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1、魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编41 概 述411 材料力学的任务 工程中的构件在工作时要承受载荷。为了保证整个机器或结构正常工作，每个构件都应具有足够的承载能力，必须满足以下要求：（1）具有足够的强度。在外力作用下，构件抵抗破坏的能力，这种能力称为构件的强度。（2）具有足够的刚度。在外力作用下，构件抵抗变形的能力，这种能力称为刚度。（3）具有足够的稳定性。受压直杆保持原有直线形式平衡状态的能力，这种能力称为稳定性。材料力学的任务是：在保证构件安全适用又经济合理的前提下，为构件选择合适的材料，确定合理的形状和尺寸，提供有关强度、刚度和稳定性分析的基本理论、计算
2、方法和实验技术。魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编41 概 述1）均匀连续性假设 假设材料是连续且均匀分布的。即假设材料内部没有任何空隙地、并且均匀地分布于物体所占有的全都空间。2）各向同性假设 假设材料是各向同性的，即认为材料沿各个方向具有相同的力学性能。3）小变形假设 假设物体在外力作用下所产生的变形与物体本身尺寸相比是微小的。412 变形固体及基本假设魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编41 概 述 工程构件大致可以分为杆、板、壳、块体四大类。材料力学研究杆件的变形，工程上有四种基本形式：拉伸与压缩、剪切、扭转、弯曲。a)b)
3、c)d)图4-1 杆件的基本变形a）拉伸与压缩变形 b）剪切变形 c）扭转变形 d）弯曲变形 413 杆件变形的基本形式魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编42 轴向拉伸与压缩的概念421 轴向拉伸与压缩的工程实例 图4-2 受拉伸与压缩变形的杆件a）三角桁架中的拉压杆 b)拧紧的螺栓受拉伸作用 c）受压缩的立柱c）F2F1F2F1FFFb）a）F2F2CBF1F1BGCBAA魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编42 轴向拉伸与压缩的概念422 轴向拉伸与压缩的概念 由图2-4，杆件在轴向的外力（或合外力）作用下，产生沿轴线方向伸长或
4、缩短的变形，称为杆件的轴向拉伸与压缩。魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编43 轴力与轴力图431 轴向拉伸与压缩杆件横截面上的内力 1内力的概念 由外力引起，在构件内部各部分之间产生的相互作用力称为内力。确定构件的内力，是解决构件强度与刚度问题的重要环节。图4-3 用截面法求轴力a）直杆受拉伸作用 b）m-m截面左部分杆件 c）m-m截面右部分杆件 mAmFNFb）a）mmBAFFc）FFNBmm 2截面法 确定杆件内力的大小和方向，通常采用“截面法”。即假想将构件截开，作其中任意部分的受力图，在截面上用内力代替另一部分对它的作用，再用平衡方程把求内力。3轴力与
5、轴力图 如图4-3a所示，一直杆两端受轴向拉力F作用而平衡。现求mm横截面上的内力。由静力平衡条件：魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编43 轴力与轴力图Fx=0 FN-F=0得 FN=F 其作用线通过截面形心与杆件轴线重合，这种作用线与杆件轴线重合的内力，称为“轴力”，用FN表示。轴力用代数量表示，其正负号规定为：使杆件产生拉伸变形的轴力（拉力）为正，产生压缩变形的内力（压力）为负。简称“拉正压负”。实际计算时，也可以采用以下规则确定截面上的轴力：FN=截面左段（或右段）杆件上所有轴向外力的代数和；其中，左段杆件上箭头向左的外力和右段杆件上箭头向右的外力取正号，
6、反之，外力取负号。魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编43 轴力与轴力图 轴力图是轴力的大小和正负号随横截面位置变化而变化的坐标图。借助于轴力图可以确定杆件任意横截面上的轴力的大小和正负号，也能确定杆件上最大的轴力FNmax的大小、正负号及其所在横截面的位置。4轴力图的绘制方法 1)建立轴力FNx直角坐标系，2)根据杆件上的外力，把杆件分为若干段 3)应用截面法分别求出各段截面上的轴力 4)然后在FNx坐标系中绘出轴力的图象，即为轴力图。魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编43 轴力与轴力图 例4-1 如图4-4a所示，一等截面直杆受
7、到轴向外力作用，其中F1=15kN，F2=10kN，试计算各截面的轴力并画出其轴力图。图4-4 画等直杆的轴力图a）直杆受到轴向外力作用 b）受力图 c）轴力图 c）b)1122F2F1ABCa）xFNFRF2F1ABC5kN10kN魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编43 轴力与轴力图 解（1）计算外力。解除约束，画出杆件的受力图（见图4-4b），列平衡方程Fx=0 FR-F1+F2=0 得 FR=F1-F2=15kN10kN=5kN （2）内力分析。杆件分为AB段和BC段，在AB段，FN1=FR=-5kN(压力)在BC段，FN2=FR+F1 =5kN+15kN
