相似原理和量纲分析.ppt

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1、WELCOME 理性认识依赖于感性认识，流体力学理论的检验和发展理性认识依赖于感性认识，流体力学理论的检验和发展依赖于流体力学试验。结合工程需要的流体力学试验一般很依赖于流体力学试验。结合工程需要的流体力学试验一般很难在实物（原型）上进行，而是利用有关试验装置（例如风难在实物（原型）上进行，而是利用有关试验装置（例如风洞、水洞等）在按一定的比例尺（一般为缩尺）制作的模型洞、水洞等）在按一定的比例尺（一般为缩尺）制作的模型上进行。上进行。如何选定制作模型的比例尺并保证经模型的流动与经原如何选定制作模型的比例尺并保证经模型的流动与经原型的流动力学相似？型的流动力学相似？如何将模型试验结果推广应用到

2、原型上去？如何将模型试验结果推广应用到原型上去？如何将在特如何将在特定条件下得到的试验结果推广应用到同类相似的流动中？定条件下得到的试验结果推广应用到同类相似的流动中？流动的力学相似流动的力学相似近似的模型试验近似的模型试验动力相似动力相似准则准则流动相似条件流动相似条件量纲分析法量纲分析法应用应用 相似的概念首先出现在几何学里，如两个三角形相似时，对应边相似的概念首先出现在几何学里，如两个三角形相似时，对应边的比例相等。流体力学相似是几何相似概念在流体力学中的推广和发的比例相等。流体力学相似是几何相似概念在流体力学中的推广和发展，它指的是展，它指的是两个流场的力学相似，即在流动空间的各对应点

3、上和各两个流场的力学相似，即在流动空间的各对应点上和各对应时刻，表征流动过程的所有物理量各自互成一定的比例。对应时刻，表征流动过程的所有物理量各自互成一定的比例。表征流表征流动过程的物理量按其性质主要有三类，即表征流场几何形状的，表征动过程的物理量按其性质主要有三类，即表征流场几何形状的，表征流体微团运动状态的和表征流体微团动力性质的，因此，流体的力学流体微团运动状态的和表征流体微团动力性质的，因此，流体的力学相似主要包括流场的相似主要包括流场的几何相似几何相似、运动相似运动相似和和动力相似动力相似。几何相似是指模型与原型的全部对应线性长度的比例相等，即 （4-1）线性长度也称为特征长度，可以

4、是翼型的翼弦长b（见图4-1），圆柱的直径d，管道的长度l，管壁绝对粗糙度 等，式中 为长度比例尺。图4-1 几何相似 只要模型与原型的全部对应线性长度的比例相等，则它们的夹角必相等，例如图4-1中的 。由于几何相似，模型与原型的对应面积、对应体积也分别互成一定比例，即v面积比例尺 （4-2）v体积比例尺 （4-3）运动相似 运动相似是指模型与原型的流场所有对应点上、对应时运动相似是指模型与原型的流场所有对应点上、对应时刻的流速方向相同而流速大小的比例相等，即它们的速度场刻的流速方向相同而流速大小的比例相等，即它们的速度场相似相似（例如图4-2）：（4-4）式中式中 为速度比例尺为速度比例尺。

5、由于流场的几何相似是运动相似的前提条件，因此甚易证明，模型与原型流场中流体微团经过对应路程所需要的时间也必互成一定比例，即 时间比例尺 （4-5）由几何相似和运动相似还可以导出用 、表示的有关运动学量的比例尺如下：BACK图4-2 速度场相似 加速度比例尺加速度比例尺 （4-6）体积流量比例尺体积流量比例尺 （4-7）运动粘度比例尺运动粘度比例尺 （4-8）角速度比例尺角速度比例尺 （4-9）可见，只要确定了模型与原型的长度比例尺和速度比例尺，便可由它们确定所有运动学量的比例尺动力相似动力相似 动力相似是指模型与原型的流场所有对应点作用在流体微动力相似是指模型与原型的流场所有对应点作用在流体微

