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1、第三章第三章 地质构造分析的力学基础地质构造分析的力学基础一、一、应力分析应力分析二、变形分析二、变形分析三、影响岩石力学性质与岩石变形的因素三、影响岩石力学性质与岩石变形的因素一、一、应力分析应力分析 地壳中地质构造是地壳中地壳中地质构造是地壳中的作用力的作用力达到和超达到和超过岩石的过岩石的强度极限或屈服极限强度极限或屈服极限,岩石发生构造变形岩石发生构造变形而形成的而形成的,所以所以,地质构造的形成与力之间存在着密地质构造的形成与力之间存在着密切的依存关系切的依存关系.要研究地质要研究地质构造的成因构造的成因,形成机制形成机制,发展和组合规律发展和组合规律,就要研究力在地壳中的分布规律就
2、要研究力在地壳中的分布规律,活动规律活动规律,变化规律变化规律,时间和空间规律时间和空间规律,要研究地质要研究地质构造与作用力的之间的几何和空间关系构造与作用力的之间的几何和空间关系,从而由地从而由地质构造的特征去追溯地质历史时期作用力的方式、质构造的特征去追溯地质历史时期作用力的方式、方向和大小方向和大小,及其时空变化规律。及其时空变化规律。第三章第三章第三章第三章 地质构造分析的力学基础地质构造分析的力学基础地质构造分析的力学基础地质构造分析的力学基础一、一、应力分析应力分析（一）有关力的一些概念（一）有关力的一些概念 1.外力的概念外力的概念:对于一个物体来说对于一个物体来说,另一个物体
3、施加于这个物另一个物体施加于这个物体的的力称为体的的力称为外力外力.外力又可分为外力又可分为面力面力和和体力体力两种类型两种类型:面力面力:通过接触面作用于物体的力通过接触面作用于物体的力 体力体力:物体内每一个质点都受到的力物体内每一个质点都受到的力,它不通它不通过接触过接触,而是相隔一定的距离相互作用而是相隔一定的距离相互作用,如太空星球如太空星球之间的吸引力之间的吸引力,物体的重力等物体的重力等 2.内力的概念内力的概念:物体内部各部分之间的相互作用力叫物体内部各部分之间的相互作用力叫内力内力 内力又可分为内力又可分为固有内力固有内力和和附加内力附加内力两种类型两种类型:固有内力固有内力
4、:一物体未受外力作用时一物体未受外力作用时,其内部质其内部质点之间存在的相互作用力点之间存在的相互作用力,这种相互作用力使各质这种相互作用力使各质点处于相对平衡状态点处于相对平衡状态,从而使物体保持一定的形状从而使物体保持一定的形状,这种力称为物体的这种力称为物体的固有内力固有内力.附加内力附加内力:物体受到外力作用时物体受到外力作用时,其内部各质点的相对位其内部各质点的相对位置发生了变化置发生了变化,它们之间的相互作用力也发生了变它们之间的相互作用力也发生了变化化,这种物体内部内力的改变量称为这种物体内部内力的改变量称为附加内力附加内力 3.3.应力的概念应力的概念应力的概念应力的概念:一物
5、体受外力一物体受外力一物体受外力一物体受外力P P 的作用的作用的作用的作用,物体内部产生与外力作用相物体内部产生与外力作用相物体内部产生与外力作用相物体内部产生与外力作用相抗衡的附加内力抗衡的附加内力抗衡的附加内力抗衡的附加内力p,p,将物体沿将物体沿将物体沿将物体沿截面截面截面截面A A切开切开切开切开,取其中一部分取其中一部分取其中一部分取其中一部分,此此此此时时时时,截面截面截面截面A A 上的附加内力与外上的附加内力与外上的附加内力与外上的附加内力与外力力力力P P 大小相等大小相等大小相等大小相等,方向相反方向相反方向相反方向相反.应力应力应力应力 可定义可定义可定义可定义为为为为
6、受力物体内任意一受力物体内任意一受力物体内任意一受力物体内任意一截面单位面积上的附加内力。截面单位面积上的附加内力。截面单位面积上的附加内力。截面单位面积上的附加内力。写为写为写为写为:s s s s=P/A =P/A 应力的单位是帕斯卡应力的单位是帕斯卡应力的单位是帕斯卡应力的单位是帕斯卡(Pa)(Pa)或兆帕或兆帕或兆帕或兆帕(MPaMPa),),并规定并规定并规定并规定,挤压力挤压力挤压力挤压力为为为为“正正正正”,拉张力为拉张力为拉张力为拉张力为“负负负负”.4.4.附加内力的分解附加内力的分解附加内力的分解附加内力的分解 在物体内任意选取一个在物体内任意选取一个在物体内任意选取一个在
