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1、第二讲 数列的通项与求和【考情快报考情快报】高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：(1)(1)以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查学生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属查学生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属中档题中档题.(2)(2)通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题属中档
2、题.【核心自查核心自查】一、主干构建一、主干构建二、重要公式二、重要公式1.1.“基本数列基本数列”的通项公式的通项公式(1)(1)数列数列-1,1,-1,1-1,1,-1,1，的通项公式是的通项公式是a an n=_.=_.(2)(2)数列数列1,2,3,4,1,2,3,4,的通项公式是的通项公式是a an n=_.=_.(3)(3)数列数列3,5,7,9,3,5,7,9,的通项公式是的通项公式是a an n=_.=_.(4)(4)数列数列2,4,6,8,2,4,6,8,的通项公式是的通项公式是a an n=_.=_.(-1)(-1)n nn n2n+12n+12n2n(5)(5)数列数列1
3、,2,4,8,1,2,4,8,的通项公式是的通项公式是a an n=_.=_.(6)(6)数列数列1,4,9,16,1,4,9,16,的通项公式是的通项公式是a an n=_.=_.(7)(7)数列数列1,3,6,10,1,3,6,10,的通项公式是的通项公式是a an n=_.=_.(8)(8)数列数列的通项公式是的通项公式是a an n=_.=_.2 2n-1n-1n n2 22.2.常用的拆项公式常用的拆项公式(1)_(1)_；(2)(2)；(3)_(3)_；(4)(4)若等差数列若等差数列aan n 的公差为的公差为d,d,则则(5)(5)(6)(6)(7)(7)提醒：提醒：实际应用中
4、，注意验证所拆项是否正确实际应用中，注意验证所拆项是否正确.热点考向热点考向 一一 求数列的通项公式求数列的通项公式【典例典例】1.(20121.(2012长春模拟长春模拟)已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1=36,a=36,an+1n+1-a an n=2n,=2n,则则 的最小值为的最小值为_._.2.(20122.(2012临沂模拟临沂模拟)已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1=2,=2,(n2)(n2)，则数列，则数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=_.=_.3.(20123.(2012合肥模拟合肥模拟)已知数列已知数列aan n 与与 b
5、bn n 的前的前n n项和分别为项和分别为S Sn n,T,Tn n,a,a1 1=1,b=1,b1 1=2,=2,且对任意且对任意nNnN*，都有，都有 成成立，求数列立，求数列aan n，b bn n 的通项公式的通项公式.【解题指导解题指导】1.1.利用累加法先求利用累加法先求a an n再求解再求解.2.2.由递推关系，构造新等差数列由递推关系，构造新等差数列 求解求解.3.3.先由和与项的递推关系，利用先由和与项的递推关系，利用a an n=S S1 1,(n=1),(n=1)S Sn n-S-Sn-1n-1,(n2),(n2)转化为项与项的递推关系再求通项公式转化为项与项的递推关
6、系再求通项公式.【解析解析】1.1.由由a an+1n+1-a-an n=2n,=2n,得得a a2 2-a-a1 1=2,=2,a a3 3-a-a2 2=4,=4,a a4 4-a-a3 3=6,=6,a an n-a-an-1n-1=2(n-1).=2(n-1).将以上将以上n-1n-1个式子累加得个式子累加得又又a a1 1=36,a=36,an n=n=n2 2-n+36,-n+36,当当n=6n=6时，时，有最小值有最小值11.11.答案：答案：11112.2.即即数列数列 构成以构成以 为首项，为首项，为公差的等差数列，为公差的等差数列，a an n=2.=2.答案：答案：2 2
7、3.(1)3.(1)由由 知知S Sn n=n=n2 2a an n,S Sn-1n-1=(n-1)=(n-1)2 2a an-1n-1(n2),(n2),两式相减得两式相减得a an n=n=n2 2a an n-(n-1)-(n-1)2 2a an-1n-1,即即(n(n2 2-1)a-1)an n=(n-1)=(n-1)2 2a an-1n-1,又又a a1 1=1=1也适合上式，因此也适合上式，因此(2)(2)由由T Tn n=2b=2bn n-2,T-2,Tn-1n-1=2b=2bn-1n-1-2(n2),-2(n2),两式相减得两式相减得b bn n=2b=2bn n-2b-2bn