6、团上的各种力彼此方向相同，而它们大小的比例相等，即它团上的各种力彼此方向相同，而它们大小的比例相等，即它们的动力场相似（例如图们的动力场相似（例如图4-3）：）：（4-10）图4-3 动力相似 以上三种相似是互相联系的。流场的流场的几何相似几何相似是流动力是流动力学相似的前提条件，学相似的前提条件，动力相似动力相似是决定运动相似的主导因素，是决定运动相似的主导因素，而而运动相似运动相似则是几何相似和动力相似的表现。则是几何相似和动力相似的表现。因此，因此，模型与原型流场的几何相似、运动相似和动力相模型与原型流场的几何相似、运动相似和动力相似是两个流场完全相似的重要特征。似是两个流场完全相似的重

7、要特征。由此甚易证明模型与原型流场的密度也必互成一定比例，即 密度比例尺 （4-11）由于两个流场的密度比例尺常常是已知的或者是已经选定的，故做流体力学的模型试验时，经常选取 、作基本比例尺，即选取 、作为独立的基本变量。于是可导出用 、和 表示的有关动力学的比例尺如下：力的比例尺力的比例尺 （4-11a）力矩（功、能）比例尺力矩（功、能）比例尺 (4-12)压强（应力）比例尺压强（应力）比例尺 (4-13)功率比例尺功率比例尺 (4-14)动力粘度比例尺动力粘度比例尺 (4-15)有了以上关于几何学量、运动学量和动力学量的三组比有了以上关于几何学量、运动学量和动力学量的三组比例尺（又称相似倍

8、数），模型与原型流场之间各物理量的相例尺（又称相似倍数），模型与原型流场之间各物理量的相似换算就很方便了。似换算就很方便了。其他还有温度相似、浓度相似等在传热、扩散等问题的其他还有温度相似、浓度相似等在传热、扩散等问题的模拟试验中会用到，这里不作讨论。模拟试验中会用到，这里不作讨论。动力相似准则动力相似准则 任何系统的机械运动都必须服从牛顿第二定律任何系统的机械运动都必须服从牛顿第二定律 .对模型与原型流场中的流体微团应用牛顿第二定律，对模型与原型流场中的流体微团应用牛顿第二定律，再按照动力相似，各种力大小的比例相等，可得再按照动力相似，各种力大小的比例相等，可得 令令 （4-18）Ne称为牛

9、顿（称为牛顿（I.New ton）数数,它是作用力与惯性力它是作用力与惯性力的比值，的比值，是无量纲数。是无量纲数。模型与原型的流场动力相似，它们的牛模型与原型的流场动力相似，它们的牛顿数必定相等即顿数必定相等即 ;反之亦然。这便是反之亦然。这便是由牛顿第二定律引出的牛顿相似准则。由牛顿第二定律引出的牛顿相似准则。不论是何种性质的力，要保证两种流场不论是何种性质的力，要保证两种流场的动力相似，它们都要服从牛顿相似准则的动力相似，它们都要服从牛顿相似准则，于是，可得：一、重力相似准则一、重力相似准则 二、粘滞力相似准则二、粘滞力相似准则 三、压力相似准则三、压力相似准则 四、非定常性相似准则四、

10、非定常性相似准则 五、弹性力相似准则五、弹性力相似准则 六、表面张力相似准则六、表面张力相似准则重力相似准则 代入牛顿相似准则，Fr称为弗劳德（称为弗劳德（W.Froude）数数,它是惯性力与重力它是惯性力与重力的比值。的比值。二流动的重力作用相似，它们的弗劳德数必定二流动的重力作用相似，它们的弗劳德数必定相等，即相等，即 ；反之亦然。这便是重力相似准则。；反之亦然。这便是重力相似准则。又称弗劳德准则。由此可知，重力作用相似的流场，有关物理量的比例尺要受式（4-19）的制约，不能全部任意选择。由于在重力场中 ，故有 （a）粘滞力相似准则粘滞力相似准则 Re称为雷诺（称为雷诺（O.Reynold