8、=10kN（拉力）魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编43 轴力与轴力图（3）绘制轴力图。（4）确定杆件上最大的轴力FNmax的大小和方向。|FN|max=FN2=10kN作用在BC段且为压力。由例4-1的轴力图可以总结出轴力图的变化情况与外力的关系，即突变规则。根据突变规则可直接画轴力图，称为轴力图的简易画法。突变规则表述为：凡有集中力作用的截面处，轴力发生突变，其突变量等于集中力的大小；突变方向按“当从左至右画图时，向左的外力对应轴力图向上突变，向右的外力对应轴力图向下突变”的规则进行，简称“左上右下”，而两外力之间的轴力图与x轴平行。作图时从坐标原点出发，按
9、照突变规则，可将轴力图一气呵成地画出。魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编43 轴力与轴力图例4-2 杆件如图4-5a所示，试画出杆件的轴力图。解 用轴力图的简易画法画出整个轴力图如图4-5b所示。从轴力图上可以看出，|FN|max=20kN，作用在BC段（受压）。Oa）b）图4-5 用简易画法作等直杆的轴力图a）直杆受到轴向外力作用 b)等直杆的轴力图 FN x10kN20kN10kN10kN10kN30kN10kNDCBA魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编44 轴向拉伸与压缩杆件截面上的应力441 应力的概念a）tnFFNFQb
10、）tnpKAK图4-6 横截面上的应力a）微小面A 上的平均应力 b)某点K的正应力与切应力 如图4-6a，平均正应力（m）和平均切应力(m）K点的应力:（4-2）（4-1）魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编44 轴向拉伸与压缩杆件截面上的应力 为截面在K点的正应力（）和切应力（）。和的几何表示如图4-6b所示。图中的p表示K点的应力（一般方向）。应力的量纲为：力长度2。采用国际单位制，应力的基本单位是帕(Pa)，与其他单位的换算关系为：1帕=1 N/m2，1兆帕（MPa）=106帕=1 N/mm2，1吉帕（GPa）=109帕=1kN/mm2 魏道德魏道德工程力
11、学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编44 轴向拉伸与压缩杆件截面上的应力图4-7 轴向拉伸杆件的应力分布a）杆件表面上画有均匀的纵、横直线 b)直杆受轴向拉伸作用 c)横截面上的正应力均匀分布a）b）FFc）FN F442 轴向拉伸与压缩杆件横截面上的应力 魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编44 轴向拉伸与压缩杆件截面上的应力 如图4-7a所示，由演示实验可以得到如下结论：横截面上只有沿轴线方向的应力，即正应力，而没有切应力，正应力在整个横截面上均匀分布（见图4-7c）。对轴向压缩杆件，可以得到同样的结论。设横截面面积为A，其上的轴力为FN，由于正应
12、力在横截面上均匀分布，故有 A=FN（4-3）从而式中 轴向拉伸与压缩杆件横截面上的正应力，并规 定：拉应力为正，压应力为负，简称“拉正压负”。魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编44 轴向拉伸与压缩杆件截面上的应力 例4-3 在图4-8a所示的杆件中，已知F1=20kN，F2=50kN，AB段的直径d1=20mm，BC段的直径d2=30mm，试计算各段杆件横截面上的正应力。a）22F2CBAF111-30kN20kNOFNxb）图4-8 轴向拉压杆的应力计算a）杆件受外载荷作用 b)杆件的轴力图 解（1）采用轴力图的简易画法，从左至右作图，可以在不求出固定端约束
13、力和情况下，直接根据外力情况画出轴力图。魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编44 轴向拉伸与压缩杆件截面上的应力 （2）确定各横截面的轴力FN。采用轴力图的简易画法直接画出轴力图如图4-8b所示。从轴力图上可以看出，各横截面的轴力分别为 FN1=20kN，FN2=30kN。（3）计算各横截面上的正应力。由式（4-3），AB段横截面上的正应力为 BC段横截面上的正应力为 魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编44 轴向拉伸与压缩杆件截面上的应力 例4-4 如图4-9a所示的简易吊车，重W=30kN的重物通过小车可以沿水平方向移动。斜拉杆B
