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1、4-6 弯曲应力小结弯曲应力小结 钢筋混凝土梁，当钢筋混凝土梁，当外力过大时，在梁的下边外力过大时，在梁的下边缘处（弯矩最大）首先出缘处（弯矩最大）首先出现裂缝，然后裂缝逐渐向现裂缝，然后裂缝逐渐向上扩展而导致梁的破坏。上扩展而导致梁的破坏。P问题的提出：问题的提出：钢筋混凝土梁钢筋混凝土梁 通过本章的学习，可通过本章的学习，可以知道其原因为：弯矩引以知道其原因为：弯矩引起弯曲变形，使梁下部伸起弯曲变形，使梁下部伸长，下部纤维受拉伸，拉长，下部纤维受拉伸，拉应力超过材料的极限拉应应力超过材料的极限拉应力，引起裂缝，导致梁的力，引起裂缝，导致梁的破坏。破坏。PP木质梁木质梁 跨度较小的木质梁跨度
2、较小的木质梁且外力作用点靠近支座，且外力作用点靠近支座，当外力较大时，端部出当外力较大时，端部出现水平裂缝，导致破坏。现水平裂缝，导致破坏。通过本章的学习，通过本章的学习，可以知道其原因是梁内可以知道其原因是梁内的最大切（剪）应力超的最大切（剪）应力超过材料的顺纹切（剪）过材料的顺纹切（剪）应力而引起的。应力而引起的。问题的提出：问题的提出：一、纯弯曲时梁内的正应力一、纯弯曲时梁内的正应力MM+FQM 纯弯曲梁纯弯曲梁 只有弯矩只有弯矩而无剪力的梁称为纯弯曲梁。而无剪力的梁称为纯弯曲梁。横截面上只有正应力横截面上只有正应力，无剪应力无剪应力。矩形截面等直梁的实验矩形截面等直梁的实验观察观察 将
3、梁设想为由无数纵向将梁设想为由无数纵向纤维组成。纤维组成。M变形几何规律变形几何规律:1.1.梁的纯弯曲实验梁的纯弯曲实验 横向线横向线(a b、c d)变变形后仍为直线，但有转动；形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上部纵向线变为曲线，且上部分收缩、下部分伸长；横分收缩、下部分伸长；横向线与纵向线变形后仍正向线与纵向线变形后仍正交。交。中性中性层层纵向对称纵向对称面面中性中性轴轴bdacabcdMM 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受
4、拉应力和压应力，此层纤维称中性层。不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。中性轴：中性层与横截面的交线。中性轴：中性层与横截面的交线。中性轴：中性层与横截面的交线。平面假设：横截面变形平面假设：横截面变形平面假设：横截面变形平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性后仍为平面，只是绕中性后仍为平面，只是绕中性后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等轴发生转动，距中性轴等轴发生转动，距中性轴等轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。高处，变形相等。高处，变形相等。高处，变形相等。横截面上只有
5、正应力。横截面上只有正应力。横截面上只有正应力。横截面上只有正应力。2、两个概念、两个概念3、基本假设、基本假设纯弯情况下的正应力计算公式纯弯情况下的正应力计算公式(4-38)y 所求应力点到中性轴的距离。所求应力点到中性轴的距离。中性轴将截面分成受拉区和受压区。中性轴将截面分成受拉区和受压区。正应力的正负号，可根据变形来判断：正应力的正负号，可根据变形来判断：凸边应力为正凸边应力为正，凹边应力为负。，凹边应力为负。Wz 称为称为弯曲截面系数弯曲截面系数（或抗弯截面模量），其量（或抗弯截面模量），其量纲为纲为 长度长度 3 3，国际单位用，国际单位用m m3 3或或mmmm3 3 。最大正应力
