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1、一、函数的局部线性化（微分）一、函数的局部线性化（微分）引言引言误差误差一般化：函数用一次多项式近似一般化：函数用一次多项式近似由由说明：这是局部的近似（整体分片），说明：这是局部的近似（整体分片），有限元基础有限元基础1/25Mathematics二、整体（近似）表示二、整体（近似）表示问题：问题：1 上式排开未知导数，实为上式排开未知导数，实为0阶多项式阶多项式;高阶呢？高阶呢？2、精度？、精度？形式推导高阶多项式的系数形式推导高阶多项式的系数LagrangeLagrange同样要求同样要求解得系数解得系数误差误差或和或和Lagrange定理一样的定理一样的精确表示？精确表示？2/25Ma
2、thematics一、泰勒一、泰勒(Taylor)中值定理中值定理2.8泰泰勒勒公公式式3/25Mathematics证明证明:4/25Mathematics5/25两函数两函数 及及 在以在以 及及 为端点为端点的区间的区间上满足柯西中值定理的条件，得上满足柯西中值定理的条件，得Mathematics6/25Mathematics拉格朗日型余项拉格朗日型余项皮亚诺皮亚诺(Piano)(Piano)型余项型余项7/25Mathematics8/25Mathematics9/25Mathematics10/25Mathematics注意注意:则余项则余项1.当当n=0时时,泰勒公式变成拉氏中值公
3、式泰勒公式变成拉氏中值公式11/25Mathematics麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)公式公式12/25Mathematics解解代入公式代入公式,得得13/25Mathematics由公式可知由公式可知估计误差估计误差其误差其误差14/25Mathematics令令n=2m,得得其中其中解解15/25Mathematics常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式16/25Mathematics解解泰泰勒勒公公式式的的应应用用（1）求极限）求极限17/25Mathematics思考思考18/25Mathematics（2）证明不等式）证明不等式证证由一阶由一阶泰勒公式有泰勒公式有关键：在哪点展开，关键：在哪点展开，一般系数为一般系数为0多的点多的点19/25Mathematics得得20/25Mathematics21/25Mathematics22/25Mathematics23/25Mathematics24/25Mathematics例例7 7 设设 在在 上有三阶连续导数，且上有三阶连续导数，且 求证：求证：存在 使得：例例8 8 设设 在在 上有二阶导数，且上有二阶导数，且 求证：求证：任意 都有：25/25Mathematics