7、物体内任意选取一个与外力作用方向不相垂直的小与外力作用方向不相垂直的小与外力作用方向不相垂直的小与外力作用方向不相垂直的小截面截面截面截面dFdF,作用于截面作用于截面作用于截面作用于截面d dF F 上的上的上的上的附附附附加内力为加内力为加内力为加内力为dPdP ,根据平行四边形根据平行四边形根据平行四边形根据平行四边形法则法则法则法则,可将内力可将内力可将内力可将内力dPdP 分解为垂直分解为垂直分解为垂直分解为垂直于截面于截面于截面于截面d dF F 的分力的分力的分力的分力dNdN,及平行及平行及平行及平行于截面于截面于截面于截面d dF F 的分力的分力的分力的分力dTdT.合应力
8、合应力合应力合应力:s s s sf f=dPdP/dFdF 正应力正应力正应力正应力:垂直于截面垂直于截面垂直于截面垂直于截面dFdF上的上的上的上的应力应力应力应力 s=s=s=s=dNdN/dFdF 剪应力剪应力剪应力剪应力:平行于截面平行于截面平行于截面平行于截面dFdF 上上上上的应力的应力的应力的应力 t t t t=dTdT/dFdF 规定规定规定规定:顺时针剪切为顺时针剪切为顺时针剪切为顺时针剪切为“负负负负”,逆时针剪切为逆时针剪切为逆时针剪切为逆时针剪切为“正正正正”（二）（二）（二）（二）应力状态和应力椭球体应力状态和应力椭球体应力状态和应力椭球体应力状态和应力椭球体 1
9、.1.应力状态应力状态应力状态应力状态:点的应力状态点的应力状态点的应力状态点的应力状态:过物体中某一点的过物体中某一点的过物体中某一点的过物体中某一点的各个不同方向截面上的应力情况各个不同方向截面上的应力情况各个不同方向截面上的应力情况各个不同方向截面上的应力情况 截取包含该点的一个小单元体截取包含该点的一个小单元体截取包含该点的一个小单元体截取包含该点的一个小单元体,一一一一个正六面体来研究个正六面体来研究个正六面体来研究个正六面体来研究.如单元体选择在六如单元体选择在六如单元体选择在六如单元体选择在六个面上只有正应力的作用个面上只有正应力的作用个面上只有正应力的作用个面上只有正应力的作用
10、,而无剪应力而无剪应力而无剪应力而无剪应力的作用，这六个面上的正应力叫做的作用，这六个面上的正应力叫做的作用，这六个面上的正应力叫做的作用，这六个面上的正应力叫做主主主主应力应力应力应力。若单元体六个截面上的三对主应力若单元体六个截面上的三对主应力若单元体六个截面上的三对主应力若单元体六个截面上的三对主应力的值都相等时的值都相等时的值都相等时的值都相等时,称为等应力状态称为等应力状态称为等应力状态称为等应力状态,在这在这在这在这种应力状态下种应力状态下种应力状态下种应力状态下,物体只发生体积膨胀或物体只发生体积膨胀或物体只发生体积膨胀或物体只发生体积膨胀或收缩的变化而不会产生形态变化收缩的变化
11、而不会产生形态变化收缩的变化而不会产生形态变化收缩的变化而不会产生形态变化(畸变畸变畸变畸变).).当单元体六个截面上的三对主应力不当单元体六个截面上的三对主应力不当单元体六个截面上的三对主应力不当单元体六个截面上的三对主应力不都相等时都相等时都相等时都相等时,单元体截面上存在单元体截面上存在单元体截面上存在单元体截面上存在最大主应最大主应最大主应最大主应力力力力s s s s1 1 1 1,中间主应力中间主应力中间主应力中间主应力s s s s2 2 2 2和最小主应力和最小主应力和最小主应力和最小主应力s s s s3 3 3 3,这这这这种应力状态可导致物体形态变化种应力状态可导致物体形
12、态变化种应力状态可导致物体形态变化种应力状态可导致物体形态变化(畸变畸变畸变畸变),),其中其中其中其中s s s s1 1-s s s s3 3 之值之值之值之值称为应力差。称为应力差。称为应力差。称为应力差。微小单元体六个截面上的三对主应微小单元体六个截面上的三对主应微小单元体六个截面上的三对主应微小单元体六个截面上的三对主应力力力力,每对主应力作用方向线叫做每对主应力作用方向线叫做每对主应力作用方向线叫做每对主应力作用方向线叫做主应力主应力主应力主应力轴轴轴轴,主应力所作用的截面称为主应力所作用的截面称为主应力所作用的截面称为主应力所作用的截面称为主应力面主应力面主应力面主应力面或或或或