8、-1n-1,即即b bn n=2b=2bn-1n-1,数列数列 b bn n 构成以构成以b b1 1=2=2为首项，为首项，2 2为公比的等比数列，为公比的等比数列，b bn n=2=2n n.【拓展提升拓展提升】求数列通项公式的常见类型及方法求数列通项公式的常见类型及方法(1)(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法用归纳猜想法.(2)(2)已知已知S Sn n与与a an n的关系，利用的关系，利用 求求a an n.(3)(3)累加法：数列递推关系形如累加法：数列递推关系形如a an+1n+1=a an
9、n+f(n+f(n)，其中数列，其中数列 f(nf(n)前前n n项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠叠加法加法).).(4)(4)累乘法：数列递推关系如累乘法：数列递推关系如a an+1n+1=g(n)ag(n)an n，其中数列，其中数列 g(ng(n)前前n n项可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法项可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法叠乘法).).(5)(5)构造法：递推关系形如：构造法：递推关系形如：a an+1n+1=papan n+q(p,q+q(p,q为常数为常数),),可化为可化为的形式，利用的形式，
10、利用 是以是以p p为公比的等比数列求解；为公比的等比数列求解；递推关系形如递推关系形如 可化为可化为 的形式的形式.提醒：提醒：注意对注意对n n分类讨论分类讨论.热点考向热点考向 二二 数列求和数列求和【典例典例】(12(12分分)(2012)(2012惠州模拟惠州模拟)已知数列已知数列aan n 满足：满足：a a1 1=1,a=1,a2 2=,=,且且 3+(-1)3+(-1)n n a an+2n+2-2a-2an n+2(-1)+2(-1)n n-1=0,nN-1=0,nN*.(1)(1)求求a a3 3,a,a4 4,a,a5 5,a,a6 6的值及数列的值及数列aan n 的通
11、项公式；的通项公式；(2)(2)设设b bn n=a=a2n-12n-1a a2n2n-(-1)-(-1)n nlnalna2n2n，求，求S S2n2n.【解题指导解题指导】(1)(1)令令n=1,2,3,4n=1,2,3,4代入递推关系式求得代入递推关系式求得a a3 3,a,a4 4,a,a5 5,a,a6 6的值，并据此分的值，并据此分n n为奇数、偶数探究数列为奇数、偶数探究数列aan n 的递推关系，从而的递推关系，从而求得求得a an n.(2)(2)在在(1)(1)的基础上求得的基础上求得b bn n的通项公式，根据其结构特征选择求的通项公式，根据其结构特征选择求和方法求和和方
12、法求和.【规范解答规范解答】(1)(1)经计算经计算a a3 3=3,a=3,a4 4=,a,a5 5=5,a=5,a6 6=当当n n为奇数时，为奇数时，a an+2n+2=a an n+2+2，即数列，即数列aan n 的奇数项成等差数列，的奇数项成等差数列，a a2n-12n-1=a=a1 1+(n-1)+(n-1)2=2n-12=2n-1；2 2分分当当n n为偶数，为偶数，a an+2n+2=a=an n,即数列即数列aan n 的偶数项成等比数列，的偶数项成等比数列，因此，数列因此，数列aan n 的通项公式为的通项公式为 4 4分分 (2)(2)并设数列并设数列 c cn n,d
13、,dn n 的前的前n n项和分别为项和分别为T Tn n,T,Tn n.6 6分分，两式相减两式相减，得，得T T2n2n=-1+2-3+4-=-1+2-3+4-+2nln2=nln2+2nln2=nln2，1111分分S S2n2n=T=T2n2n+T+T2n2n=3-(4n+3)()=3-(4n+3)()2n2n+nln2.+nln2.1212分分【拓展提升拓展提升】数列求和的常见类型及方法数列求和的常见类型及方法(1)(1)通项公式形如通项公式形如a an n=kn+bkn+b或或a an n=p pq qkn+bkn+b(其中其中k,b,pk,b,p，q q为常为常数数)，用公式法求
14、和，用公式法求和.(2)(2)通项公式通项公式形如形如 (其中其中k k1 1,b,b1 1,k,k2 2,b,b2 2,q,q为常为常数数)，用错位，用错位相相减法减法.(3)(3)通项公式形如通项公式形如 (其其中中a,ba,b1 1,b,b2 2,c,c为常数为常数)用用裂项相消法裂项相消法.(4)4)通项公式形如通项公式形如a an n=(-1)=(-1)n nn n或或a an n=a=a(-1)(-1)n n(其中其中a a为常数，为常数，nNnN*)等正负交叉等正负交叉项项的求和一般用并项法的求和一般用并项法.并项时应注意分并项时应注意分n n为为奇数、偶数两种情况讨论奇数、偶数
