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1、第十一章第十一章 组合变形时的强度计算组合变形时的强度计算 11-1 概述概述一、组合变形的概念一、组合变形的概念1.组合变形组合变形：构件同时存在两种以上基本变形：构件同时存在两种以上基本变形2.分类分类-两个平面弯曲的组合两个平面弯曲的组合(斜弯曲斜弯曲)拉伸拉伸(或压缩或压缩)与弯曲的组合，以及偏心拉、压与弯曲的组合，以及偏心拉、压 扭转与弯曲或扭转与拉伸扭转与弯曲或扭转与拉伸(压缩压缩)及弯曲的组合及弯曲的组合3.一般不考虑剪切变形；一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯曲为主，含弯曲组合变形，一般以弯曲为主，其危险截面主要依据其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯曲剪应力。一
2、般不考虑弯曲剪应力。用强度准则进行强度计算用强度准则进行强度计算 1.叠叠加加原原理理：在在线线弹弹性性、小小变变形形下下，每每一一组组载载荷荷引引起起的变形和内力不受彼此影响，可采用代数相加；的变形和内力不受彼此影响，可采用代数相加；二、基本解法二、基本解法(叠加法叠加法)2.基本解法：基本解法：外力分解或简化外力分解或简化：使每一组力只产生一个方向：使每一组力只产生一个方向的一种基本变形的一种基本变形分别计算各基本变形下的内力及应力分别计算各基本变形下的内力及应力将各基本变形应力进行叠加将各基本变形应力进行叠加(主要对危险截面危险点主要对危险截面危险点)对危险点进行应力分析对危险点进行应力
3、分析(s s1s s2s s3)平面弯曲平面弯曲：对于横截面具有对称轴的梁，当横向外力或：对于横截面具有对称轴的梁，当横向外力或外力偶作用在梁的纵向对称面内时，梁发生对称弯曲。这时，外力偶作用在梁的纵向对称面内时，梁发生对称弯曲。这时，梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线。梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线。斜弯曲斜弯曲：双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内：双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内同时承受横向外力作用的情况，这时梁分别在水平纵对称面同时承受横向外力作用的情况，这时梁分别在水平纵对称面和铅垂纵对称面内发生对称弯曲。（也称为和铅垂纵对称面内发生对称弯
4、曲。（也称为两个相互垂直平两个相互垂直平面内的弯曲面内的弯曲）11-2 两相互垂直平面内的弯曲两相互垂直平面内的弯曲 在梁的任意横截面在梁的任意横截面mm上，由上，由P1和和P2引起的弯矩值依次为：引起的弯矩值依次为：在梁的任意横截面在梁的任意横截面mm上任一点，与上任一点，与My和和Mz对应的正应力对应的正应力依次为：依次为：上式即为双对称截面梁在两相互垂直平面内发生对称弯曲上式即为双对称截面梁在两相互垂直平面内发生对称弯曲(斜斜弯曲）时正应力的计算公式。弯曲）时正应力的计算公式。式中，式中，Iy和和Iz分别为横截面对于两对称轴分别为横截面对于两对称轴y和和z的惯性矩；的惯性矩；M y和和M