13、主平面主平面主平面主平面 (1)(1)应力椭球体应力椭球体应力椭球体应力椭球体:当物体内一点主应力性当物体内一点主应力性当物体内一点主应力性当物体内一点主应力性质相同，大小不同质相同，大小不同质相同，大小不同质相同，大小不同,即即即即s s s s1 1ssss2 2 2 2ssss3 3 3 3时时时时,可以取三个主应可以取三个主应可以取三个主应可以取三个主应力的矢量为半径力的矢量为半径力的矢量为半径力的矢量为半径,作一个椭作一个椭作一个椭作一个椭球体球体球体球体,该椭球体代表作用于该椭球体代表作用于该椭球体代表作用于该椭球体代表作用于该点的全应力状态该点的全应力状态该点的全应力状态该点的全
14、应力状态,称为应称为应称为应称为应力椭球体，其中长轴代表力椭球体，其中长轴代表力椭球体，其中长轴代表力椭球体，其中长轴代表最最最最大主应力大主应力大主应力大主应力s s s s1 1 1 1,短轴代表短轴代表短轴代表短轴代表最小最小最小最小主应力主应力主应力主应力s s s s3 3 3 3,中间轴代表中间轴代表中间轴代表中间轴代表中间中间中间中间主应力主应力主应力主应力s s s s2 2 2 2 (2)应力椭圆应力椭圆:沿椭球体三个主沿椭球体三个主应力平面切割椭球体应力平面切割椭球体,可得三个椭圆可得三个椭圆,叫应叫应力椭圆力椭圆,每一个应力每一个应力椭圆中有两个主应力椭圆中有两个主应力,
15、代表二维应力状态代表二维应力状态.这三个应力椭圆分别这三个应力椭圆分别为为:s s1 1与与s s2 2椭圆椭圆、s s1 1与与s s3 3椭圆椭圆、s s2 2与与s s3 3椭椭圆圆 3.3.一点的空间应力状态类型一点的空间应力状态类型一点的空间应力状态类型一点的空间应力状态类型 (1)(1)三轴应力状态三轴应力状态三轴应力状态三轴应力状态:三个主应力均不为零的状态三个主应力均不为零的状态三个主应力均不为零的状态三个主应力均不为零的状态,这是自然界最这是自然界最这是自然界最这是自然界最普遍的一种应力状态普遍的一种应力状态普遍的一种应力状态普遍的一种应力状态 (2)(2)双轴应力状态双轴应
16、力状态双轴应力状态双轴应力状态:一个主应力的值为零一个主应力的值为零一个主应力的值为零一个主应力的值为零,另外两个主应力的值另外两个主应力的值另外两个主应力的值另外两个主应力的值不为零的应力状态不为零的应力状态不为零的应力状态不为零的应力状态 (3)(3)单轴应力状态单轴应力状态单轴应力状态单轴应力状态:其中只有一个主应力的值不为零其中只有一个主应力的值不为零其中只有一个主应力的值不为零其中只有一个主应力的值不为零,另外两个另外两个另外两个另外两个主应力的值都等于零的应力状态主应力的值都等于零的应力状态主应力的值都等于零的应力状态主应力的值都等于零的应力状态 一、应力分析一、应力分析 （三）二
17、维应力分析（三）二维应力分析（三）二维应力分析（三）二维应力分析 前述可知，这三种类型实际上是根据外力作用方式是单向，相前述可知，这三种类型实际上是根据外力作用方式是单向，相前述可知，这三种类型实际上是根据外力作用方式是单向，相前述可知，这三种类型实际上是根据外力作用方式是单向，相互垂直的双向或相互垂直的三向外力划分的。无论什么方式的外力互垂直的双向或相互垂直的三向外力划分的。无论什么方式的外力互垂直的双向或相互垂直的三向外力划分的。无论什么方式的外力互垂直的双向或相互垂直的三向外力划分的。无论什么方式的外力作用，地壳中岩石的应力状态都是三维应力状态作用，地壳中岩石的应力状态都是三维应力状态作
18、用，地壳中岩石的应力状态都是三维应力状态作用，地壳中岩石的应力状态都是三维应力状态,只是只是只是只是 推导、计算推导、计算推导、计算推导、计算和研究较为复杂。根据弹性力学应力和研究较为复杂。根据弹性力学应力和研究较为复杂。根据弹性力学应力和研究较为复杂。根据弹性力学应力叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理,单轴应力分析方法单轴应力分析方法单轴应力分析方法单轴应力分析方法是分析研究相互垂直的二轴和三轴应力状态的基础。是分析研究相互垂直的二轴和三轴应力状态的基础。是分析研究相互垂直的二轴和三轴应力状态的基础。是分析研究相互垂直的二轴和三轴应力状态的基础。1.1.单轴应力状态的二维应力分析单轴应力状态的
19、二维应力分析单轴应力状态的二维应力分析单轴应力状态的二维应力分析 1)1)平面上一矩形物体平面上一矩形物体平面上一矩形物体平面上一矩形物体,作用于物体上的外力为作用于物体上的外力为作用于物体上的外力为作用于物体上的外力为P P1 1,内力为内力为内力为内力为p p1 1,那么那么那么那么,垂直于外力截面垂直于外力截面垂直于外力截面垂直于外力截面A A0 0上上上上的主应力为的主应力为的主应力为的主应力为:=p p1 1/A/A0 0 （1 1）2)2)在与内力在与内力在与内力在与内力p p1 1斜交的截面斜交的截面斜交的截面斜交的截面A Aa a a a上上上上,设其正应力为设其正应力为设其正