15、两种情况讨论.(5)(5)若数列的通项公若数列的通项公式式为以上四种中的某几个构成的，则可用分为以上四种中的某几个构成的，则可用分组法组法(拆项法拆项法)求和求和.提醒：提醒：(1)(1)运用公式法求和时注意公式成立的条件运用公式法求和时注意公式成立的条件.(2)(2)运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的n+1n+1项中的项中的前前n n项，哪些项构成等项，哪些项构成等比比数列，以及两边需除以代数式时注意要数列，以及两边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零讨论代数式是否为零.【思想诠释思想诠释】数列求和中的转化与化归思想数列求和中的转化与化归思
16、想(1)(1)本题中的转化与化归主要是：本题中的转化与化归主要是：将通项公式将通项公式a an n的求解转化为等差、等比数列通项公式的求解的求解转化为等差、等比数列通项公式的求解.求求S Sn n转化为求转化为求 c cn n 与与 d dn n 的前的前n n项和，再转化为项和，再转化为求求(2)(2)数列求和中应用转化与化归思想的常见类型：数列求和中应用转化与化归思想的常见类型：错位相减法求和时将问题转化为等比数列的求和问题求解错位相减法求和时将问题转化为等比数列的求和问题求解.并项求和时，将问题转化为等差数列求和并项求和时，将问题转化为等差数列求和.分组求分组求和和时，将问题转化为能用公
17、式法或错位相减法或裂项时，将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消法或并项法求和的几个数列的和求解相消法或并项法求和的几个数列的和求解.1.(1.(角角度度新新)已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,且且a a3 3=5,S=5,S1515=225=225，(1)(1)求数求数列列aan n 的通项的通项a an n；(2)(2)设设 求数列求数列 b bn n 的前的前n n项和项和T Tn n.【解析解析】(1(1)设等差数列设等差数列aan n 的首项为的首项为a a1 1，公差为，公差为d d，由题意，由题意，得得 解得解得 aan n=2n-
18、1=2n-1.(2)(2)当当n n为偶数时，为偶数时，当当n n为奇数时，为奇数时，2.(2.(角度新角度新)已知数列已知数列22n-1n-1a an n 的前的前n n项和项和 (1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式；的通项公式；(2)(2)【解析解析】(2)(2)设设 的前的前n n项和为项和为T Tn n，3.(3.(交汇新交汇新)已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，对一切正整数，对一切正整数n n，点，点P Pn n(n,S(n,Sn n)都在函数都在函数f(xf(x)=x)=x2 2+2x+2x的图象上，记的图象上，记a an n与与a an
19、+1n+1的等差中项的等差中项为为k kn n.(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式；的通项公式；(2)(2)(3)(3)设集合设集合A=A=x|xx|x=k kn n,nN,nN*,B=,B=x|xx|x=2a=2an n,nN,nN*，等差数列，等差数列 c cn n 的任意一项的任意一项c cn nABAB,其中其中c c1 1是是ABAB中的最小数，且中的最小数，且110110c c1010115115，求，求 c cn n 的通项公式的通项公式.【解析解析】(1)(1)点点P Pn n(n,S(n,Sn n)都在函数都在函数f(xf(x)=x)=x2 2+2x+2x的图象上
20、，的图象上，S Sn n=n=n2 2+2n(nN+2n(nN*),),当当n2n2时，时，a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=2n+1.=2n+1.当当n=1n=1时，时，a an n=S=S1 1=3=3满足上式，满足上式，所以数列所以数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=2n+1.=2n+1.(2)k(2)kn n为为a an n与与a an+1n+1的等差中项，的等差中项，T Tn n=4=43 34 41 1+4+45 54 42 2+4+47 74 43 3+4+4(2n+1)(2n+1)4 4n n 由由4,4,得得4T4Tn n=4=43 34 42
21、 2+4+45 54 43 3+4+47 74 44 4+4+4(2n+1)(2n+1)4 4n+1 n+1 -得：得：-3T-3Tn n=43=434+24+2(4(42 2+4+43 3+4+4n n)-(2n+1)-(2n+1)4 4n+1n+1(3)A=(3)A=x|xx|x=k kn n,nN,nN*,B=,B=x|xx|x=2a=2an n,nN,nN*,AB=B,AB=B,ccn nAB,cAB,c1 1是是ABAB中的最小数，中的最小数，c c1 1=6.=6.c cn n 是公差为是公差为4 4的倍数的等差数列，的倍数的等差数列，c c1010=36m+6(mN=36m+6(mN*).).又又110110c c1010115,115,解得解得m=3.m=3.所以所以c c1010=114,=114,设等差数列的公差为设等差数列的公差为d,d,则则