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1、【新教材】7.3.1 复数的三角表示式 教学设计（人教A版） 复数的三角形式是复数这一章中的一个重要内容，引进复数三角式的依据是复数的几何意义和三角函数的定义，它是数形结合的产物，有了它就可借助三角知识帮助处理复数的一些问题.课程目标：1. 掌握复数的三角形式，熟练进行两种形式的转化;2. 培养学生的转化，推理及运算能力;3. 通过学习本节知识，使学生体会数学的严谨美与图形美.数学学科素养1.数学抽象：复数三角表示的理解;2.直观想象：复数的辐角及辐角的主值的含义;3.数学运算：复数的代数表示与三角表示之间的转化. 重点：复数三角表达式的理解及其与代数表达式之间的互化 难点：复数三角表达式的理
2、解.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练.教学工具：多媒体.一、 情景导入提问：1、如图，角的终边上一点P(x，y)，设P到原点O的距离|OP|r，那么怎样用角和r表示x，y? 2、我们知道，复数可以用abi(a，bR)的形式来表示，复数abi与复平面内的点Z(a，b)一一对应，与平面向量(a，b)也是一一对应的，如图，你能用向量的模r和以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线(射线OZ)为终边的角来表示复数z吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本83-85页，思考并完成以下问题1、什么是辐角，辐角的主值用
3、什么表示？取值范围是多少？2、复数的三角形式是怎样定义的?又有什么特点？3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件是什么?要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1 .复数的辐角 以x轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角。适合于 02的辐角的值，叫辐角的主值。记作：argz,即 0arg z2.2.复数的三角表达式一般地，任何一个复数zabi都可以表示成r(cos+isin)的形式其中，r是复数的模；是复数zabi的辐角r(cos+isin)叫做复数zabi的三角表示式，简称三角形式为了与三角形式区分开来a+bi叫做
4、复数的代数表示式，简称代数形式注意：复数三角形式的特点模非负，角相同，余弦前，加号连3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等四、典例分析、举一反三题型一 复数的三角形式例1下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式(1) z1 cos 60isin 30 ；(2) z22(cos isin )；(3) z3sin icos .【答案】(1) z1(cos isin ) (2) z22(cos isin). (3) z3cos ()isin () .【解析】(1)由“角相同”知，不是三角形式z1cos 60isin 30i，模r，c
5、os ，与z1对应的点在第一象限，所以取.即z1cos 60isin 30(cos isin )(2)由“加号连”知，不是三角形式复平面上的点Z2(2cos ，2sin )在第四象限，不需要改变三角函数名称，可用诱导公式“2”变换到第四象限所以z22(cos isin )2(cos(2)isin (2)2(cos isin)(3)由“余弦前”知，不是三角形式复平面上的点Z3(sin ，cos )在第二象限(假定为锐角)，需要改变三角函数名称，可用诱导公式“”将变换到第二象限所以z3 sin icos cos ()isin () .解题技巧（复数三角形式的判断依据和变形步骤）(1)判断依据：三角
6、形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连(2)变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限(此处可假定为锐角)，其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角此步骤可简称为“定点定名定角”.跟踪训练一1下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式(1)z12(cos isin ) ；(2) z2(cosisin)；(3) z3 2(cos isin )【答案】(1)是三角形式 (2) z2(cosisin ) (3) z32cos()isin ()【解析】(1)z12(cos isin )符合三角形式的结构特征，是三角形式(2)由“加号连”知，不是三角形式z2(cosisin)i，模r，
7、cos .复数对应的点在第三象限，所以取，即z2(cos isin)(cosisin )(3) 由“模非负”知，不是三角形式复平面上的点Z1(2cos ，2sin )在第三象限(假定为锐角)，余弦“cos ”已在前，不需要变换三角函数名称，因此可用诱导公式“”将变换到第三象限所以z32(cos isin )2cos()isin ()题型二 复数的代数形式表示成三角形式例2 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）； （2）.【答案】（1）作图见解析;（2）作图见解析;【解析】（1）复数对应的向量如图所示，则.因为与对应的点在第一象限，所以.于是.（2）复数对应的向量如图所示，
8、则.因为与对应的点在第四象限，所以.于是.当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角不一定取主值.例如也是的三角形式.解题技巧： (复数的代数形式化三角形式的步骤)(1)先求复数的模；(2)决定辐角所在的象限；(3)根据象限求出辐角(常取它的主值)；(4)写出复数的三角形式跟踪训练二1把下列复数表示成三角形式：(1)1；(2)2i；(3)i; (4)2(sinicos)【答案】(1) 1cos 0isin 0. (2)2i2(cos isin )(3)i2cos()isin() (4)2(sin icos)2(cos isin )【解析】(1)r1，对应的点在x轴的正半轴上，所以arg(1)0.所
9、以1cos 0isin 0. (2) r2，对应的点在y轴的负半轴上，所以arg(2i).所以2i2(cos isin )(3) r2，对应的点在第四象限，且cos ，所以取.所以i2cos()isin()(4)2(sinicos)i，r2，对应的点在第二象限，且cos ，所以取.所以2(sin icos)2(cos isin )题型三 把复数表示成代数形式例3 分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：（1）；（2）.【答案】（1）复数的模，一个辐角，作图见解析,（2）复数的模，一个辐角，作图见解析,【解析】（1）复数的模，一个辐角，对应的向量如图所示.
10、 所以.（2）复数的模，一个辐角，对应的向量如图所示. 所以.解题技巧（把复数表示成代数形式的注意事项）（1）类似三角形式的复数求模和辐角时，注意三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连（2）由三角形式表示成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可跟踪训练三1把下列复数表示成代数形式：(1)z13(cos isin )；(2)z22cos()isin ()；(3)z35(cos 135isin 135)【答案】(1)z1i. (2)z22i. (3)z3i.【解析】(1)z13(cos isin)33ii.(2)z22cos()isin()202(1)i2i.(3)z35(cos 135isin 135)5()5ii.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计7.3.1 复数的三角表示式1. 复数的辐角 例1 例2 例3 2. 复数的三角表示式 特点：3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件： 七、作业课本86页练习，89页习题7.3的1、2题.本节课主要是在学生了解复数的代数形式及向量知识的基础上，探索复数的另一种表示方法，对于本节题型，注重让学生总结解题技巧，便于学生对知识有更系统的认知.