11、s）数数,它是惯性力与粘滞它是惯性力与粘滞力的比值。力的比值。二流动的粘滞力作用相似，它们的雷诺数必定二流动的粘滞力作用相似，它们的雷诺数必定相等，即相等，即 ；反之亦然。这便是粘滞力相似准；反之亦然。这便是粘滞力相似准则，又称雷诺准则。则，又称雷诺准则。由此可知，粘滞力作用相似的流场，有关物理量的比例尺要受雷诺准则雷诺准则的制约，不能全部任意选择。例如，当模型与原型用同一种流体 时，故有 压力相似准则压力相似准则 Eu称为欧拉（L.Euler）数,它是总压力与惯性力的比值。二流动的压力作用相似，它们的欧拉数必定相等，即 ；反之亦然。这便是压力相似准则，又称欧拉准则。欧拉数中的压强p也可用压差

12、 来代替，这时欧拉数 （4-28）欧拉相似准则 （4-29）非定常性相似准则 对于非定常流动的模型试验，必须保证模型与原型的流动随时间的变化相似。由当地加速度引起的惯性力之比可以表示为 代入式（4-16），得 （4-30）也可以写成 （4-31）令 （4-32）Sr称为斯特劳哈尔（V.Strouhar）数，也称谐时数。它是当地惯性力与迁移惯性力的比值。二非定常流动相似，它们的斯特劳哈尔数必定相等，即 ；反之亦然。这便是非定常性相似准则，又称斯特劳哈尔准则或谐时性准则。倘若非定常流是流体的波动或振荡，其频率为 ,则 斯特劳哈尔数 （4-32a）斯特劳哈尔准则 (4-31a)弹性力相似准则弹性力相

13、似准则 式中K为体积模量，为体积模量比例尺。Ca称为柯西（称为柯西（B.A.L.Cauchy）数数,它是惯性力与弹性它是惯性力与弹性力的比值。二流动的弹性力作用相似，它们的柯西数力的比值。二流动的弹性力作用相似，它们的柯西数必相等。反之亦然。这便是弹性力相似准则，又称柯必相等。反之亦然。这便是弹性力相似准则，又称柯西准则。西准则。对于气体，宜将柯西准则转换为马赫准则。由于 （c为声速），故弹性力的比例尺又可表示为 ，代入式（4-16），Ma称为马赫（称为马赫（L.Mach）数数,它仍是惯性力与弹性力它仍是惯性力与弹性力的比值。二流动的弹性力作用相似，它们的马赫数必的比值。二流动的弹性力作用相似

14、，它们的马赫数必定定 相等，即相等，即 ；反之亦然。这仍是弹性力相似；反之亦然。这仍是弹性力相似准则，又称马赫准则。准则，又称马赫准则。表面张力相似准则 在表面张力作用下相似的流动，其表面张力分布必须相似。作用在二流场流体微团上的张力之比可以表示为 式中 为表面张力，为表面张力比例尺。将上式代入式（4-16），得 （4-39）也可写成 （4-40）令 （4-41）We 称为 韦伯（M.Weber)数，它是惯性力与张力的比值。二流动的表面张力作用相似，它们的韦伯数必定相等，即 ；反之亦然。这便是表面张力相似准则，又称韦伯准则。上述的上述的牛顿数牛顿数、弗劳德数弗劳德数、雷诺数雷诺数、欧拉数欧拉数

15、、斯斯特劳哈尔数特劳哈尔数、柯西数柯西数、马赫数马赫数、韦伯数韦伯数统称为相似准统称为相似准则数。则数。我们知道，牛顿第二定律所表述的是形式最简单的最基本的运动微分方程。根据该方程可导出在各种性质单项力作用下的相似准则。在实际流动中，作用在流体微团上的力往往不是单项力，而是多项力，这时牛顿第二定律中的力代表的便是多项力的合力。相似条件系指保证流动相似的必要和充分条相似条件系指保证流动相似的必要和充分条件：件：.1)1)相似的流动相似的流动 都属于同一类的流动都属于同一类的流动,它们都应为它们都应为相同的微分方程组所描述相同的微分方程组所描述.2)2)单值条件相似单值条件相似.几何条件几何条件边

