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1、4.2.1 等差数列的概念（2） 本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修二第四章数列，本节课主要学习等差数列的概念及其性质数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。课程目标学科素养A. 能用等差数列的定义推导等差数列的性质.B.能用等差数列的性质解决一些相关问题.C.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题.1.数学抽象：等差数列的
2、性质 2.逻辑推理：等差数列性质的推导3.数学运算：等差数列性质的运用 4.数学建模：运用等差数列解决实际问题 重点： 等差数列的性质及其应用 难点：等差数列的性质的推导 多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、 温故知新1等差数列的概念文字语言如果一个数列从第_项起，每一项与它的_的差都等于_，那么这个数列就叫做等差数列，这个_叫做等差数列的公差，公差通常用字母_表示符号语言an1and(d为常数，nN*)2 ;前一项 ;同一个常数 ;常数 ;d 2等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项(3)满足的关系式是ab2A 3.等差数列的通项公式；ana
3、1(n1)d，nN*；4.通项公式的应用；二、典例解析例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的范围.分析：该设备使用n年后的价值构成数列an，由题意可知，anan1d (n2). 即：anan1d.所以an为公差为d的等差数列.10年之内（含10年），该设备的价值不小于（2205%=）11万元；10年后，该设备的价值需小于11万元利用an的通项公式列不等式求解解：设使用n年后，这台设备的价值为a
4、n万元，则可得数列an由已知条件，得anan1d（n2）所以数列an是一个公差为d的等差数列.因为a1220d，所以an220d(n1)(d)220nd. 由题意，得a1011，a1111. 即：22010d1122011d11解得19d20.9所以，d的求值范围为19820，解得n475由于nN*，则n10,2019+10-1=2028所以该市在2028年 建住房面积开始大于820万平方米.例4. 已知等差数列an 的首项a12，d=8,在an 中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列bn.(1)求数列bn 的通项公式.(2) b29是不是数列an 的项？若是
5、，它是an 的第几项？若不是 ，请说明理由.分析：（1） an是一个确定的数列，只要把a1 ，a2表示为bn中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式；（2）设an中的第n项是bn中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系式，由此即可判断b29是否为an的项.解：（1）设等差数列bn的公差为d.b1=a1, b5=a2, b5-b1 =a2 -a1=8b5-b1 =4d, 4d =8, d =2,bn=2+(n-1) 2=2n所以数列bn的通项公式是bn=2n（2）数列an的各项依次是数列bn的第1,5,9,13，项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列cn，则cn=4n -3令
6、4n -3=29, 解得:n =8所以， b29是数列的第8项对于第（2）小题，你还有其他解法吗？等差数列的性质 如果在一个等差数列的每相邻两项之间都插入 k(kN*)个合适的数，仍然可以构成一个新的等差 数列.例5. 已知数列an 是等差数列，p,q,s,tN*,且 p+q=s+t求证:ap+aq=as+at分析：利用等差数列的中的两个基本量 a1, d ,再根据等差数列的定义写出ap，aq，as，at，即可得证.证明：设数列an 的公差为d,则ap=a1+(p-1) d,aq=a1+(q-1) d,as=a1+(s-1) d,at=a1+(t-1) d,所以: ap+aq=2a1+(p+q
7、-2)d,as+at=2a1+(s+t-2)d,因为p+q=s+t，所以ap+aq=as+at.例5 是等差数列的一条性质，右图是它的一种情形.你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？ 通过上节课我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上，那么你能从直线斜率的角度来解释这一性质吗？思路：ap-asp-s=at-aqt-qp+q=s+t, p-s=t-qap-as=at-aqap+aq=as+at通过回顾等差数列的定义及其中项性质，提出问题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。 通过实际问题的分析解决，体会等差数列的应用。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。通过典型例题，加深学生对等
8、差数列及其性质的理解和运用，深化对等差数列的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素通过典型例题，加深学生对等差数列及其性质的理解和运用，深化对等差数列的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素三、达标检测1在等差数列an中，若a3a5a7a9a11100，则3a9a13的值为()A20B30 C40 D50【答案】Ca3a11a5a92a7，a3a5a7a9a115a7100，a720.3a9a133(a72d)(a76d)2a740.2某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元如果某人乘坐该市的出
9、租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费_元23.2根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元所以可以建立一个等差数列an来计算车费令a111.2，表示4 km处的车费，公差d1.2，那么当出租车行至14 km处时，n11，此时需要支付车费a1111.2(111)1.223.2(元)3已知数列an是等差数列，若a4a7a1017，a4a5a6a12a13a1477且ak13，则k_.【答案】18a4a7a103a717，a7.又a4a5a13a1411a977，a97.故d.aka9(k9)d13，137(k9)，k18.
10、4在首项为31，公差为4的等差数列中，绝对值最小的项是_. 【答案】1可求得数列的通项公式为an354n.则当n8时an0；当n9时an0.又a83，a91.故绝对值最小的项为a91.5已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.【答案】法一：设这三个数为a，b，c(abc)，则由题意得，解得法二：设这三个数为ad，a，ad，由已知得由得a6，代入得d2，该数列是递增的，d2舍去，这三个数为4,6,8.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结1) 应用等差数列解决生活中实际问题的方法.
11、2) 等差数列的每相邻两项之间都插入 k(kN*)个合适的数，仍然可以构成一个新的等差数列.3) 等差数列an，p,q,s,tN*, 若p+q=s+t，则ap+aq=as+at五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。普通高中学生经过一年的高中的学习生活，已经慢慢习惯的高中的学习氛围，大部分学生知识经验已较为丰富，且对数列的知识有了初步的接触和认识，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻，应用数学公式的能力逐渐加强。他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力。但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。