6、：最大正应力：几种形状截面的抗弯截面模量：几种形状截面的抗弯截面模量：矩形截面：矩形截面：型钢：型钢：可查型钢表。可查型钢表。圆形截面：圆形截面：说明：说明：如中性轴是截面对称轴，如中性轴是截面对称轴，最大拉（压）应力在数值上最大拉（压）应力在数值上相等。相等。如中性轴不是截面对称如中性轴不是截面对称轴，最大拉（压）应力在数轴，最大拉（压）应力在数值上不相等。值上不相等。cmaxy1y2ztmax二、纯弯曲理论在横力弯曲中的推广二、纯弯曲理论在横力弯曲中的推广 横力弯曲横力弯曲梁横截面上既有弯矩又有剪力，梁横截面上既有弯矩又有剪力，梁弯曲后不再满足平面假设。梁弯曲后不再满足平面假设。由于切应力
7、的存在，梁横截面变形后不再是由于切应力的存在，梁横截面变形后不再是平面，而是在横截面上发生翘曲。但当平面，而是在横截面上发生翘曲。但当h/l1/5时，误差很小，已可满足工程上的需要，因此，时，误差很小，已可满足工程上的需要，因此，可用纯弯曲时的正应力计算公式导出梁正应力强可用纯弯曲时的正应力计算公式导出梁正应力强度条件。度条件。梁正应力强度条件：梁正应力强度条件：（对抗拉、抗压强度不同的材料要分别计算最大拉、压应力）（对抗拉、抗压强度不同的材料要分别计算最大拉、压应力）解决三类强度问题：解决三类强度问题：（1）强度校核（验算）：已知梁的截面尺寸，形状和梁）强度校核（验算）：已知梁的截面尺寸，形
8、状和梁所用的材料及梁上荷载，校核其应力。所用的材料及梁上荷载，校核其应力。（2）选择截面：已知梁所用的材料及梁上荷载，计算截）选择截面：已知梁所用的材料及梁上荷载，计算截面面。（3）计算梁所能承受的最大荷载）计算梁所能承受的最大荷载：已知梁材料和截面尺已知梁材料和截面尺寸，计算许用的寸，计算许用的M再计算再计算P。三、三、梁内切应力，切应力强度条件梁内切应力，切应力强度条件（一）矩形截面（一）矩形截面梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力1、两点假设：切应力与剪力平行；距中性轴等距离处切应力相等。IZ :整个截面对中性轴的惯性矩；整个截面对中性轴的惯性矩；b :横截面在所求应力点处的宽度；横截面
9、在所求应力点处的宽度；SZ*:横截面上距中性轴为横截面上距中性轴为 y 的横线的横线以外部分的面积以外部分的面积 A*对中性轴对中性轴的静矩的静矩。（447）y*bhyyzA*2 2、切应力分布规律（矩形截面）、切应力分布规律（矩形截面）zybhA*maxy注：注：（1）沿梁高按二次抛物线变化。沿梁高按二次抛物线变化。（2）上下边缘处）上下边缘处 =0。（3）中性轴处切应力最大，最大切应力是平均切应力的中性轴处切应力最大，最大切应力是平均切应力的1.5倍。倍。（二）（二）切应力强度条件切应力强度条件弯曲切应力强度条件弯曲切应力强度条件（一般做校核时用）（一般做校核时用）:需校核切应力强度的情况
10、：需校核切应力强度的情况：1、短梁（剪力大，弯矩相对小）、短梁（剪力大，弯矩相对小）;2、木梁木梁,木材顺纹方向（许用切应力很小）、木材顺纹方向（许用切应力很小）、胶合胶合梁的胶合层梁的胶合层。最大工最大工作应力作应力材料的材料的许用应力许用应力oMM+dM 四、四、横力弯曲时梁横截面上的应力状态横力弯曲时梁横截面上的应力状态12max3maxmaxmax45 4-7 点的应力状态点的应力状态 一、梁上任一点应力状态的分析一、梁上任一点应力状态的分析问题：问题：梁上某些点（单元体）上只存在正应力或切应力，属于单向应力梁上某些点（单元体）上只存在正应力或切应力，属于单向应力状态，但大部分点（单元
11、体）上既有正应力又有切应力，这些点的应力状态，但大部分点（单元体）上既有正应力又有切应力，这些点的应力如何校核？是否需要校核？如何校核？是否需要校核？在实际工程中，梁上不但有正裂缝，而且有斜裂缝，这是为什么在实际工程中，梁上不但有正裂缝，而且有斜裂缝，这是为什么？P PP PP PAAxxxyxxxyefxxyntxaa1、斜截面上的应力、斜截面上的应力 横截面外法线到斜截面横截面外法线到斜截面外法线成外法线成 角。角。：xn 逆时针为正逆时针为正。2、主应力及其作用平面、主应力及其作用平面 、随随 变化，在连续变化过程中，存在最变化，在连续变化过程中，存在最大值大值 max 和最小值和最小值