16、界条件边界条件物性条件物性条件初始条件初始条件3)3)由单值条件中的物理量所组成的相似准则数由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等相等.凡属同一类的流动,当单值条件相似而且由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等时,这些流动必定相似.单值条件中的各物理量称为定性量,即决定性质的量。由定性量组成的相似准则数称为定性准则数。包含被决定量的相似准则数称为非定性准则数。相似条件解决了模型试验中必须解决的下列问题:1)应根据单值条件相似和由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模型,选择模型中的流动介质.2)试验过程中应测定各相似准则数中所包含的应予测定的一切物理量,并把它们整理成相

17、似准则数.3)按相似准则数相等去整理实验结果,找出规律,即找出准则方程式,便可推广应用到原型及其他相似流动中去,有关物理量可按各自的比例尺进行换算.在重力场中要使弗劳德数相等如果模型与原型中的流体相同，要使雷诺数相等，要求相矛盾要求相矛盾。解决办法可以是用运动粘度不一样用运动粘度不一样的流体的流体。模型中粘度只有原型中油液的1/11.18。倘若长度比例尺再缩小，例如 ，即模型中流体的运动粘度只有原型中流体的1/31.62。通常这是很难办到的。定性准则数越多，模型试验的设计越困难，甚定性准则数越多，模型试验的设计越困难，甚至根本无法进行。至根本无法进行。近似的模型试验方法近似的模型试验方法，即在

18、设计模型和组织模即在设计模型和组织模型实验时，在与流动有关的定性准则中考虑那些对型实验时，在与流动有关的定性准则中考虑那些对流动过程起主导作用的定性准则，而忽略那些对过流动过程起主导作用的定性准则，而忽略那些对过程影响较小的定性准则，达到二流动的近似相似。程影响较小的定性准则，达到二流动的近似相似。无压的明渠流动，只考虑弗劳德准则。有压的粘性管流，只考虑雷诺准则。有压粘性管流中，当雷诺数大到一定数值时，继续提高有压粘性管流中，当雷诺数大到一定数值时，继续提高雷诺数，管内流体的紊乱程度及速度剖面几乎不再变化，沿雷诺数，管内流体的紊乱程度及速度剖面几乎不再变化，沿程能量损失系数也不再变化，雷诺准则

19、已失去判别相似的作程能量损失系数也不再变化，雷诺准则已失去判别相似的作用。称这种状态为用。称这种状态为自模化状态自模化状态，称自模化状态的雷诺数范围称自模化状态的雷诺数范围为为自模化区自模化区。在自模化区内，阻力的主要部分是紊动阻力而不是粘滞阻力。二流动的紊动阻力之比为此式与牛顿相似准则式（416）完全一样，即它们自动满它们自动满足动力相似，没有独自的相似准则足动力相似，没有独自的相似准则，这便说明，它们自动模化了。既然流动已经自动模化，在选定基本比例尺后，其它物理量均按力学相似的有关比例尺进行换算。例题请参看例题请参看应用应用例例4 42 2、例、例4 43 3、例、例4 44 4 量纲分析

20、方法是与相似原理密量纲分析方法是与相似原理密切相关的另一通过试验去探索流动切相关的另一通过试验去探索流动规律的重要方法，特别是对那些很规律的重要方法，特别是对那些很难从理论上进行分析的复杂流动，难从理论上进行分析的复杂流动，更能显示出该方法的优越性。更能显示出该方法的优越性。物理方程量纲一致性原则物理方程量纲一致性原则瑞瑞利法利法定理定理物理方程量纲一致性原则物理方程量纲一致性原则 物理量单位的种类叫量纲，用符号物理量单位的种类叫量纲，用符号dimdim表示。表示。T:时间时间:小时、分、秒小时、分、秒L:长度 ：米、厘米、毫米M:质量:吨、千克、克量纲导出量纲：非独立量纲基本量纲：独立量纲L