5、z分别是截面上位于水平和铅垂对称平面内的弯矩，且分别是截面上位于水平和铅垂对称平面内的弯矩，且其力矩矢量分别与其力矩矢量分别与y轴和轴和z轴的正向相一致。在具体计算中，轴的正向相一致。在具体计算中，也可以先不考虑弯矩也可以先不考虑弯矩M y、Mz和坐标和坐标y、z的正负号，以它们的的正负号，以它们的绝对值代入，然后根据梁在绝对值代入，然后根据梁在P1和和P2分别作用下的变形情况，分别作用下的变形情况，来判断上式右边两项的正负号来判断上式右边两项的正负号。为确定横截面上最大正应力点的位置，应先求截面上的为确定横截面上最大正应力点的位置，应先求截面上的中性轴位置。由于中性轴上各点处的正应力均为零，
6、令中性轴位置。由于中性轴上各点处的正应力均为零，令y0、z0代表中性轴上任一点的坐标，则由上式可得中性轴的方程为：代表中性轴上任一点的坐标，则由上式可得中性轴的方程为：由上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线。它由上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线。它与与y轴的夹角轴的夹角为：为：式中角度式中角度是横截面上合成弯矩是横截面上合成弯矩M矢量与矢量与y轴间的夹角。一般轴间的夹角。一般情况下，由于截面的情况下，由于截面的Iy不等于不等于Iz，因而中性轴与合成弯矩因而中性轴与合成弯矩M所在所在的平面并不相互垂直。并由于截面的挠度垂直于中性轴，所以挠的平面并不相互垂直。并由于截面的挠度垂直于
7、中性轴，所以挠曲线将不在合成弯矩所在的平面内。故这种弯曲称为曲线将不在合成弯矩所在的平面内。故这种弯曲称为斜弯曲斜弯曲。在确定中性轴的位置后，作平行于中性轴在确定中性轴的位置后，作平行于中性轴的两直线，分别与横截面周边相切于的两直线，分别与横截面周边相切于D1、D2两点，该两点即分别为横截面上拉应力和压应两点，该两点即分别为横截面上拉应力和压应力为最大的点。力为最大的点。将两点的坐标将两点的坐标(y，z)分别代分别代人，就可得到横截面上的最大拉、压应力。人，就可得到横截面上的最大拉、压应力。对于工程中常用的矩形、工字形等对于工程中常用的矩形、工字形等截面梁，其横截面都有两个相互垂直的截面梁，其
8、横截面都有两个相互垂直的对称轴，且截面的周边具有棱角，故横对称轴，且截面的周边具有棱角，故横截面上的最大正应力必发生在截面的棱截面上的最大正应力必发生在截面的棱角处。于是，可根据梁的变形情况，直角处。于是，可根据梁的变形情况，直接确定截面上最大泣、压应力点的位置，接确定截面上最大泣、压应力点的位置，而无需定出其中性轴。而无需定出其中性轴。在确定了梁的危险截面和危险点的位置，并算出危险点处的在确定了梁的危险截面和危险点的位置，并算出危险点处的最大正应力后，由于危险点处是单轴应力状态，于是，可将最大最大正应力后，由于危险点处是单轴应力状态，于是，可将最大正应力与材料的许用正应力相比较来建立强度条件
9、，进行强度计正应力与材料的许用正应力相比较来建立强度条件，进行强度计算。至于横截面上的剪应力，一般因其数值都比较小，故在强度算。至于横截面上的剪应力，一般因其数值都比较小，故在强度计算中可不必考虑。计算中可不必考虑。例题例题11-1 20 a号工字钢悬臂梁受集度为号工字钢悬臂梁受集度为q的均布荷载和集中力的均布荷载和集中力P=qa/2作作用，如图所示。已知钢的许用弯曲正应力用，如图所示。已知钢的许用弯曲正应力o=160MPa，a1m。试求此梁的试求此梁的许可荷载集度许可荷载集度q。解：将自由端解：将自由端B截面上的集中截面上的集中力沿两主轴分解，并分别绘出力沿两主轴分解，并分别绘出两个主轴平面