12、 min。sin2o+x cos2o =0dd=-2 x2由：由：可知：可知：在在0 和和0+90 两面上正应力具有极值，其中一个两面上正应力具有极值，其中一个为最大值，另一个为最小值。为最大值，另一个为最小值。求出求出 0 和和0+90 代入代入可得：可得：及及 得：得：代回：代回：注：注：（1）主平面主平面：最大正应力和最小正应力的作用面，主平：最大正应力和最小正应力的作用面，主平面上的切应力为零。面上的切应力为零。主应力主应力：主平面上的正应力。（切应力为零对应面：主平面上的正应力。（切应力为零对应面上的正应力）。上的正应力）。（2）如要知道哪个角（）如要知道哪个角（0 还是还是0+90
13、 ）是）是 max 的方位的方位角，可求出角，可求出0代回求代回求，如求出的如求出的 等于等于 max值，则值，则 max所所在平面的方位角为在平面的方位角为0，否则为，否则为0+90 。（3）在应力单元体上有三对平面，应存在三个主应力。）在应力单元体上有三对平面，应存在三个主应力。（458）（459）3xxxxyy113 （3）在应力单元体上有三对平面，应存在三个主应力。）在应力单元体上有三对平面，应存在三个主应力。梁内取出任一点梁内取出任一点A的单元体，求出的单元体，求出max和和min，一个为，一个为正值，一个为负值。同时知正值，一个为负值。同时知z方向面上的正（主）应力为零方向面上的正
14、（主）应力为零（其面上切应力也是零，可视为一个主平面）。（其面上切应力也是零，可视为一个主平面）。规定：规定：1 2 3 梁单元中：梁单元中：1 =max，2=0，3=min。3、梁内主应力、梁内主应力见见162页图页图4-108，梁上各点受力情况有三类：梁上各点受力情况有三类：（1）梁上下边缘（点）梁上下边缘（点1和点和点5），只有正应力而无），只有正应力而无切应力，是主应力单元，属于单向应力状态。切应力，是主应力单元，属于单向应力状态。（2）中性轴上的各点（点）中性轴上的各点（点3），只有切应力，该），只有切应力，该点主应力与水平轴成点主应力与水平轴成45角，数值均为角，数值均为x。（3）
15、一般平面应力状态下的各点（点一般平面应力状态下的各点（点2、4），），有正应力，也有切应力。有正应力，也有切应力。注：两个主应力均不等于零的单元称为注：两个主应力均不等于零的单元称为二向应二向应力状态力状态（也称平面应力状态）。（也称平面应力状态）。xxxqmm13245Q 图图M 图图1234532413450=450mm313 拉压 1 3 1 3主应力迹线（主应力迹线（Stress Trajectories)：主应力方向线的包络线主应力方向线的包络线曲线上每一点的切线都指示曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。实线表示主拉
16、应力迹线；实线表示主拉应力迹线；虚线表示主压应力迹线。虚线表示主压应力迹线。xy主应力迹线的画法：主应力迹线的画法：11截面截面22截面截面33截面截面44截面截面ii截面截面nn截面截面bacdq 1 3 3 1注：注：二向应力状态，其强度条件的校核比二向应力状态，其强度条件的校核比较复杂，需用强度理论进行。较复杂，需用强度理论进行。问题：问题：在实际工程中，梁上不但有正裂缝，而且有斜裂在实际工程中，梁上不但有正裂缝，而且有斜裂缝，这是为什么？缝，这是为什么？梁上某些点（单元体）上只存在正应力或切应力，梁上某些点（单元体）上只存在正应力或切应力，属于单向应力状态，但大部分点（单元体）上既有正应属于单向应力状态，但大部分点（单元体）上既有正应力又有切应力，这些点的应力如何校核？力又有切应力，这些点的应力如何校核？P P