只给定信道特性，联合设计发送和接收使系统达到最佳；或者只给定信道特性，联合设计发送和接收滤波器两者使系统达到最佳。但是，分析结果表明，这样做的滤波器两者使系统达到最佳。但是，分析结果表明，这样做的效果和仅使接收滤波器最佳化的结果差别不大。在工程设计时，效果和仅使接收滤波器最佳化的结果差别不大。在工程设计时，还是以设计最佳接收滤波器的方法较为实用。还是以设计最佳接收滤波器的方法较为实用。GT(f)C(f)GT*(f)C*(f)T(f)最佳接收滤波器n(t)58第10章 数字信号最佳接收l10.10 小结小结 59