21、,M，T，H导出量纲导出量纲HH 任何一个物理方程各项的量纲必定相同，用量任何一个物理方程各项的量纲必定相同，用量纲表示的物理方程必定是齐次的，这便是物理方程纲表示的物理方程必定是齐次的，这便是物理方程量纲一致性原则。量纲一致性原则。用物理方程中的任何一项去通除整个方程，便用物理方程中的任何一项去通除整个方程，便可将该方程化为无量纲方程。可将该方程化为无量纲方程。量纲分析法步骤量纲分析法步骤:量纲分析流动过程的相似准则数相似准则数之间的函数关系 （准则方程式）实验将准则方程式直接应用到原型及其它相似流动中去。用量纲分析法，结合试验研究，不仅可以找出尚无物理方程表示的复杂流动过程的流动规律，而且

22、找出的还是同一类相似流动的普遍规律。瑞利法瑞利法（Rayleigh）瑞利法是用定性物理量瑞利法是用定性物理量 的某种幂次之积的函数来表示被决定的物理量的某种幂次之积的函数来表示被决定的物理量y，即即式中，式中，k为无量纲系数，由试验确定；为无量纲系数，由试验确定；为待定指数，根据量纲为待定指数，根据量纲一致性原则求出。一致性原则求出。应用举例应用举例 瑞利法瑞利法 对于变量较少的简单流动问题，用瑞利法可以对于变量较少的简单流动问题，用瑞利法可以方便的直接求出结果；对于变量较多的复杂流动问方便的直接求出结果；对于变量较多的复杂流动问题，比如说有题，比如说有n n个变量，由于按照基本量纲只能列出个

23、变量，由于按照基本量纲只能列出三个代数方程，待定指数便有三个代数方程，待定指数便有n-3n-3个，这样便出现了个，这样便出现了待定指数的选取问题，这是瑞利法的一个缺点。待定指数的选取问题，这是瑞利法的一个缺点。定理定理定理表述：如果一个物理过程涉及到n个物理量和m个基本量纲，则这个物理过程可以由n个物理量组成的n-m个无量纲量（相似准则数）的函数关系来描述。这些无量纲量用 来表示。倘若物理过程的方程式为在这n个物理量中有m个基本量纲，则物理方程式可以转换为无量纲物理方程式（准则方程式）：无量纲量 可以导出如下：倘若基本量纲是L，T，M三个，则可以从n个物理量中选取三个既包含上述基本量纲、又互为

24、独立的变量，作为基本变量。如果这三个基本变量是 则其它物理量均可用某种幂次的三个基本变量和无量纲量 的乘积来表示，即 根据物理方程量纲一致性原则便可确定待定指数 从而也就确定了 。定理中的无量纲量就是相似准则数（包括几何相似等）。的倒数、幂次方，它与任何常数的和、差、乘积，它与另外的无量纲量的和、差、乘积都仍然是无量纲量，是新的相似准则数。在准则方程式中，那些由单值条件的物理量组成的定性准则数用 表示，而包含被决定量的非定性准则数用 表示。定性准则数是决定物理过程的准则数，当它们确定之后，过程即被确定，非定性准则数也随之被确定。因此，也可将准则方程式写成 在一般流体力学问题中，通常选取与流动特

25、性密切相关的在一般流体力学问题中，通常选取与流动特性密切相关的特征长度特征长度l、流速流速v和流体密度和流体密度 作为基本变量作为基本变量，它们既包含基本量纲L，T，M，又互相独立。它们还分别又代表性的几何学量、运动学量和动力学量。正如在本章第一节中已经讨论的，有了这三种基本变量的比例尺，便可导出所有运动学量和动力学量的比例尺。当然，也可以选取其它物理量作为基本变量，只要它们符合即包含基本量纲又互为独立的条件。请参阅应用例请参阅应用例4-74-7、例、例4-84-8 注意：注意：1）必须知道流动过程所包含的全部物理量，不应缺少其中的任何一个，否则，会得到不全面的甚至是错误的结果。2）在表征流动

