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1、1.2 1.2 任意角的三角函数任意角的三角函数 1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数第一课时第一课时问题提出问题提出1.1.角的概念是由几个要素构成的，具体角的概念是由几个要素构成的，具体怎样理解？怎样理解？（1 1）角是由平面内一条射线绕其端点从一）角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形个位置旋转到另一个位置所组成的图形.（2 2）按逆时针方向旋转形成的角为）按逆时针方向旋转形成的角为正角正角，按顺时针方向旋转形成的角为按顺时针方向旋转形成的角为负角负角，没有，没有作任何旋转形成的角为作任何旋转形成的角为零角零角.（3 3）角的大小是任意的）
2、角的大小是任意的.2.2.什么叫做什么叫做1 1弧度的角？度与弧度是怎弧度的角？度与弧度是怎样换算的？样换算的？（1 1）等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做）等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 1弧度的角弧度的角.3.3.与角与角终边相同的角的一般表达式终边相同的角的一般表达式是什么？是什么？=k k360360（kZkZ）或）或 （2 2）180180 rad.rad.4.4.如图，在直角三角形如图，在直角三角形ABCABC中，中，sinsin，coscos，tantan分别叫做角分别叫做角的的正弦、余正弦、余弦和正切，弦和正切，它们的值分别等于什么？它们的值分别等于什么？A AB BC C5
3、.5.当角当角不是锐角时，我们必须对不是锐角时，我们必须对sinsin，coscos，tantan的值进行推广，的值进行推广，以适应任意角的需要以适应任意角的需要.知识探究（一）：任意角的三角函数知识探究（一）：任意角的三角函数 思考思考1 1：为了研究方便，我们把为了研究方便，我们把锐角锐角放到直角坐标系中，并使角放到直角坐标系中，并使角的顶点与的顶点与原点原点O O重合重合,始边与始边与x x轴的非负半轴重合轴的非负半轴重合.在角在角的终边上取一点的终边上取一点P P（a，b b）,设点设点P P与原点的距离为与原点的距离为r r，那么，那么，sinsin，coscos，tantan的值分
4、别如何表示？的值分别如何表示？P(xP(x，y)y)O Ox xy y思考思考2 2：对于确定的角对于确定的角，上述三个比值，上述三个比值是否随点是否随点P P在角在角的终边上的位置的改变的终边上的位置的改变而改变吗？为什么？而改变吗？为什么？如果改变点在终边上的位置，这如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变三个比值会改变吗？吗？MOyxP(a,b)思考思考3 3：为了使为了使sinsin，coscos的表示式更的表示式更简单，你认为点简单，你认为点P P的位置选在何处最好？的位置选在何处最好？此时，此时，sinsin，coscos分别等于什么？分别等于什么？x xy yo oP(P(a，
5、b b)1思考思考4 4：在直角坐标系中，以原点在直角坐标系中，以原点O O为圆为圆心，以单位长度为半径的圆称为心，以单位长度为半径的圆称为单位圆单位圆.对于角对于角的终边上一点的终边上一点P P，要使，要使|OP|=1|OP|=1，点点P P的位置如何确定？的位置如何确定？的终边的终边O Ox xy yP P思考思考5 5：设设是一个任意角，它的终边是一个任意角，它的终边与单位圆交于点与单位圆交于点P P（x x，y y），为了不与），为了不与当当为锐角时的三角函数值发生矛盾，为锐角时的三角函数值发生矛盾，你认为你认为sinsin，coscos，tantan对应的值对应的值应分别如何定义？应
6、分别如何定义？的终边的终边P(xP(x，y)y)O Ox xy y思考思考6 6：对于一个任意给定的角对于一个任意给定的角，按，按照上述定义，对应的照上述定义，对应的sinsin，coscos，tantan的值是否存在？是否惟一？的值是否存在？是否惟一？的终边的终边P(xP(x，y)y)O Ox xy y正、余弦函数的定义域为正、余弦函数的定义域为R R，正切函数的定义域是正切函数的定义域是 思考思考7 7：对应关系对应关系 ，都是以角为自变量，以单位圆都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，分别称为分别称为正弦函数正弦函数、余
7、弦函数余弦函数和和正切函数正切函数，并统称为并统称为三角函数三角函数，在弧度制中，这三个三，在弧度制中，这三个三角函数的定义域分别是什么？角函数的定义域分别是什么？知识探究（二）：三角函数符号与公式知识探究（二）：三角函数符号与公式 思考思考1 1：当角当角在某个象限时，设其终在某个象限时，设其终边与单位圆交于点边与单位圆交于点P P（x x，y y），根据三），根据三角函数定义，角函数定义，sinsin，coscos，tantan的的函数值符号是否确定？为什么？函数值符号是否确定？为什么？的终边的终边P(xP(x，y)y)O Ox xy y三角函数线三角函数线思考思考2 2：综上分析，各三角