10、内的弯矩图。两个主轴平面内的弯矩图。由型钢表查得由型钢表查得20a号工字钢的抗弯号工字钢的抗弯截面系数截面系数Wz和和Wy值分别为：值分别为：根据工字钢截面根据工字钢截面Wz不等不等于于Wy 的特点并结合内力图情的特点并结合内力图情况，可按叠加原理分别算出况，可按叠加原理分别算出A截面及截面及D截面上的最大拉伸应截面上的最大拉伸应力，即：力，即：由此可见，该梁的危险点在固定端由此可见，该梁的危险点在固定端A截面的棱角处。由于危险点处是单截面的棱角处。由于危险点处是单轴应力状态，故可将最大弯曲正应力与许用弯曲正应力相比较来建立强度条轴应力状态，故可将最大弯曲正应力与许用弯曲正应力相比较来建立强度
11、条件，即件，即:解得：解得：例题例题11-2 一铸铁悬臂梁受集度为一铸铁悬臂梁受集度为q=15kNm的均布荷载作用，如图所示。的均布荷载作用，如图所示。已知铸铁的许用拉应力已知铸铁的许用拉应力40MPa，许用压应力许用压应力c=160MPa，梁的截面梁的截面尺寸为尺寸为d160mm，b=70mm，h110mm。试核核此梁的强度，并绘出危险试核核此梁的强度，并绘出危险截面上的正应力变化图。截面上的正应力变化图。解：该梁横截面具有两个对称袖，解：该梁横截面具有两个对称袖，但因荷载作用面与纵向对称面间有但因荷载作用面与纵向对称面间有-300的夹角，故此梁为非对称弯曲。求解的夹角，故此梁为非对称弯曲。
12、求解方法是先将荷载沿两主轴分解为：方法是先将荷载沿两主轴分解为：该梁在该梁在qy和和qz作用下，将分别以作用下，将分别以z轴和轴和y轴轴为中性轴发生对称弯曲危险截面上的弯矩值为为中性轴发生对称弯曲危险截面上的弯矩值为 由于该梁横截面无外棱角，要求得危险截面上的最大拉应力和最大压由于该梁横截面无外棱角，要求得危险截面上的最大拉应力和最大压应力，须确定中性轴和位置应力，须确定中性轴和位置 作平行于中性轴的两条直线分别与横截面周边相切于作平行于中性轴的两条直线分别与横截面周边相切于D1和和D2，该两点即该两点即为斜弯曲时横截面上最大拉应力和最大压应力点。为斜弯曲时横截面上最大拉应力和最大压应力点。绘
13、出了此粱分别以绘出了此粱分别以z轴和轴和y轴为中轴为中性轴对称弯曲时的正应力变化规律，性轴对称弯曲时的正应力变化规律，可以看出，可以看出，D1点均处于拉应力而点均处于拉应力而D2点点均处于压应力。因此，按两个对称弯均处于压应力。因此，按两个对称弯曲叠加后的曲叠加后的D1点即为该截面上的最大点即为该截面上的最大拉应力点，而拉应力点，而D2点为最大压应力点。点为最大压应力点。该梁能满足正应力强度条件该梁能满足正应力强度条件 弯曲与拉伸（压缩）组合变形：弯曲与拉伸（压缩）组合变形：当杆上的外力除横向力外，当杆上的外力除横向力外，还受有轴向拉（压）力时，所发生的组合变形。还受有轴向拉（压）力时，所发生
14、的组合变形。一、计算方法：一、计算方法：1.分别计算轴向力引起的正应力和横向力引起的正应力；分别计算轴向力引起的正应力和横向力引起的正应力；2.按叠加原理求正应力的代数和，即可。按叠加原理求正应力的代数和，即可。二、注意事项：二、注意事项：1.如如果果材材料料许许用用拉拉应应力力和和许许用用压压应应力力不不同同，且且截截面面部部分分区区域域受受拉拉，部部分分区区域域受受压压，应应分分别别计计算算出出最最大大拉拉应应力力和和最最大大压压应应力力，并并分别按拉伸、压缩进行强度计算。分别按拉伸、压缩进行强度计算。2.如如果果横横向向力力产产生生的的挠挠度度与与横横截截面面尺尺寸寸相相比比不不能能忽忽