14、C为钢制成的杆，直径d=50mm。试求：斜拉杆BC横截面上可能产生的最大正应力。解（1）受力分析。受力图如图4-9b所示，列平衡方程 图4-9 简易吊车的受拉杆FAxa)b)dFBCmaxFAyMA（F）=0:魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编44 轴向拉伸与压缩杆件截面上的应力 （2）计算应力。此时，斜拉杆BC受到的轴力FN为最大，其值为FNmax=FBCmax=60 kN，故其最大应力为：得魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编44 轴向拉伸与压缩杆件截面上的应力解（1）求轴力。各截面上的轴力均相等，即 FN1=FN2=Fb)a)
15、c)ddFFN2FN1图4-10 带开口槽的圆截面杆的应力计算a）1-1截面上的应力 b）2-2截面上的应力 Fa 例4-5 圆形截面杆AB上有一切开槽CD，如图4-10a所示。已知F=15kN，d=20mm，槽的宽度为a=d/4，试求：各段杆件横截面上的正应力和整个杆件上的最大的正应力。（注：CD截面上开槽的尺寸可以近似计为ad=dd/4）。（2）求AC段和DB段横截面上正应力。横截面面积A1=d2/4 魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编44 轴向拉伸与压缩杆件截面上的应力则 （3）求CD段横截面上正应力。开槽后，杆件的CD段横截面面积有所减少，其大小为A2=
16、d2/4d2/4。（4）求最大正应力。比较1和2，得max=2=70 MPa，发生在切开槽的CD段横截面上。魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编44 轴向拉伸与压缩杆件截面上的应力 1斜截面上应力的一般公式 如图4-11a所示，设拉杆横截面m-m的面积为A，两端受拉力F F作用。则其任意横截面上的正应力为均匀分布（见图4-11b），且大小为 k kk kkk FN=AFN p 图4-11 轴向拉杆斜截面上的应力a）轴向拉杆上的斜截面k-k b)横截面上应力均匀分布c)斜截面上应力均匀分布 d)斜截面上的正应力与切应力 p443 轴向拉伸与压缩杆件斜截面上的应力魏道
17、德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编44 轴向拉伸与压缩杆件截面上的应力 现取任意斜截面k-k，其倾角（截面外法线与x轴的夹角）为，则斜截面面积A=A/cos，根据截面法求得斜截面上的内力为FN=F，与横截面上正应力分布情况一样，斜截面上的应力也是均匀分布的（见图4-11c）其大小为 将p分解为垂直于斜截面k-k的正应力和与斜截面k-k相切的切应力（见图4-11d），则(4-4)魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编44 轴向拉伸与压缩杆件截面上的应力 式（4-4）中，方向角和切应力的正负号规定如下：从x轴正向出发，逆时针转到斜截面外法线n
18、的正向所形成的角为正，反之为负；切应力力矢对其所在的部分构件内任意一点取矩，其转向为顺时针转向时，切应力为正，反之为负；如图4-12所示。na)nb)图4-12 方向角和切应力的正负号规定a）、均为正 b)、均为负 xx魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编44 轴向拉伸与压缩杆件截面上的应力 2几种特殊情况 1）=0（表示横截面），=max=。说明轴向拉（压）杆最大正应力发生在横截面上。2）=45，=max=/2。说明轴向拉（压）杆最大切应力发生在与轴线成45（或135）的斜截面上。3）=90（表示纵截面），=0，说明轴向拉（压）杆在纵截面上无任何应力。4）由=s
19、in2 /2可以得到=-+90，说明在杆件内部任意相互垂直的截面上，切应力大小相等、正负号相反，这个结论称为切应力互等定律。切应力互等定律在几何上表现为两个相互垂直截面上的切应力和+90的箭头同时指向或同时离开两相互垂直截面的交线。魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编45 轴向拉伸与压缩杆件的变形451 轴向拉（压）变形和胡克定律1绝对变形与相对变形ll1bb1图4-13 轴向拉伸杆件的变形 如图4-13所示，杆件的轴向与横向绝对变形分别为：轴向绝对变形 l=l1-l横向绝对变形 b=b1-b拉伸时，l为正，b为负；压缩时，l为负，b为正。魏道德魏道德工程力学工程
20、力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编45 轴向拉伸与压缩杆件的变形 杆件的相对变形为：(4-5)式中 纵向线应变，简称“线应变”，反映杆件轴向变形 程度横向线应变，反映杆件横向变形程度。和都是无量纲的量，其正负号分别与l和b相同。2泊松比 对一种具体的材料而言：或 =-（4-6）魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编45 轴向拉伸与压缩杆件的变形式中 泊松比（横向变形系数），无量纲，是与材料有关的弹性常数。几种常用工程材料的泊松比列在表4-1中。3胡克定律 实验表明，对大多数由工程杆件，在应力不超过某一极限时，其胡克定律表达式为(4-7)式中 E材料的抗拉（压