8、函数在各个象限综上分析，各三角函数在各个象限的取值符号如下表：的取值符号如下表：三角函数三角函数第一象限第一象限 第二象限第二象限 第三象限第三象限 第四象限第四象限+你有什么办法记住这些信息？你有什么办法记住这些信息？思考思考3 3：如果角如果角与与的终边相同，那么的终边相同，那么sinsin与与sinsin有什么关系？有什么关系？coscos与与coscos有有什么关系？什么关系？tantan与与tantan有什么关系？有什么关系？思考思考4 4：上述结论表明，上述结论表明，终边相同的角的同终边相同的角的同名三角函数值相等，名三角函数值相等，如何将这个性质用一组如何将这个性质用一组数学公式
9、表达？数学公式表达？公式一：公式一：（)思考思考5 5：若若sinsin=sinsin，则角，则角与与的的终边一定相同吗？终边一定相同吗？思考思考6 6：在求任意角的三角函数值时，上在求任意角的三角函数值时，上述公式有何功能作用？述公式有何功能作用？可将求任意角的三角函数值，转化为求可将求任意角的三角函数值，转化为求0 0 （或（或0 0360360)范围内的三角函数值范围内的三角函数值.思考思考7 7：函数的对应形式有一对一和多对一两函数的对应形式有一对一和多对一两种，三角函数是哪一种对应形式？种，三角函数是哪一种对应形式？例例1：如图已知角：如图已知角的终边与单位圆的交点是的终边与单位圆的
10、交点是 ，求角求角的正弦、余弦和正切值。的正弦、余弦和正切值。解：根据任意角的三角函数定义：Oxy点评：若已知角点评：若已知角的终边与单位圆的交点坐标，的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用定义求三角函数值。则可直接利用定义求三角函数值。实例剖析实例剖析例例2 求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.解：在直角坐标系中，作解：在直角坐标系中，作，易知，易知 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为 所以所以，点评：若已知角点评：若已知角的大小，可求出角的大小，可求出角终边与单位圆的交点，终边与单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。然后再利用定义求三角函数值。例例3 求证
11、：当且仅当下列不等式组成立时，求证：当且仅当下列不等式组成立时，角角 为第三象限角为第三象限角.反之也对。反之也对。证明：证明：因为因为式式 成立成立,所以所以 角的终边可能位于第三角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；轴的非正半轴上；又因为又因为式式 成立，所以角成立，所以角 的终边可能位于的终边可能位于第一或第三象限第一或第三象限.因为因为式都成立，所以角式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限的终边只能位于第三象限.于是角于是角 为第三象限角为第三象限角.反过来请同学们自己证明反过来请同学们自己证明.例例4 确定下列三角函数值的符号：确定下
12、列三角函数值的符号：（1）（2）（3）解：解：（1）因为）因为 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；（2）因为）因为 =，而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以 ；练习练习 确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号 （3）因为）因为 是第四象限角，所以是第四象限角，所以 .1下列各式为正号的是（下列各式为正号的是（）A cos2 B cos2 sin2 C tan2 cos2 D sin2 tan2C2 若若lg(sintan)有意义，则有意义，则 是（是（）A 第一象限角第一象限角 B 第四象限角第四象限角 C 第一象限角或第四象限角第一象限角或第四象限角 D 第一或第四象限
13、角或第一或第四象限角或x轴的正半轴轴的正半轴C3 已知已知 的终边过点的终边过点(3a-9,a+2),且且cos 0,则则a的取值范围是的取值范围是 。-2a3小结作业小结作业1.1.三角函数都是以角为自变量，在弧度三角函数都是以角为自变量，在弧度制中，三角函数的自变量与函数值都是制中，三角函数的自变量与函数值都是在实数范围内取值在实数范围内取值.2.2.三角函数的定义是三角函数的理论基三角函数的定义是三角函数的理论基础，三角函数的定义域、函数值符号、础，三角函数的定义域、函数值符号、公式一等，都是在此基础上推导出来的公式一等，都是在此基础上推导出来的.4.4.一个任意角的三角函数只与这个角的
14、一个任意角的三角函数只与这个角的终边位置有关，与点终边位置有关，与点P P（x x，y y）在终边上）在终边上的位置无关的位置无关.公式一揭示了三角函数值呈公式一揭示了三角函数值呈周期性变化，即角的终边绕原点每旋转周期性变化，即角的终边绕原点每旋转一周，函数值重复出现一周，函数值重复出现.3.3.若已知角若已知角的一个三角函数符号，则的一个三角函数符号，则角角所在的象限有两种可能；若已知角所在的象限有两种可能；若已知角的两个三角函数符号，则角的两个三角函数符号，则角所在的所在的象限就惟一确定象限就惟一确定.作业：作业：P15 P15 练习：练习：1 1，2 2，5 5，7.7.3 3，4 4，6 6 做在书上做在书上