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1、8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积本节课选自普通高中课程标准数学教科书-必修第二册（人教A版）第八章立体几何初步，本节课主要学习棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的表面积、体积公式及其求法，还有简单组合体的体积的求解。教材从分析简单几何体的侧面展开图得到了它们的表面积公式，体现了立体问题平面化的解决策略，这是本节课的灵魂，也是立体几何的灵魂，在立体几何中，要注意将立体问题转化为平面几何问题，在教学中应加以重视。课程目标学科素养A.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法B会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积
2、的公式；2.逻辑推理：推导棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式；3.数学运算：求棱柱、棱锥、棱台及有关组合体的表面积与体积；4.直观想象：棱柱、棱锥、棱台体积之间的关系。1.教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；2.教学难点：求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、 复习回顾，温故知新1.北京奥运会场馆图2. 北京奥运会结束后，国家对体育场馆都进行了改造，从专业比赛场馆逐步成为公众观光、健身的综合性体育场馆，国家游泳中心也完成了上述变身，新增了内部开放面积，并建成了大型的水上乐园经营方出于多种考虑，近几年内“水立方”外墙暂不承接商业化广告，但出
3、于长远考虑，决定为水立方外墙订制特殊显示屏，届时“水立方”将重新焕发活力，大放异彩能否计算出“水立方”外墙所用显示屏的面积？3.学生回答下列公式矩形面积、三角形面积、梯形面积、长方体体积、正方体体积4.在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？二、探索新知探究：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？思考1：棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？侧面展开图是几个矩形，表面积是上下底面面积与侧面展开图的面积的和。思考2：棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？【答案】棱锥的侧面展开图是几个三
4、角形。表面积是侧面展开图的面积加上底面积。思考3：棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？【答案】侧面展开图为几个梯形，表面积为侧面几个梯形面积的和再加上上下底面面积。1.结论： 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和例1.四面体P-ABCD的各棱长均为a，求它的表面积。解：因为是正三角形，其边长为a，所以，因此，四面体P-ABC 的表面积2.一般棱柱的体积公式也是V = Sh，其中S为底面面积，h为高（即两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间
5、的距离。3.棱锥的体积是与它同底同高的棱柱的体积的三分之一。棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离。思考4：根据台体的特征，如何求台体的体积？【答案】 由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差得到棱台的体积公式。棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离。思考5：柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5cm，公共面ABCD是边长为1cm的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精准到0.0
6、1m3）？解：由题意知所以这个漏斗的容积。通过观看图片及复习初中所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。通过思考，得到棱柱的表面积的求法，提高学生的解决问题、分析问题的能力。通过思考，得到棱锥、棱台的表面积的求法，提高学生的解决问题、分析问题的能力。通过例题，熟悉棱柱的表面积的求法，提高学生解决问题的能力。通过思考，推出棱台的体积公式，提高学生的分析、概括问题的能力。通过思考，推出棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系，提高学生的分析、概括问题的能力。通过例题巩固棱柱、棱锥的体积求法，提高解决问题的能力。三、达标检测1判断正误(1)锥体的体积等于底面积与高之积()(2
7、)台体的体积，可转化为两个锥体体积之差()(3)正方体的表面积为96，则正方体的体积为64.()【答案】(1)(2)(3)2如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1ACD的体积是()A.B.C. D1【答案】A【解析】三棱锥D1ADC的体积VSADCD1DADDCD1D.故选A。3已知高为3的棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1ABC的体积为()A. B.C. D.答案D4把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为 【答案】18a2【解析】原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为a，每个小正方体的
8、表面积S1a26a2，所以27个小正方体的表面积是a22718a2.5如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA2，PB3，PC4，求三棱锥PABC的体积V.【解析】三棱锥的体积VSh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，PAC作为底面求解故VSPACPB2434.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。四、小结1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积；2.棱柱、棱锥、棱台的体积。五、作业习题8.3 1,2题通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。本节应多让学生动手，多做几个模型，从而能更好地理解及记忆棱柱、棱锥、棱台的侧面积、体积公式。