21、）弹性模量，反映了材料抵抗拉（压）变形的能力，其值由实验测定，单位为GPa。E也称 为材料的抗拉（压）刚度。几种常用工程材料的弹性模量值见表4-1。魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编45 轴向拉伸与压缩杆件的变形EA 杆件的抗（拉）压刚度，反映了杆件抵抗拉 （压）变形的能力。胡克定律的另一种表达式：或 =E （4-8）应用式(4-7)计算杆件变形时应注意，在长度l内，杆件的轴力FN、横截面积A以及弹性模量E均必须为常量，否则，应分段计算。魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编45 轴向拉伸与压缩杆件的变形 452 拉（压）杆的变形计算
22、DC ABF2FRF1a）c）xOFN20kN10kN100100100b）A20kN10kND CB30kN例4-6 如图4-14a所示，杆件受轴向载荷作用。已知：F130kN，F210kN，AC段横截面面积A1500mm2，CD段横截面面积A2200mm2，材料的弹性模量E200GPa，试计算各段杆件横截面上的应力和杆的总变形l。魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编45 轴向拉伸与压缩杆件的变形 解（1）画杆件的轴力图。以杆件为研究对象，作受力图（见图4-14b），列平衡方程。Fx=0 FRF1F2=0得 FR=F1F2=30 kN 10 kN=20 kN 用
23、简易方法作杆件的轴力图（见图4-14c）。设杆件各段的轴力分别用FN1、FN2、FN3表示，由轴图可知，FN1=20kN，FN2=FN3=-10 kN。（2）计算各横截面上的正应力。由式（4-3）得魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编45 轴向拉伸与压缩杆件的变形MPa=40MPa（拉应力）MPa=20 MPa（压应力）MPa=50MPa（压应力）（3）计算各段的总变形。由于轴力的变化和面积的变化，把AD杆分为AB、BC、CD三段，应分别计算各段杆件变形，再求他们的代数和，即为其总变形。由式（4-7）得 魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主
24、编主编45 轴向拉伸与压缩杆件的变形总变形为 l=lABlBClCD =0.02mm0.01mm0.025mm=0.015mm 整个杆件缩短了0.015mm。魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编45 轴向拉伸与压缩杆件的变形800 M162图4-15 螺栓联接两块钢板 例4-7 如图4-15所示，联接两块钢板的M16螺栓，其螺距t=2mm，两块钢板总厚800mm。假设在拧紧螺母时钢板不变形，当螺母与钢板接触后再旋转1/8圈，问螺栓的伸长和螺栓横截面上的应力各为多少?已知螺栓材料的弹性模量E200GPa。解（1）计算螺栓的伸长。拧紧螺母时，钢板不变形，故当螺母相对螺
25、栓旋转1/8圈时，螺栓则伸长t/8。即 魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编45 轴向拉伸与压缩杆件的变形mm=0.25mm （2）计算螺栓横截面上的应力。由式（4-5）得螺栓轴向应变为 由式（4-8）得螺栓横截面上的应力为=Ee=20010331.2510-5 MPa=62.5MPa 魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编45 轴向拉伸与压缩杆件的变形 例4-8 如图4-16所示，拉伸试验用的低碳钢试件中间部分A、B两截面之间的长度l0=50mm，试验时，在试件两端施加力F。在比例极限（参看4.6.1）范围内，当F=20kN时，测得A
26、、B两截面之间的长度l1=50.01mm.。已知材料的弹性模量E200GPa，泊松比=0.24。试求：试件在长度l0内的绝对伸长与相对伸长；试件的横向应变；试件横截面上的正应力。解（1）求试件在长度l0内的绝对伸长与相对伸长。其值分别为l=l1-l0=50.01mm-50mm=0.01mm魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编45 轴向拉伸与压缩杆件的变形BAdl0图4-16 拉伸试件（2）求试件的横向应变。由式（4-6）得e=e=0.24210-4=0.4810-4（3）求试件横截面上应力。由式（4-8）得=E e=200103210-4=40MPa 魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编45 轴向拉伸与压缩杆件的变形 问题 (1)什么是绝对变形、相对变形?胡克定律的适用条件是什么?何谓杆件的抗拉（压）刚度？何谓弹性模量？何谓泊松比？(2)两根由不同材料制成的等截面直杆，承受相同的轴向拉力，其横截面面积和长度都相等。试分析：两根杆横截面上的应力是否相等？两根杆的强度是否相同？两根杆的绝对变形是否相同？为什么？