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1、-圆单元复习总结与巩固-第 9 页圆单元复习与巩固知识点一：圆的定义（一）线段OA绕着它的一个端点O ，另一个端点A所形成的 ，叫做圆（二）圆是到 的距离等于 的点的集合知识点二：判定一个点P是否在O上设O的半径为，OP=，则有点P在O ；点P在O ；点P在O 知识点三：判定几个点在同一个圆上的方法当 时，在O 上知识点四：与圆有关的角（一）圆心角：顶点在 的角叫圆心角圆心角的性质：圆心角的度数 它所对的弧的度数（二）圆周角：顶点在 ，两边都和圆 的角叫做圆周角圆周角的性质：（1）圆周角 它所对的弧所对的圆心角的 （2）同弧或等弧所对的圆周角 ；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 （3）90
2、的圆周角所对的弦为 ；半圆或直径所对的圆周角为 角（4）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是 三角形（5）圆内接四边形的对角 ；外角等于它的 知识点五：圆的性质（一）旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别 （二）轴对称：圆是轴对称图形，经过 的任一直线都是它的对称轴（三）垂径定理及推论：（1）垂直于弦的直径 这条弦，并且平分弦所对的 （2）平分弦（不是 ）的直径 于弦，并且 弦所对的两条弧（3）弦的垂直平分线过
3、 ，且 弦对的两条弧（4）平分一条弦所对的两条弧的直线过 ，且 平分此弦（5）平行弦夹的弧 知识点六：三角形的内心、外心、重心、垂心（一）三角形的内心：是三角形 的交点，它是三角形 圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的 相等，通常用“I”表示（二）三角形的外心：是三角形 的交点，它是三角形 圆的圆心，锐角三角形外心在三角形 部，直角三角形的外心是 ，钝角三角形外心在三角形 部，三角形外心到三角形三个顶点的距离 ，通常用O表示（四）三角形重心：是三角形 的交点，在三角形 部；它到顶点的距离是到对边中点距离的 倍，通常用G表示（五）垂心：是三角形 的交点知识点七：切线的判定、性质（一）切线的判
4、定：（1）经过半径的 并且 于这条半径的直线是圆的切线（2）到圆心的距离 圆的半径的直线是圆的切线（二）切线的性质：（1）圆的切线 于过 的半径（2）经过圆心作圆的切线的垂线经过 点（3）经过切点作切线的垂线经过 （三）切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的 叫做切线长（四）切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长 ，这一点和圆心的连线 两条切线的夹角知识点八：圆内接四边形和外切四边形（一）四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角 ，外角等于 （二）各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和 知识点九：直线和圆的位置关系设O 半径为，点O到直
5、线的距离为（一）直线和O 公共点直线和圆相离（二）直线和O有 公共点直线和O相切（三）直线和O有 公共点直线和O相交知识点十：圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距（一）和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离（二）和没有公共点，且的每一个点都在内部内含（三）和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切（四）和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切（五）和有两个公共点相交知识点十一：两圆的性质（一）两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆 线（二）相交两圆的连心线 公共弦，相切两圆的连心线经过 点知识点十二：圆中有关计算圆的面积公式： ，周长 圆心角为、半径为的弧
6、长 圆心角为，半径为，弧长为的扇形的面积 弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为，母线长为的圆柱的体积为 ，侧面积为 ，全面积为 圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为，母线长为，高为的圆锥的侧面积为 ，全面积为 ，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 类型一：垂径定理及其应用在圆这一章中，涉及垂径定理的有关知识点很多，如弓形中的有关计算、切线的性质、判定定理等，也是在各地中考中经常出现的一个考点应用垂径定理可以进行线段的垂直、平分以及弓形面积的计算等例1某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放
7、置的破裂管道有水部分的截面（1）请你补全这个输水管道的圆形截面图；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径思路点拨：本题考查圆的确定、垂径定理以及直角三角形的性质有关等知识解：总结升华： 举一反三：【变式1】“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为O的直径，弦ABCD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（ ）A12.5寸B13寸C25寸D26寸解析：类型二：圆周角及其应用圆周角与圆心角是本章中最常用的
8、角，在中考中经常出现，一般单独考查它的题目不多，都是隐含在其他题目中例2如图所示，ABC内接于O，点D是CA延长线上一点，若BOC=120，BAD等于（ ）A30B60C75D90解析：举一反三：【变式1】如图所示，O的内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中与1相等的角有 解析：【变式2】如图所示，已知AB为O的直径，AC为弦，ODBC，BC=4cm（1）说明ACOD；（2）求OD的长解：类型三：切线的性质及判定涉及圆的切线的问题在各地中考中以各种题型出现，主要考查切线的识别方法、切线的特征以及对切线的应用能力，所以应认真理解有关切线的内容，并能用来解答实际问题例3如图所示，直线MN是O的切