15、略略，则则轴轴向向力力在在横横截截面面上上引引起起附附加加弯弯矩矩D DM=Py亦亦不不能能忽忽略略，这这时时叠叠加加法法不不能能使使用，应考虑横向力与轴向力之间的相互影响。用，应考虑横向力与轴向力之间的相互影响。xqPPy11-3-3 拉伸拉伸(压缩压缩)与弯曲组合变形与弯曲组合变形 例例11-3 图示起重机的最大吊重图示起重机的最大吊重P=12kN，材料许用应力材料许用应力s s=100MPa，试为试为AB杆选择适当的工字梁。杆选择适当的工字梁。解：解：(1)根据根据AB杆的受力简图，由平衡条件，得：杆的受力简图，由平衡条件，得：(2)作作AB杆杆的的弯弯矩矩图图和和轴轴力力图图：C点点左
16、左截截面面上上，弯弯矩矩为为极极值值而而轴轴力力与与其其它截面相同，故为危险截面。它截面相同，故为危险截面。(3)计计算算时时暂暂不不考考虑虑轴轴力力影影响响，只只按按弯弯曲曲正正应应力力强强度度条条件件确确定定工工字字梁梁的的抗弯截面模量，有：抗弯截面模量，有：(4)查查型型钢钢表表，选选取取W=141cm3的的16号号工工字字梁梁，然然后后按按压压弯弯组组合合变变形形进进行校核。易知，在行校核。易知，在C截面下缘的压应力最大，且有：截面下缘的压应力最大，且有：最大压应力略小于许用应力，说明选取最大压应力略小于许用应力，说明选取16号工字号工字梁是合适的。梁是合适的。RAHATCABP24k
17、N_NB2m1m1.5mPACTxTy12kNm_M 例例11-4 图图示示压压力力机机，最最大大压压力力P=1400kN，机机架架用用铸铸铁铁作作成成，许许用用拉拉应应力力s sL=35MPa，许许用用压压应应力力s sy=140MPa，试试校校核核该该压压力力机机立立柱柱部部分分的的强强度度。立立柱柱截截面面的的几几何何性性质质如如下下：yc=200mm，h=700mm，A=1.8105mm2，Iz=8.0109mm4。在在偏偏心心拉拉力力P作作用用下下横横截截面面上上的的内内力力及及各各自自产产生生的的应应力力如如图图：最最大大组组合合正正应应力发生在截面内、外侧边缘力发生在截面内、外侧
18、边缘a、b处，其值分别为处，其值分别为 解：由图可见，载荷解：由图可见，载荷P偏离立柱轴线，其偏心距为：偏离立柱轴线，其偏心距为：e=yc+500=200+500=700mm。可见，立柱符合强度要求。可见，立柱符合强度要求。Pe500PPhzycycN=PM=PeN=Ps sNy2ycbcas sas sbM=Pes sas sb一、单向弯曲与扭转组合变形一、单向弯曲与扭转组合变形 1.引例：以钢制摇臂轴为例。引例：以钢制摇臂轴为例。外力向形心简化外力向形心简化(建立计算模型建立计算模型)：作弯矩、扭矩图作弯矩、扭矩图(找危险截面找危险截面)：由弯矩图知：由弯矩图知：A截面截面|M|max；全
19、梁全梁Mn处处相同，处处相同，A截面为危险截面：截面为危险截面：危危险险截截面面的的危危险险点点：A截截面面K1、K2点点，t t、s s数数值值均均为为最最大大，K1、K2点均为危险点：点均为危险点：K2点：点：K1点：点：11-4-4弯曲与扭转组合变形弯曲与扭转组合变形PaPLMTn_xLayzAPCBdPPaAs ss st tt tK1K2s ss st ts sK1t ts sK2对对危危险险点点进进行行应应力力分分析析：(从从K1、K2点点取取单单元元体体，因因它它们们的的s s、t t数值分别相同，危险程度也相同，不妨取数值分别相同，危险程度也相同，不妨取K1点研究点研究)：进行