20、应力为设其正应力为上上上上s s s sa a a a,剪应力为剪应力为剪应力为剪应力为t t t ta a a a,合应力为合应力为合应力为合应力为s s s sAA,截面截面截面截面A Aa a a a的的的的法线与法线与法线与法线与p p p p1 1 1 1作用线之间的夹角为作用线之间的夹角为作用线之间的夹角为作用线之间的夹角为a a a a,则则则则 =p p1 1/A Aa a a a （2 2）根据三角函数关系根据三角函数关系根据三角函数关系根据三角函数关系:s s s sa a a a=s s s sAA coscosa a a a 并代入（并代入（并代入（并代入（2 2 2
21、2）s s s sa a a a=p p1 1 coscosa a a a/A Aa a a a 由（由（由（由（2 2 2 2）得得得得p p1 1=s=s=s=s1 1 1 1 A A0 0 代入代入代入代入 s s s sa a a a=s=s=s=s1 1 1 1 A A0 0 coscosa a a a/A Aa a a a ,又又又又 coscosa a a a=A A0 0/A Aa a a a s s s sa a a a=s=s=s=s1 1 1 1 coscos2 2a a a a （3 3 3 3）据倍角公式据倍角公式据倍角公式据倍角公式1 1 1 1 cos2 cos2
22、 a a a a 2 2 2 2 coscos2 2a a a a可写成可写成可写成可写成:s s s sa a a a=s=s=s=s1 1 1 1(1+(1+(1+(1+cos2 cos2 a)/2 a)/2 a)/2 a)/2 （4 4 4 4）剪应力剪应力剪应力剪应力 t t t ta a a a =p p1 1 sinsina a a a /(/(/(/(s s s sAA/coscos a)a)a)a)t t t ta a a a =s=s=s=s1 1 1 1coscos a a a a sinsina a a a （5 5 5 5）用倍角公式用倍角公式用倍角公式用倍角公式sin
23、2 sin2 a a a a 2 2 2 2 coscos a a a a sinsina a a a 可写成：可写成：可写成：可写成：t t t ta a a a =s=s=s=s1 1 1 1/2/2/2/2 sin2 sin2 a a a a （6 6 6 6）（4 4 4 4）和（）和（）和（）和（6 6 6 6）式为单轴应力状态下，任意切面上主应力）式为单轴应力状态下，任意切面上主应力）式为单轴应力状态下，任意切面上主应力）式为单轴应力状态下，任意切面上主应力s s s s1 1 1 1、正应力、正应力、正应力、正应力s s s sa a a a及剪应力及剪应力及剪应力及剪应力t t
24、 t ta a a a的关系。的关系。的关系。的关系。从上可得主要公式从上可得主要公式从上可得主要公式从上可得主要公式 ：s s s sa a a a=s=s=s=s1 1 1 1(1+(1+(1+(1+cos2 cos2 a)/2 a)/2 a)/2 a)/2 t t t ta a a a =s=s=s=s1 1 1 1/2/2/2/2 sin2 sin2 a a a a 讨论讨论讨论讨论:(1):(1):(1):(1)当当当当a=0 a=0 a=0 a=0 时时时时 （4 4 4 4）中的）中的）中的）中的 cos2 cos2 a a a a 1 1 1 1 s s s sa a a a=
25、s=s=s=s1 1 1 1 t t t ta a a a =s=s=s=s1 1 1 1(sin2 sin2*0)/2 *0)/2 *0)/2 *0)/2 t t t ta a a a=0=0=0=0 结论结论结论结论:在与挤压或拉伸方向垂直的截面上在与挤压或拉伸方向垂直的截面上在与挤压或拉伸方向垂直的截面上在与挤压或拉伸方向垂直的截面上,正应力最大，等于主应力。正应力最大，等于主应力。正应力最大，等于主应力。正应力最大，等于主应力。结论结论结论结论:在与挤压或拉伸方向垂直的截面上在与挤压或拉伸方向垂直的截面上在与挤压或拉伸方向垂直的截面上在与挤压或拉伸方向垂直的截面上,剪应力为零剪应力为零