26、过程的函数关系中存在无量纲常数时，量纲分析法不能给出它们的具体数值，只能由试验来确定。3）量纲分析法不能区别量纲相同而意义不同的物理量。例如，流函数 、速度势 、速度环量 与运动粘度 等。遇到这类问题时，应加倍小心。思考题1.什么是流动相似？2.什么是几何相似？运动相似？动力相似？3.流动的相似条件有哪些？4.流动的相似准则数有哪些？5.什么是量纲一致性原则？作业43，46，48例4-1例4-2例4-3例4-4例4-5例4-6例4-7例4-8例4-1 如图4-4所示,当通过油池底部的管道向外输油时,如果池内油深太小,会形成达于油面的漩涡,并将空气吸入输油管.为了防止这种情况的发生,需要通过模型

27、试验去确定油面开始出现漩涡的最小油深 .已知输油管内径d=250mm,油的流量 ,运动粘度 .倘若选取的长度比例尺 ,为了保证流动相似,模型输出管的内径模型输出管的内径,模型内液体的流量和运动粘度应模型内液体的流量和运动粘度应等于多少等于多少?在模型上测得 ,油池的最小油油池的最小油 深深 应等于多少应等于多少?h图4-4 油池模型END例4-2hv图4-5 弧形闸门图4-5所示为弧形闸门放水时的情形。已知水深h=6cm。模型闸门是按长度比例尺 制作的，试验时的开度与原型的相同。试求流动相似时流动相似时模型闸门前的水深模型闸门前的水深。在模型上测得收缩截面的平均流速 ，流量 ，水作用在闸门上的

28、力 ，绕闸门轴的力矩 试求原型上收试求原型上收缩截面的平均流速、流量以及作用在缩截面的平均流速、流量以及作用在闸门上的力和力矩。闸门上的力和力矩。ENDS例例4-34-3 为了探索用输油管道上的一段弯管的压强降去计量油的流量，进行了水模拟试验。选取的长度比例尺 。已知输油管内径d=100mm，油的流量 ，运动粘度 ，密度 ，水的运动粘度 ，密度 。为了保证流动相似，试求水的流量。水的流量。如果测得在该流量下模型弯管的压强降 ，试求原型弯管在对应流量下的压强降。原型弯管在对应流量下的压强降。SEND图4-6例4-4输水管道的内径d=1.5m，内装蝶阀（见图4-6）。当蝶阀开度为 、输送流量 时，

29、流动已进入自模化区。利用空气进行模拟试验，选用的长度比例尺 。为了保证模型内的流动也进入自模化区，模型蝶阀在相同开度下的输送流量 。试验时测得经过蝶阀的压强降 气流作用在蝶阀上的力 绕阀轴的力矩 试求原型对应的压强降、作用力和力矩。原型对应的压强降、作用力和力矩。已知20 时水的密度 ，粘度 ，20 时空气的密度 ，粘度 声速 。SEND例4-5已知矩形堰流（图4-7）的流量 主要与堰上水头H、堰宽b和重力加速度g有关，试用瑞利法导出矩形堰流流量的表达式。Hb图4-7 矩形堰S SENDEND例4-6 不可压缩粘性流体在粗糙管内定常流动时，沿管道的压强降 与管道长度l、内径d、绝对粗糙度 、平