20、强度计算：进行强度计算：(圆轴：圆轴：Wn=2Wz)2.讨论：讨论：公式公式1)、3)可用于一般构件中只有一对可用于一般构件中只有一对s s的平面应力状态；的平面应力状态；公式公式2)、4)只能用于圆轴单向弯扭变形。只能用于圆轴单向弯扭变形。二、双向弯曲和扭转强度计算二、双向弯曲和扭转强度计算(基本步骤与前相同基本步骤与前相同)例例11-5 图图示示皮皮带带轮轮传传动动轴轴，传传递递功功率率N=7kW，转转速速n=200r/min。皮皮带带轮轮重重量量Q=1.8kN。左左端端齿齿轮轮上上啮啮合合力力Pn与与齿齿轮轮 节节 圆圆 切切 线线 的的 夹夹 角角(压压 力力 角角)为为 20o。轴轴
21、 材材 料料 的的 许许 用用 应应 力力s s=80MPa，试按第三强度理论设计轴的直径。试按第三强度理论设计轴的直径。解：解：外力简化外力简化(建立计算模型建立计算模型)：外力向：外力向AB轴轴轴轴线简化，并计算各力大小。线简化，并计算各力大小。zyD1ABCD200200400f f300f f500D2MyMz0.446kNm0.8kNm0.16kNm0.36kNmF1=2F2F220oPnxyQPyPz3F2TnTnQQPyPz作轴的扭矩图和弯矩图作轴的扭矩图和弯矩图(确定轴的危险截面确定轴的危险截面)：因因全全轴轴上上扭扭矩矩相相等等，所所以以扭扭矩矩图图略略。作作xz平平面面内内
22、的的My图图和和作作xy平面的平面的Mz图，可以看出图，可以看出D截面为危险截面，其上的内力为截面为危险截面，其上的内力为最后根据第三强度理论设计轴的直径：最后根据第三强度理论设计轴的直径：讨论：讨论：对于圆轴，由于对称性，其横截面上的两方向弯矩可以矢量合成对于圆轴，由于对称性，其横截面上的两方向弯矩可以矢量合成合合成成弯弯矩矩可可能能最最大大点点在在各各方方向向弯弯矩矩图图的的尖尖点点处处，如如上上题题，可可能能合弯矩最大值在合弯矩最大值在C、D处；处；1.构件外力与轴线平行但不与轴线重合时，即为偏心拉伸或压缩。构件外力与轴线平行但不与轴线重合时，即为偏心拉伸或压缩。2.横截面上任意点的应力
23、：横截面上任意点的应力：11-5偏心拉伸偏心拉伸(压缩压缩)对对于于受受偏偏心心压压缩缩的的短短柱柱，y、z轴轴为为形形心心主主惯惯性性轴轴，P作作用用点点坐坐标标为为yP、zP，将将P向向形形心心简简化化，则则各各内内力力在在(y,z)点点引引起起的的应力分别为：应力分别为：负号表示为压应力；负号表示为压应力；组合应力：组合应力：式中：式中：截面对截面对z、y轴的轴的惯性半径惯性半径。OzyOOxyzAPezPyPyPzPAyBzPMz=PyPMy=PzPD1azD2ay3.中性轴方程：中性轴方程：利用中性轴处的正应力为零，得中性轴方程利用中性轴处的正应力为零，得中性轴方程y0=f(z0)为
24、：为：直线方程直线方程 中性轴在中性轴在y、z轴上的截轴上的截距分别为：距分别为：1)ay、az分分别别与与yP、zP符符号号相相反反，故故中中性性轴轴与与偏偏心心压压力力P的的作用点位于截面形心的两侧。作用点位于截面形心的两侧。2)中中性性轴轴将将截截面面分分成成两两个个区区，压压力力P所所在在区区受受压压，另另一一区区受受拉拉。在在截截面面周周边边上上，D1和和D2两两点点切切线线平平行行于于中中性性轴轴，它它们们是是离中性轴最远的点，应力取极值。离中性轴最远的点，应力取极值。例题例题11-6 图示一夹具。在夹紧零件时，夹具受到的外力图示一夹具。在夹紧零件时，夹具受到的外力为为P2kN。已