26、剪应力为零剪应力为零,即无剪应力存在。即无剪应力存在。即无剪应力存在。即无剪应力存在。主要公式主要公式主要公式主要公式 ：s s s sa a a a=s=s=s=s1 1 1 1(1+(1+(1+(1+cos2 cos2 a)/2 a)/2 a)/2 a)/2 t t t ta a a a =s=s=s=s1 1 1 1/2/2/2/2 sin2 sin2 a a a a讨论讨论讨论讨论:(2)(2)(2)(2)当当当当a=45 a=45 a=45 a=45 时时时时 cos90cos900 0 s s s sa a a a=s=s=s=s1 1 1 1/2/2/2/2 sin90sin90
27、1 1 t t t ta a a a =s=s=s=s1 1 1 1/2=/2=/2=/2=t t t tmaxmax (3)(3)(3)(3)当当当当a=-45 a=-45 a=-45 a=-45 时时时时 s s s sa a a a=s=s=s=s1 1 1 1/2/2/2/2 t t t ta a a a =-s=-s=-s=-s1 1 1 1/2=/2=/2=/2=t t t tmaxmax结论结论:在距主应力面在距主应力面45的截面上的截面上(即即a a=45=45 的截面上的截面上),),正应力等于主应力正应力等于主应力的一半。剪应力值的一半。剪应力值也等于主应力的一也等于主应力
28、的一半，并且最大。在半，并且最大。在两垂直的两垂直的截面（截面（=45=45 和=-45=-45）上）上剪应力互等剪应力互等,剪切剪切方向相反方向相反 主要公式主要公式主要公式主要公式 ：s s s sa a a a=s=s=s=s1 1 1 1(1+(1+(1+(1+cos2 cos2 a)/2 a)/2 a)/2 a)/2 t t t ta a a a =s=s=s=s1 1 1 1/2/2/2/2 sin2 sin2 a a a a 讨论讨论讨论讨论:(4)(4)(4)(4)当当当当a=90 a=90 a=90 a=90 时时时时 cos2 cos2 a a a a 1 1 1 1，si
29、n2 sin2 a a a a 0 0 0 0 s s s sa a a a=0=0=0=0 t t t ta a a a =0=0=0=0 结论结论结论结论:在平行于单轴作用力的截面上在平行于单轴作用力的截面上在平行于单轴作用力的截面上在平行于单轴作用力的截面上,既无正应力既无正应力既无正应力既无正应力,也无也无也无也无剪应力剪应力剪应力剪应力 2.2.双轴应力状态的二维应力分析双轴应力状态的二维应力分析双轴应力状态的二维应力分析双轴应力状态的二维应力分析 一矩形物体一矩形物体一矩形物体一矩形物体,在其相互垂直的面上在其相互垂直的面上在其相互垂直的面上在其相互垂直的面上,分别作用有外力分别作
30、用有外力分别作用有外力分别作用有外力p p1 1和和和和p p2 2,且且且且p p1 1pp2,2,。据应力。据应力。据应力。据应力叠加原理，采用两个叠加原理，采用两个叠加原理，采用两个叠加原理，采用两个单轴应力状态的单轴应力状态的单轴应力状态的单轴应力状态的叠加方法叠加方法叠加方法叠加方法1 1 1 1）先求出由）先求出由）先求出由）先求出由p p1 1单独作用在单独作用在单独作用在单独作用在A Aa a a a截面上的应力截面上的应力截面上的应力截面上的应力,由单轴应力状态的应力由单轴应力状态的应力由单轴应力状态的应力由单轴应力状态的应力分析公式分析公式分析公式分析公式（4 4 4 4）
31、和（和（和（和（6 6 6 6）,即得即得即得即得p p1 1单独作用形成的应力单独作用形成的应力单独作用形成的应力单独作用形成的应力 s s s sa a a a=s=s=s=s1 1 1 1(1+(1+(1+(1+cos2 cos2 a)/2 a)/2 a)/2 a)/2 （4 4 4 4）t t t ta a a a =s=s=s=s1 1 1 1/2/2/2/2 sin2 sin2 a a a a （6 6 6 6）2 2）再求由再求由再求由再求由p p2 2单独作用在单独作用在单独作用在单独作用在A Aa a a a截面上的应力截面上的应力截面上的应力截面上的应力:90+a 90+a
