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1、-微分中值定理有关证明-第 6 页例1 设在0，3上连续，在（0，3）内可导，且，. 试证：必存在，使 证： 在0，3上连续， 在0，2上连续，且有最大值和最小值.于是；，故. 由连续函数介值定理可知，至少存在一点使得，因此，且在，3上连续，（，3）内可导，由罗尔定理得出必存在使得。例2 设在0，1上连续，（0，1）内可导，且求证：存在使证：由积分中值定理可知，存在，使得得到 对在0，c上用罗尔定理，（三个条件都满足）故存在，使例3 设在0,1上连续，(0，1)内可导，对任意，有，求证存在使证：由积分中值定理可知存在使得令，可知这样，对在上用罗尔定理（三个条件都满足）存在，使而又，则 在例3的
2、条件和结论中可以看出不可能对用罗尔定理，否则结论只是，而且条件也不满足。因此如何构造一个函数，它与有关，而且满足区间上罗尔定理的三个条件，从就能得到结论成立，于是用罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的是非常关键，下面的模型，就在这方面提供一些选择。模型：设在上连续，（）内可导，则下列各结论皆成立。（1）存在使（为实常数）（2）存在使（为非零常数）（3）存在使（为连续函数）证：（1）令，在上用罗尔定理 存在使 消去因子，即证.（2）令，在上用罗尔定理 存在使 消去因子，即证。（3）令，其中 由 清去因子，即证。例4 设在上连续，在（0，1）内可导，试证： （1）存在，使。（
3、2）对任意实数，存在，使得证明：（1）令，显然它在0, 1上连续，又，根据介值定理，存在使即（2）令，它在上满足罗尔定理的条件，故存在，使，即从而 （注：在例4（2）的证明中，相当于模型中（1）的情形，其中取为，取为）模型：设，在上皆连续，（）内皆可导，且，则存在，使证：令，则，显然在上满足罗尔定理的条件，则存在，使，即证.例5 设在0, 1上连续，（0, 1）内可导，为正整数。 求证：存在使得 证：令，则，用模型，存在使得故则例6 设在内可导，且，求证在内任意两个零点之间至少有一个的零点 证：反证法：设，而在内，则令在上用罗尔定理（不妨假设否则结论已经成立）则存在使，得出与假设条件矛盾。所以
4、在内至少有一个零点例7 设在二阶可导，且，又 求证：（1）在（）内； （2）存在，使 证：（1）用反证法，如果存在使，则对分别在和上用罗尔定理，存在使，存在使，再对在上用罗尔定理存在使与假设条件矛盾。所以在内（2）由结论可知即，因此令，可以验证在上连续，在内可导，满足罗尔定理的三个条件故存在，使于是成立例8 设在上连续，（0，3）内二阶可导，且（I） 证明 存在 使（II） 证明 存在 使证：（I）由积分中值定理，存在，使故存在使即（）由，可知，在上连续由价值定理可知存在，使，由于在上连续，内可导，且根据罗尔定理存在，使又在上连续，内可导，且根据罗尔定理存在（可知）使，最后对在上用罗尔定理可知存在使