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1、-南昌大学第三届高等数学竞赛理工类试题及答案-第 11 页 南昌大学第三届高等数学竞赛(理工类)试题 序号： 姓名： 学院: 专业： 学号： 考试日期： 2006年9月24日 题号一二三四五六七八九十十一十二总分累分人 签名题分15156677877787 100得分注: 本卷共七页, 十二道大题, 考试时间为8:3011:30.一、 填空题(每空3分，共15分) 得分评阅人 1、 . 2、心形线所围成的面积是 .3、 . 4、螺旋线2，在处的切线与轴的夹角为 .5、级数的收敛区间是 .二、 选择题(每题3分，共15分) 得分评阅人 1、 设在的某个邻域内有定义，则在处可导的一个充分条件是（
2、）(A) 存在. (B) 存在. (C) 存在. (D) 存在.2、 设二元函数则下面叙述中正确的是( ) (A) 在点处的极限不存在.(B) 在点处的极限存在但不连续.(C) 在点处连续但不可微.(D) 在点处可微.3、 方程的一个特解可设为（ ）(A) . (B) .(C) . (D) .4、 设，有连续的导数，则（ ）(A) 2. (B) 2. (C) . (D) .5、 级数的敛散性为( )(A) 无法判断,与有关. (B)发散. (C) 条件收敛. (D) 绝对收敛.得分评阅人 三、（本题满分6分）设, 计算.得分评阅人 四、（本题满分6分）设在上二阶可导, 且, , . 证明在内至
3、少存在一点使. 得分评阅人 五、（本题满分7分）设在内有连续导函数，求，是从点到的直线段.得分评阅人 六、（本题满分7分）设在内有定义，且， 存在，对于任意，恒有，求. 得分评阅人 七、（本题满分8分）判别级数的敛散性，并求 得分评阅人 八、（本题满分7分） 有连接两点、的一条凸曲线，它位于弦的上方，为曲线上任意一点，已知曲线与弦之间的面积为，求曲线方程.得分评阅人 九、（本题满分7分） 设，为长方体的外侧，为连续函数，计算.得分评阅人 十、（本题满分7分） 求极限.得分评阅人 十一、（本题满分8分） 求级数的和函数, 并指明定义域.得分评阅人 十二、（本题满分7分） 求圆锥被圆柱所截部分的面
4、积. 南昌大学第三届高等数学竞赛理工类试题答案一、 填空题 1、 3. 2、6. 3、 . 4、 或或. 5、.二、 选择题1、B 2、C 3、D 4、A 5、C三、 四、在与处分别将展成一阶泰勒公式上两式将代入再相减，得因为其中从而五、所以曲线积分与路径无关.设,则.原式 3 4六、令，得，由得由知对任意，.于是将代入得，故.七、由得，于是收敛，从而存在，故由得八、设所求曲线方程为，由题意得且两边求导并整理得解一阶非线性微分方程得由解得，故九、先计算.将分为六张平面：取后侧；取前侧； 取左侧；取右侧；取下侧；取上侧. 由于，在平面上的投影区域是一线段，故0又，故有同理可得故十、令，从而，即原式十一、令，则从0到积分得再从0到积分得当时，也收敛，故收敛域为.十二、因而其中是，于是，故.