32、 90+a 90+a 代人代人代人代人 （4 4 4 4）和（和（和（和（6 6 6 6）即得）即得）即得）即得 s s s s =s=s=s=s2 2 2 2(1-(1-(1-(1-cos2cos2a)a)a)a)/2 /2 /2 /2 t t t t =-s=-s=-s=-s2 2 2 2sin2sin2a a a a/2/2/2/2 3 3 3 3）根据叠加原理根据叠加原理根据叠加原理根据叠加原理:s:s:s:s =s s s sa a a a +s+s+s+s t=t=t=t=t t t ta a a a +t+t+t+t 可得可得可得可得 s s s s =(s=(s=(s=(s1
33、1 1 1+s+s+s+s2 2 2 2)/2+(s)/2+(s)/2+(s)/2+(s1 1 1 1-s-s-s-s2 2 2 2)cos2cos2a/2 a/2 a/2 a/2 （7 7 7 7）t=(s t=(s t=(s t=(s1 1 1 1-s-s-s-s2 2 2 2)sin2sin2a/2 a/2 a/2 a/2 （8 8 8 8）已知双轴应力状态的应力公式已知双轴应力状态的应力公式已知双轴应力状态的应力公式已知双轴应力状态的应力公式 s s s s =(s=(s=(s=(s1 1 1 1+s+s+s+s2 2 2 2)/2+(s)/2+(s)/2+(s)/2+(s1 1 1
34、1-s-s-s-s2 2 2 2)cos2cos2a/2 a/2 a/2 a/2 （7 7 7 7）t=(s t=(s t=(s t=(s1 1 1 1-s-s-s-s2 2 2 2)sin2sin2a/2 a/2 a/2 a/2 （8 8 8 8）讨论讨论讨论讨论:(1)(1)(1)(1)两个互相垂直截面两个互相垂直截面两个互相垂直截面两个互相垂直截面A Aa a a a,A A .上的应力上的应力上的应力上的应力:先求先求先求先求A Aa a a a截面上的应力截面上的应力截面上的应力截面上的应力,由公式公式（由公式公式（由公式公式（由公式公式（7 7 7 7）和（和（和（和（8 8 8
35、8）可得）可得）可得）可得:s s s sa a a a =(s=(s=(s=(s1 1 1 1+s+s+s+s2 2 2 2)/2+(s)/2+(s)/2+(s)/2+(s1 1 1 1-s-s-s-s2 2 2 2)cos2cos2a/2 a/2 a/2 a/2 t t t ta a a a=(s=(s=(s=(s1 1 1 1-s-s-s-s2 2 2 2)sin2sin2a/2 a/2 a/2 a/2 同理可求同理可求同理可求同理可求A A 截面上的应力（截面上的应力（截面上的应力（截面上的应力（90+a90+a90+a90+a）s s s s =(s=(s=(s=(s1 1 1 1+
36、s+s+s+s2 2 2 2)/2-(s)/2-(s)/2-(s)/2-(s1 1 1 1-s-s-s-s2 2 2 2)coscosa a a a/2/2/2/2 t t t t =-(s=-(s=-(s=-(s1 1 1 1-s-s-s-s2 2 2 2)sin2sin2a/2a/2a/2a/2 由以上结果得由以上结果得由以上结果得由以上结果得:s s s sa a a a +s s s s =s=s=s=s1 1 1 1+s+s+s+s2 2 2 2=常量常量常量常量 结论结论结论结论:在两个互相垂直的截面上的主应力之和为一常量在两个互相垂直的截面上的主应力之和为一常量在两个互相垂直的截
37、面上的主应力之和为一常量在两个互相垂直的截面上的主应力之和为一常量,且等且等且等且等 于二于二于二于二主应力之和主应力之和主应力之和主应力之和 又又又又 由由由由 t t t ta a a a=(s=(s=(s=(s1 1 1 1-s-s-s-s2 2 2 2)sin2sin2a/2a/2a/2a/2 t t t t =-(s=-(s=-(s=-(s1 1 1 1-s-s-s-s2 2 2 2)sin2sin2a/2a/2a/2a/2 得得得得 t t t ta a a a=-=-=-=-t t t t 结论结论结论结论:两个互相垂直的截面上的剪应力值大小相等两个互相垂直的截面上的剪应力值大小