25、知：已知：外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离为外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离为e=60mm，竖杆横截面的尺寸为竖杆横截面的尺寸为b=10mm，h=22mm，材料的材料的许用应力许用应力170MPa。试校核此夹具竖杆的强度。试校核此夹具竖杆的强度。解：对于夹具的竖杆，解：对于夹具的竖杆，P力是一对偏力是一对偏心拉力。心拉力。对竖杆的作用相当于图对竖杆的作用相当于图b中所中所示的一对轴向拉力示的一对轴向拉力P和一对在竖杆的纵和一对在竖杆的纵向对称平面内的力偶；拉伸和弯曲的向对称平面内的力偶；拉伸和弯曲的组合变形。组合变形。竖杆的危险点在横截面竖杆的危险点在横截面的内侧边缘处。都是拉应力。的内侧边缘
26、处。都是拉应力。危险点处的正应力为危险点处的正应力为:强度条件满足，所以竖杆在强度上是安全的。强度条件满足，所以竖杆在强度上是安全的。2.研究意义：研究意义：工工程程中中的的混混凝凝土土柱柱或或砖砖柱柱，其其抗抗拉拉性性很很差差，要要求求构构件件横横截面上不出现拉应力；截面上不出现拉应力；地基受偏心压缩，不允许其上建筑物某处脱离地基。地基受偏心压缩，不允许其上建筑物某处脱离地基。3.求截面核心方法：求截面核心方法：基基本本方方法法：将将截截面面周周界界上上一一系系列列点点的的切切线线作作为为中中性性轴轴，反反求求出出相相应应压压力力P作作用用点点位位置置，其其连连线线即即为为截截面面核核心心的
27、的周周界界。设设y、z轴轴为为形形心心主主惯惯性性轴轴，周周界界某某一一点点切切线线为为中中性性轴轴时时，在在y、z轴轴上上的截距分别为的截距分别为ay、az，则压力则压力P作用点坐标为：作用点坐标为：()。1.定定义义：当当压压力力P作作用用在在截截面面的的某某个个区区域域内内时时，整整个个截截面面上上只产生压应力，该区域通常就称为只产生压应力，该区域通常就称为截面核心截面核心。特殊情况：特殊情况：11-6 截面核心截面核心 4.例题：例题：求矩形截面的截面核心。求矩形截面的截面核心。解解（1）中性轴在中性轴在位置时，有截矩位置时，有截矩ay=h/2，az=：zybh则压力作用点的坐标则压力
28、作用点的坐标1(-h/6,0)。同理可求中性轴同理可求中性轴所对应的压力作用点所对应的压力作用点2(0,b/6)；中性轴中性轴所对应的压力作用点所对应的压力作用点3(h/6,0)；中性轴中性轴所对应的压力作用点所对应的压力作用点4(0,-b/6)。1)截面周界有直线段时，对应的压力作用点只是一点；截面周界有直线段时，对应的压力作用点只是一点；2)截面周界有棱角时，对应压力作用点为一直线；截面周界有棱角时，对应压力作用点为一直线；3)中中性性轴轴不不能能穿穿过过截截面面，则则当当截截面面周周界界有有内内凹凹时时，取取中中性性轴轴为为跨过内凹部分的切线。跨过内凹部分的切线。ybhzB(yB，zB)12354 (3)所所形形成成的的菱菱形形(阴阴影影部部分分)即即为为矩矩形形截截面面的的截截面面核核心心。图图中中的的1、3点点正正处在截面宽度的三分点处，因此又称处在截面宽度的三分点处，因此又称“均三分法则均三分法则”。B点点对对应应压压力力作作用用点点在在直直线线12上上，连连接接1、2，同同理理将将2、3、4、1点点顺序相连；顺序相连；(2)将定点将定点B的坐标的坐标(yB,zB)代入中性轴方程得：代入中性轴方程得：直线方程直线方程