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1、 第四章 指数函数与对数函数 4. 2.1 指数函数的概念本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.2.1节指数函数的概念。从内容上看它是学生学习了一次函数、二次函数、反比例函数，以及函数性质基础上，通过实际问题的探究，建立的第四个函数模型。其研究和学习过程，与先前的研究过程类似。先由实际问题探究，建立指数函数的模型和概念，再画函数图像，然后借助函数图像讨论函数的性质，最后应用建立的指数函数模型解决问题。体现了研究函数的一般方法，让学生充分感受，数学建模、直观想象、及由特殊到一般的思想方法。课程目标学科素养1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的
2、求法(重点)2.理解指数函数增长变化迅速的特点(难点)3.培养勇于探索的精神，体会由特殊到一般的研究方法，发展数学核心素养。a.数学抽象：指数函数的概念；b.逻辑推理：指数函数的底数特点；c.数学运算：待定系数法求指数函数解析式；d.直观想象：指数函数图像；e.数学建模：在实际问题中建立指数函数模型；重点：理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法难点：理解指数函数增长变化迅速的特点；多媒体教学过程设计意图核心教学素养目标（一）、创设问题情境对于幂 ax(a0 ，我们已经把指数 x的范围拓展到了实数上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的
3、过程和方法下面继续研究其他类型的基本初等函数（二）、探索新知问题随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式由于旅游人数不断增加，两地景区自2011年起采取了不同的应对措施，地提高了景区门票价格，而地则取消了景区门票下表给出了，两地景区2011年至2015年的游客人次以及逐年增加量比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？为了有利于观察规律，根据表，分别画出，两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图观察图象和表格，可以发现，地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为万次）；地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大
4、，但从图象和年增加量都难以看出变化规律我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的能否通过对地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试从2002年起，将地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到2002年游客人次2001年游客人次=3092781.11，2003年游客人次2002年游客人次=3443091.112015年游客人次2014年游客人次=124411181.11做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量结果表明， 地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-10.11，是一个
5、常数像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长因此，地景区的游客人次近似于指数增长显然，从年开始，地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：年后，游客人次是年的1.111倍；年后，游客人次是年的1.112倍；年后，游客人次是年的1.113倍；x年后，游客人次是年的1.11x倍如果设经过x年后的游客人次为年的y倍，那么y 1.11x （x，） 这是一个函数，其中指数x是自变量问题当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？设死亡生物体内碳14
6、含量的年衰减率为狆，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么；死亡1年后，生物体内碳14含量为（1-p)1；死亡2年后，生物体内碳14含量为（1-p)2 ；死亡3年后，生物体内碳14含量为（1-p)3 ；死亡5730年后，生物体内碳14含量为（1-p)5730 根据已知条件， （1-p)573012,从而1-p=(12)15730,所以p=1-(12)15730设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳含量为y，那么y=（1-p)x ，即y=(12)15730)x, （x，） 这也是一个函数，指数x是自变量死亡生物体内碳含量每年都以1-(12)15730减率衰减像这样，衰减率为常数的变化方式
7、，我们称为指数衰减因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减如果用字母a代替上述两式中的底数1.11和(12)15730，那么函数y 1.11x 和y=(12)15730)x可以表示为y=ax的形式，指数函数的概念一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是_.思考：指数函数定义中为什么规定a大于0且不等于1?1思考辨析(1)yx2是指数函数()(2)函数y2x不是指数函数()(3)指数函数的图象一定在x轴的上方()答案(1)(2)(3)（三）典例解析例1已知指数函数设f(x)ax(a0, 且a1),且f(3)=求f(0)，f(1)，f(-3)的值；分析：要求f(
8、0)，f(1)，f(-3)的值，应先求出f(x)ax的解析式即先求出a的值；解：因为 f(x)ax ,且 f(3)=,则a3 = ，解得 a=13 , 于是f(x)x3，所以f(0)=0=1，f(1)=13=3，f(-3)=-1=1跟踪训练1：已知函数f(x)为指数函数，且f-32=39，则f(2)_. 解析：设f(x)ax(a0且a1)，由f 得a，所以a3，又f(2)a2，所以f(2)32.规律方法1在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住三点：(1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；(3)ax的系数必须为1.2求指数函数的解析式常用待定系数法例（1）在
9、问题中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，地景区的门票价格为150元，比较这15年间，两地旅游收入变化情况解：（）设经过x年，游客给，两地带来的收入分别为f（x）和g（x），则f（x）1150（10x+600），g（x）10002781.11x利用计算工具可得，当x=0时，f（0）g（0）412000当x10.22时，f（10.22）g（10.22）结合图可知：当x10.22时，f（x）g（x），当x10.22时，f（x）g（x）当x14时，f（14）g（14）347303这说明，在2001年，游客给地带来的收入比地多412000万元；随后10年，虽然f（x）g（x
10、），但g（x）的增长速度大于f（x）；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有f（x）g（x），这时游客给地带来的收入和地差不多；此后，f（x）g（x），游客给地带来的收入超过了地；由于g（x）增长得越来越快，在2015年，地的收入已经比地多347303万元了开门见山，通过对指数幂运算及函数概念和性质学习的铺垫，提出研究课题：指数函数。培养和发展数学抽象和数学建模的核心素养。探究问题：探究1.通过景区门票价格制定与参观景区人数，两个变量函数关系的建立，体会数学源于生活，发展学生数学抽象、数学建模和数学运算核心素养；通过典例问题的分析，让学生体验实际问题分析方法，及指数函数变
11、化特点。培养分析问题与解决问题的能力；探究2.通过生物体死亡时间与体内碳14含量，函数关系的建立，体会指数函数应用的广泛性，并建立指数函数的概念。体会由特殊到一般的研究方法，发展学生数学抽象、数学建模和数学运算核心素养；通过典例分析，进一步熟悉指数函数的概念，及认识到指数函数变化迅速的特点；三、当堂达标 1下列函数一定是指数函数的是()Ay2x1 Byx3 Cy32x Dy3x【答案】D由指数函数的定义可知D正确2.下列图象中，有可能表示指数函数的是（）【答案】C由指数函数的增长速度及定义，可知C正确3已知函数f(x)(2a1)x是指数函数，则实数a的取值范围是_【答案】(1，) 由题意可知解得a，且a1，所以实数a的取值范围是(1，)4若函数f(x)是指数函数，且f(2)2，则f(x)_. 【答案】x设f(x)ax(a0且a1)，则f(2)a22，a(a舍去)，f(x)x.通过练习巩固本节所学知识，巩固指数函数的概念，及了解指数函数变化特点，增强学生的数学抽象和数学直观和数学运算的素养。四、小结1、指数函数概念函数y = ax(a0，且a 1)叫做指数函数，其中x是自变量 .函数的定义域是R .五、作业1. 课时练 2. 预习下节课内容学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；