38、相等两个互相垂直的截面上的剪应力值大小相等两个互相垂直的截面上的剪应力值大小相等,剪切方向相反剪切方向相反剪切方向相反剪切方向相反,这一关系称为剪应力互等定律这一关系称为剪应力互等定律这一关系称为剪应力互等定律这一关系称为剪应力互等定律 讨论讨论讨论讨论:(2)(2)(2)(2)求求求求s s s smaxmax s s s sminmin t t t tmaxmax 据据据据s s s s =(s=(s=(s=(s1 1 1 1+s+s+s+s2 2 2 2)/2+(s)/2+(s)/2+(s)/2+(s1 1 1 1-s-s-s-s2 2 2 2)cos2cos2a/2 a/2 a/2 a
39、/2 （7 7 7 7）t=(s t=(s t=(s t=(s1 1 1 1-s-s-s-s2 2 2 2)sin2sin2a/2 a/2 a/2 a/2 （8 8 8 8）当当当当a a a a=0=0时时时时:(:(a a a a为作用力与所作用的截面法线之间的夹角为作用力与所作用的截面法线之间的夹角为作用力与所作用的截面法线之间的夹角为作用力与所作用的截面法线之间的夹角)在（在（在（在（7 7 7 7）中代入）中代入）中代入）中代入a a a a=0=0 cos2cos2a a a a1 1 1 1 s s s sa a a a =s=s=s=s1 1 1 1=s s s smaxmax
40、 又在（又在（又在（又在（8 8 8 8）中代入）中代入）中代入）中代入a a a a=0=0 sin2sin2a a a a0 0 0 0 t t t ta a a a=0=0=0=0 结论结论结论结论:在与外力垂直的截面上在与外力垂直的截面上在与外力垂直的截面上在与外力垂直的截面上,存在最大主应力存在最大主应力存在最大主应力存在最大主应力s s s s1 1 1 1,剪应力为零剪应力为零剪应力为零剪应力为零,即即即即没有剪应力没有剪应力没有剪应力没有剪应力 (2)(2)(2)(2)求求求求s s s smaxmax s s s sminmin t t t tmaxmax 据据据据s s s
41、 s =(s=(s=(s=(s1 1 1 1+s+s+s+s2 2 2 2)/2+(s)/2+(s)/2+(s)/2+(s1 1 1 1-s-s-s-s2 2 2 2)cos2cos2a/2 a/2 a/2 a/2 （7 7 7 7）t=(s t=(s t=(s t=(s1 1 1 1-s-s-s-s2 2 2 2)sin2sin2a/2 a/2 a/2 a/2 （8 8 8 8）当当当当a a a a=90=90时时时时:(:(a a a a为作用力与所作用的截面法线之间的夹角为作用力与所作用的截面法线之间的夹角为作用力与所作用的截面法线之间的夹角为作用力与所作用的截面法线之间的夹角)在（在
42、（在（在（7 7 7 7）中代入）中代入）中代入）中代入a a a a=90=90 cos2cos2a a a a1 1 1 1 s s s sa a a a =s=s=s=s2 2 =s s s sminmin 在（在（在（在（8 8 8 8）中代入）中代入）中代入）中代入a a a a=90=90 sin2sin2a a a a0 0 0 0 t t t ta a a a=0=0=0=0 结论结论结论结论:在与外力平行的截面上在与外力平行的截面上在与外力平行的截面上在与外力平行的截面上,存在最小主应力存在最小主应力存在最小主应力存在最小主应力s s s s2 2 2 2,剪应力为零剪应力为
43、零剪应力为零剪应力为零 (2)(2)(2)(2)求求求求s s s smaxmax s s s sminmin t t t tmaxmax 据据据据s s s s =(s=(s=(s=(s1 1 1 1+s+s+s+s2 2 2 2)/2+(s)/2+(s)/2+(s)/2+(s1 1 1 1-s-s-s-s2 2 2 2)cos2cos2a/2 a/2 a/2 a/2 （7 7 7 7）t=(s t=(s t=(s t=(s1 1 1 1-s-s-s-s2 2 2 2)sin2sin2a/2 a/2 a/2 a/2 （8 8 8 8）当当当当a a a a=45=45时时时时:(:(a a
44、a a为作用力与所作用的截面法线之间的夹角为作用力与所作用的截面法线之间的夹角为作用力与所作用的截面法线之间的夹角为作用力与所作用的截面法线之间的夹角)在（在（在（在（7 7 7 7）中代入）中代入）中代入）中代入a a a a=45=45 cos2cos2a a a a0 0 0 0 s s s sa a a a =(s(s(s(s1 1 1 1+s+s+s+s2 2 2 2)/2)/2)/2)/2 在（在（在（在（8 8 8 8）中代入）中代入）中代入）中代入a a a a=45=45 sin2sin2a/2a/2a/2a/2 t t t ta a a a=t t t tmaxmax 结论
