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1、在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么第一章 集合与函数概念 1.3.1单调性与最大（值）单调性与最大（值）在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 函数是描述事物运动变化规律的数学函数是描述事物运动变化规律的数学模型模型.如果了解了函数的变化规律，那么也如果了解了函数的变化规律，那么也就基本把握另外相应事物的变化规律。在就基本把握另外相应事物的变化规律。在事物变化过程中，保持不变的特征就是事事物变化过程中，保持不变的特征就是事物的特征。因此研究函数的性质是非常重物
2、的特征。因此研究函数的性质是非常重要的。要的。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 观察以下各函数图象，你能说说它们分别反映了相观察以下各函数图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律？应函数的哪些变化规律？在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么函数单调性定义：函数单调性定义：设函数的定义域为设函数的定义域为I，区间，区间 .在区间在区间D上，若函数的图象（从左至右看）总是上升上，若函数的图象（从左至右看）总是上升的，则称函数在在区间的，则称函数在在区间
3、D上是增函数，区间上是增函数，区间D称为函数的单调增区间；在区间称为函数的单调增区间；在区间D上，若函数上，若函数的图象（从左至右看）总是下降的，则称函的图象（从左至右看）总是下降的，则称函数在在区间数在在区间D上是减函数，区间上是减函数，区间D称为函数的称为函数的单调减区间单调减区间.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例1下图是定义在区间下图是定义在区间-5，5上的函数上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？减函数
4、？解：函数解：函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有 -5,-2),-2,1),1,3),3,5 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 问题问题：根据函数的定义，对于自变量根据函数的定义，对于自变量x的每一的每一个确定的值，变量个确定的值，变量y都有唯一确定的值与它对应，都有唯一确定的值与它对应，那么当一个函数在某一区间上是单调增（或单调那么当一个函数在某一区间上是单调增（或单调减）的时候，相应的，自变量的值与对应的函数减）的时候，相应的，自变量的值与对应的函数值的变化规律是怎样的？值的变化规律是怎样的？在日常生活中，随处都
5、可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 问题：问题：如果对于区间（如果对于区间（a,b)上的任意上的任意x有有f(x)f(a),则函数则函数f(x)在（在（a,b)上单调增上单调增.这个说这个说法正确吗？请说明理由（举例或画图）法正确吗？请说明理由（举例或画图）.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么函数单调性定义：函数单调性定义：设函数的定义域为设函数的定义域为I：对于对于定义域定义域I内内某个区间某个区间 D上的上的任意任意两个自变两个自变量的值量的值 ，当，当 时，都有时，都有
6、 ，那么就说函数在区间，那么就说函数在区间D上是增函数上是增函数.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么函数单调性定义：函数单调性定义：设函数的定义域为设函数的定义域为I：对于对于定义域定义域I内内某个区间某个区间 D上的上的任意任意两个自两个自变量的值变量的值 ，当，当 时，都有时，都有 ，那么就说函数在区间，那么就说函数在区间D上是减上是减 函数函数.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例2 物理学中的玻意耳定律物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的
7、气体，当其体积告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减减小时，压强小时，压强p将增大。试用函数的单调性定义将增大。试用函数的单调性定义证明证明.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 如果函数如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区在这一区间具有（严格的）间具有（严格的）单调性单调性，区间，区间D叫做叫做y=f(x)的的单调区间单调区间.增区间和减区间统称为增区间和减区间统称为单调区间单调区间.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许
8、你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么证明：证明：设设V1，V2是区间是区间(0，+)上的上的任意任意两个实数，两个实数，且且V1V2，则则由由V1，V2(0，+)且且V10,V2-V1 0取值变形作差定号 所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.结论结论在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么判断函数单调性的方法步骤判断函数单调性的方法步骤 1 任取任取x1，x2D，且，且x1x2；2 作差作差f(x1)f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（
9、即定号（即论证论证f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；5 下下结结论论（即即指指出出函函数数f(x)在在给给定定的的区区间间D上上的的单调性）单调性）利用定义证明函数利用定义证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的单上的单调性的一般步骤：调性的一般步骤：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例3 用单调性定义证明函数用单调性定义证明函数 在在R上单调递增上单调递增.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么判断函数单调性的方法步骤判断函数单调性的方法步骤
10、1 任取任取x1，x2D，且，且x1x2；2 作差作差f(x1)f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即定号（即论证论证f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；5 下下结结论论（即即指指出出函函数数f(x)在在给给定定的的区区间间D上上的的单调性）单调性）利用定义证明函数利用定义证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的单上的单调性的一般步骤：调性的一般步骤：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么yoxoyxyoxyoxyox在 增函数在 减函数在 增函数在 减函数在(-,+)是减函数在(-,0)和(0,+)是减函数(-,+)是增函数在(-,0)和(0,+)是增函数yox在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么课堂小结课堂小结 函数的单调性一般是先根据图象判断根据图象判断，再利再利用定义证明用定义证明求函数的单调区间时必须要先求函必须要先求函数的定义域数的定义域,单调区间是定义域的子集单调区间是定义域的子集.取取 值值 作作 差差 变变 形形 定定 号号 下结论下结论 单调性的证明一般分五步：单调性的证明一般分五步：