9、线，A为切点，过A的作弦交O于B、C，连接BC，证明NAC=B思路点拨：如图所示，过A作O的直径AD，连接DC，利用角的关系，可证明NAC与B相等证明：总结升华： 举一反三：【变式1】如图所示，DB切O于点A，AOM=66，则DAM= 解析：【变式2】如图所示，AB是O的直径，是O的切线，C是切点，过A、B分别作的垂线，垂足分别为E、F，证明EC=CF思路点拨：已知是O的切线，连接过切点C的半径OC，易得AEOCBF，因为O是直径的中点，因此，EC=CF解：总结升华： 【变式3】如图所示，ABC内接于O，要使过点A的直线EF与O相切于A点，则图中的角应满足的条件是 （只填一个即可）答案：例4如
10、图所示，EB、BC是O是两条切线，B、C是切点，A、D是O上两点，如果E=46，DCF=32，那么A的度数是 解析：举一反三：【变式1】如图所示，已知在ABC中，B=90，O是AB上一点，以O为圆心、OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D求证：DEOC；证明：类型四：两圆位置的判定在各地中考试题中，单独考查点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的题目一般多以选择题、填空题为主，在解答题、探究题中也经常作为主要考查目标，这部分内容不仅考查基础知识，而且考查综合运用能力例5填空题（1）已知圆的直径为13 cm，圆心到直线的距离为6cm，那么直线和这个圆的公共点的个数是 （2）两个圆内切，其中一个
11、圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是 思路点拨：（1）直线与圆的位置关系：相离、相切、相交判定方法有两种：一是看它们的公共点的个数；二是比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小（2）两圆有三种位置关系：相交、相切（外切、内切）和相离（外离、内含）答案：举一反三：【变式1】两圆半径分别为1和7，若它们的两条公切线互相垂直，则它们的圆心距为 答案：【变式2】已知两圆的圆心距为3，的半径为1的半径为2，则与的位置关系为 答案：【变式3】在平面直角坐标系中如图所示，两个圆的圆心坐标分别是（3，0）和（0，-4），半径分别是和，则这两个圆的公切线有（ ）A1条B2条C3条D4条解析：类型五：弧
12、长的计算及其应用例6如图所示，在正方形铁皮下剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图中所示的一个圆锥模型，设圆的半径为r，扇形半径为R，则圆的半径与扇形半径之问的关系为（ ）ABCD思路点拨：由扇形与圆恰好围成圆锥的条件是圆的周长与扇形的弧长相等答案：类型六：图形面积的计算及其应用与圆有关的图形面积计算问题有圆的面积、扇形面积、圆柱及圆锥的侧面积与全面积考查题型以选择题、填空题、解答题为主，考查重点是对有关公式的灵活运用其中是不规则图形面积的计算，应首先将其转化为规则图形，然后再进行例7沈阳市某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角
13、三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为（ ）AB72C36D72解析：总结升华： 举一反三：【变式1】设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案（阴影部分）的面积等于（ ）A(4+8)cm2B(4+16)cm2C(3+8)cm2D(3+16)cm2解析：类型七：圆与其他知识的综合运用例8如图所示，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60的方向，向正东航行8海里到达C处后，又测得该灯塔在北偏东30的方向，渔船如果不改变方向，继续向东航行，有没有触的礁危险？思路点拨
14、：若渔船在向东航行的过程中的每一位置到A点的距离都大于7海里，则不会进入危险区域，所以只要计算航线上到A点最近的点与A点的距离解：总结升华： 例9小明要在半径为1 m、圆心角为60的扇形铁皮中剪取一块面积尽可能大的正方形铁皮，小明在扇形铁皮上设计如图1和图2所示的甲、乙两种剪取方案，请你帮小明计算一下，按甲、乙两种方案剪取所得的正方形的面积，并估算哪个正方形的面积较大（估算时取1.73，结果保留两个有效数字）思路点拨：要比较甲、乙两方案剪取的正方形的面积大小，关键在于求出边长解：总结升华： 例10已知射线OF交O于B，半径OAOB，P是射线OF上的一个动点（不与O、B重合），直线AP交O于D，
15、过D作O的切线交射线OF于E（1）如图所示是点P在圆内移动时符合已知条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合已知条件的图形（2）观察图形，点P在移动过程中，DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比较写出一条与DPE的边、角或形状有关的规律（3）点P在移动过程中，设DEP的度数为x，OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围思路点拨：如图所示，连接OD，因为DE是O的切线，故ODE=90，又OA=OD，故A=ODA，OAP+OPD=90，ODA+ADC=90，故OPD=ADC=EDP，DEP是等腰三角形解：三、总结与测评（一）用垂径定理来计算时，常常需要作“垂直于弦的直径”、“连接半径”等辅助线，这样可以构造出以弦心距、半径和半弦组成的一个直角三角形，通过解直角三角形，求得未知量（二）反证法证题的步骤（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确（三）切线的判定方法：（1）切线的定义（2）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（3）到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线