30、均流速v、流体的密度 和动力粘度 有关。试用瑞利法导出压强降的表达式。S SENDEND例4-7 仍以不可压缩粘性流体在粗糙管内的定常流动为例，用 定理导出压强降的表达式。S S例4-8 翼型的阻力 与翼型的翼弦b、翼展l、冲角 、翼型与空气的相对速度v、空气的密度 、动力粘度 和体积模量K有关。试用 定理导出翼型阻力的表达式。S S （例4-1）解解:这是不可压缩粘性流体的流动问题,必须同时考虑重力和粘滞力的作用.因此,为了保证流动相似,必须按照弗劳德数和雷诺数分别同时相等去选择模型内液体的流速和运动粘度.按长度比例尺模型得出输出管内径:在重力场中 ,由弗劳德数相等可得模型内液体的流速和流量

31、为 由雷诺数相等可得模型内液体的运动粘度为 已知模型上的 ,则油池的最小油深为 （例4-2）解：解：按长度比例尺，模型闸门前的水深 水的重力作用下由闸门下出流，要使流动相似，弗劳德数必须相等。由此可得 。于是，原型上的待求量可按有关比例尺计算如下：收缩截面的平均流速 流量 作用在闸门上的力 力矩 （例4-3）解：解：这是粘性有压管流，要使流动相似，雷诺数必须相等。由式（4-22）和式（4-7）可得由欧拉数相等可得（例4-4）解：解：这是粘性有压管流。原型中的流速和雷诺数分别为模型中的流速和雷诺数分别为通常均已进入自模化区。模型中气流的马赫数为可以不考虑气体压缩性的影响。由于 故由式（4-29）

32、、式（4-11a）、式（4-12）可得(例4-5)解：解：按照瑞利法可以写出：（a）如果用基本量纲表示方程中各物理量的量纲，则有根据物理方程量纲一致性原则有 对L T 联立求解二方程，可得 。由实验已知，流量与堰宽成正比，故 ，于是 。将它们代入式（a），并令 ，得 (4-43)式中 为堰流流量系数，由实验确定。(例46）解：解：按照瑞利法可以写出：（b）如果用基本量纲表示方程中的各物理量，则有根据物理方程量纲一致性原则有 对L T M六个指数有三个代数方程，只有三个指数是独立的、待定的。例如取 和 为待定指数，则联立求解三 个代数方程，可得代入式（b），可得 （c）由于沿管道的压强降是随管道

33、长线性增加的，故 。式（c）右侧第一个无量纲量为管道的长径比，第二个无量纲量为相对粗糙度，第三个无量纲量为相似准则数1/Re。于是可将式（c）写成 （d）令 ，称沿程损失系数，由实验确定，则式（d）变成 （444）代入式（b），可得 （c）由于沿管道的压强降是随管道长线性增加的，故 。式（c）右侧第一个无量纲量为管道的长径比，第二个无量纲量为相对粗糙度，第三个无量纲量为相似准则数1/Re。于是可将式（c）写成 （d）令 ，称沿程损失系数，由实验确定，则式（d）变成 （444）这是压强降的表达式。令 ，则管道流动中单位重力流体沿程能量损失的表达式为 （445）这就是著名的达西魏斯巴赫（Darcy

34、Weisbach）公式。（例47）解：解：根据与压强降有关的物理量可以写出物理方程：物理方程中有7个物理量，选取 作为基本变量，可以组成4（=7-3）个无量纲量，它们是用基本量纲表示 中的各物理量，得根据物理方程量纲一致性原则有 对L T M解得 故有 用基本量纲表示 中的各物理量，得根据量纲一致性原则得 故有 用基本量纲表示 和 中的各物理量，得相同的量纲方程根据量纲一致性原则得 故有将所有 值代入式（4-50），并依例4-6同样的理由将 提出，可得与用瑞利法导出的结果完全一样，但用 定理推导时不出现待定指数的选取问题。（例48）解：解：根据与阻力有关的物理量可以写出物理方程：选取 作基本变量，可组成的无量纲量为 用基本量纲表示 （已经是无量纲量）中的各物理量，得根据量纲一致性原则得故有由于 仍是无量纲量，所以将所有 值代入式（4-50），得 （4-51）式中 为翼型的阻力系数，由试验确定。当 时，可以不考虑压缩性的影响，；对于圆柱体的绕流问题，不存在a的影响，。