45、结论结论结论:在与外力呈在与外力呈在与外力呈在与外力呈4545的截面上的截面上的截面上的截面上,正应力为二主应力之和的一半正应力为二主应力之和的一半正应力为二主应力之和的一半正应力为二主应力之和的一半,剪应力为最大剪应力为最大剪应力为最大剪应力为最大一、一、应力分析应力分析 （四）（四）（四）（四）图解法求应力图解法求应力图解法求应力图解法求应力-应力摩尔圆应力摩尔圆应力摩尔圆应力摩尔圆 1.1.应力摩尔圆的数学模型应力摩尔圆的数学模型应力摩尔圆的数学模型应力摩尔圆的数学模型:从从从从双轴应力状态的应力公式双轴应力状态的应力公式双轴应力状态的应力公式双轴应力状态的应力公式 s s s sa a
46、 a a =(s=(s=(s=(s1 1 1 1+s+s+s+s2 2 2 2)/2+(s)/2+(s)/2+(s)/2+(s1 1 1 1-s-s-s-s2 2 2 2)cos2cos2a/2a/2a/2a/2 t t t ta a a a=(s=(s=(s=(s1 1 1 1-s-s-s-s2 2 2 2)sin2sin2a/2a/2a/2a/2可以看出可以看出可以看出可以看出,当受力方式一定当受力方式一定当受力方式一定当受力方式一定,应力应力应力应力s s s s 就成为角度就成为角度就成为角度就成为角度a a a a的函数的函数的函数的函数,为了得出为了得出为了得出为了得出应应应应力摩
47、尔圆公式，力摩尔圆公式，力摩尔圆公式，力摩尔圆公式，先将公式中先将公式中先将公式中先将公式中a a a a消去消去消去消去.为此移项得为此移项得为此移项得为此移项得:s s s sa a a a -(s-(s-(s-(s1 1 1 1+s+s+s+s2 2 2 2)/2=(s)/2=(s)/2=(s)/2=(s1 1 1 1-s-s-s-s2 2 2 2)cos2cos2a/2a/2a/2a/2 t t t ta a a a -0=(s-0=(s-0=(s-0=(s1 1 1 1-s-s-s-s2 2 2 2)sin2sin2a/2a/2a/2a/2 等式两端平方得等式两端平方得等式两端平方得
48、等式两端平方得:s s s sa a a a -(s-(s-(s-(s1 1 1 1+s+s+s+s2 2 2 2)/2)/2)/2)/22 2 2 2 =(s=(s=(s=(s1 1 1 1-s-s-s-s2 2 2 2)cos2cos2a/2 a/2 a/2 a/2 2 2 2 2 (t t t ta a a a -0)-0)-0)-0)2 2 2 2=(s=(s=(s=(s1 1 1 1-s-s-s-s2 2 2 2)sin2sin2a/2 a/2 a/2 a/2 2 2 2 2公式公式公式公式二式相加得二式相加得二式相加得二式相加得:s s s sa a a a -(s-(s-(s-(
49、s1 1 1 1+s+s+s+s2 2 2 2)/2)/2)/2)/22 2 2 2+(+(+(+(t t t ta a a a -0)-0)-0)-0)2 2 2 2=(s=(s=(s=(s1 1 1 1-s-s-s-s2 2 2 2)/2)/2)/2)/22 2 2 2 比较比较比较比较圆数学方程圆数学方程圆数学方程圆数学方程 (x(x-a)a)2 2 2 2+(+(+(+(y y-b)b)2 2 2 2=r r 可知此即应力摩尔圆的圆可知此即应力摩尔圆的圆可知此即应力摩尔圆的圆可知此即应力摩尔圆的圆数学方程式。数学方程式。数学方程式。数学方程式。2.2.2.2.应力摩尔圆的性质应力摩尔圆
50、的性质应力摩尔圆的性质应力摩尔圆的性质:如以如以如以如以s s s s为横坐标，为横坐标，为横坐标，为横坐标，t t t t为纵坐标为纵坐标为纵坐标为纵坐标 （1 1 1 1）圆心一定在横轴上圆心一定在横轴上圆心一定在横轴上圆心一定在横轴上,圆心坐标为圆心坐标为圆心坐标为圆心坐标为 (s(s(s(s1 1 1 1+s+s+s+s2 2 2 2)/2,0)/2,0)/2,0)/2,0)（2 2 2 2）圆的半径为圆的半径为圆的半径为圆的半径为(s(s(s(s1 1 1 1-s-s-s-s2 2 2 2)/2)/2)/2)/2 （3 3 3 3）单元体中截面角单元体中截面角单元体中截面角单元体中截