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1、【新教材】4.4.3 不同函数增长的差异（人教A版） 本节课在已学幂函数、指数函数、对数函数的增长方式存在很大差异.事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反应.而本节课重在研究不同函数增长的差异.课程目标1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并体会其增长的快慢.2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义以及三种函数模型的性质的比较,培养数学建模和数学运算等核心素养.数学学科素养 1.数学抽象：常见增长函数的定义、图象、性质；2.逻辑推理：三种函数的增长速度比较；3.数学运算：由函数图像求函数解析式；4.数据分析：由图象判断指数函数、对数函数和幂函数；5.数学建模：通过由抽象到
2、具体，由具体到一般的数形结合思想总结函数性质.重点：比较函数值得大小；难点：几种增长函数模型的应用教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、 情景导入 请学生用画图像，观察两个函数图像,探索它们在区间0，+）上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、 预习课本，引入新课阅读课本136-138页，思考并完成以下问题1.三种函数模型的性质？2.三种函数的增长速度比较？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、 新知探究1.三种函数模型的性质函数性质y=ax(a
3、1)y=logax(a1)y=xn(n0)在(0,+)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随x增大逐渐变陡随x增大逐渐变缓随n值不同而不同2.三种函数的增长速度比较(1)在区间(0,+)上,函数y=ax(a1),y=logax(a1)和y=xn(n0)都是增函数,但增长速度不同.(2)在区间(0,+)上随着x的增大,函数y=ax(a1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度,而函数y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢.(3)存在一个x0,使得当xx0时,有logaxxnax.四、典例分析、举一反三题型一 比较函数增长的差异例1 函数f(x)=2x和g(x
4、)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1g(2 019)g(6)f(6).【解析】(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.(2)因为f(1)g(1),f(2)g(2),f(9)g(10),所以1x12,9x210,所以x16x2,从图象上可以看出,当x1xx2时,f(x)g(x),所以f(6)x2时,f(x)g(x),所以f(2 019)g(2 019).因为g(2 019)g(6),所以f(2 019)g(2 019)g(6)f(6).变式1.在本例(1)中,若将“函数f(x)=2x”改为“f(x)=3x”,又如何求
5、解第(1)题呢?【答案】C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=3x.【解析】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知:C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=3x.变式2.本例条件不变,(2)题改为:试结合图象,判断f(8),g(8),f(2 019),g(2 019)的大小.【答案】f(2 019)g(2 019)g(8)f(8).【解析】因为f(1)g(1),f(2)g(2),f(9)g(10),所以1x12,9x210,所以x18x2,从图象上可以看出,当x1xx2时,f(x)g(x),所以f(8)x2时,f(x)g(x),所以f(2 01
6、9)g(2 019).因为g(2 019)g(8),所以f(2 019)g(2 019)g(8)f(8).解题技巧：（由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法）根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.跟踪训练一1. 当a1时,有下列结论:指数函数y=ax,当a越大时,其函数值的增长越快;指数函数y=ax,当a越小时,其函数值的增长越快;对数函数y=logax,当a越大时,其函数值的增长越快;对数函数y=logax,当a越小时,其函数值的增长越快.其中正确的结论是()A. B
7、. C. D.【答案】B2.已知函数y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2xy2y3B.y2y1y3 C.y1y3y2D.y2y3y1【答案】B【解析】在同一平面直角坐标系中画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2y1y3.题型二 体会指数函数的增长速度例2 甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款给某灾区,捐款方式如下:甲公司:在10天内,每天捐款5万元给灾区;乙公司:在10天内,第1天捐款1万元,以后每天比前一天多捐款1万元;丙公司:在10天内,第1天捐款0.1万元,以后每天捐款都比前一天翻一番.你觉
8、得哪个公司捐款最多?【答案】丙公司捐款最多,为102.3万元. 【解析】三个公司在10天内捐款情况如下表所示.公司捐款数量/万元时间甲乙丙第1天510.1第2天520.2第3天530.4第4天540.8第5天551.6第6天563.2第7天576.4第8天5812.8第9天5925.6第10天51051.2总计5055102.3由上表可以看出,丙公司捐款最多,为102.3万元. 解题技巧：（指数函数的增长速度的实际应用）解答此类问题的关键是明确“指数爆炸”“对数增长”等函数增长差异,需注意幂函数的增长是介于两者之间的.跟踪训练二1.某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润
9、与投资的函数模型为y=k1x,B产品的利润与投资的函数模型为y=k2x(利润和投资的单位为百万元),其关系分别如图,图所示.(1)分别求出A,B两种产品的利润与投资的函数关系式;(2)该企业已筹集到资金1千万元,并准备全部投入到A,B两种产品的生产中,问怎样分配这1千万元,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少?(精确到万元)【答案】(1)A:y=12x(x0),B:y=54x(x0).(2)投资A产品844万元,投资B产品156万元时,总利润最大,最大值约为578万元.【解析】(1)A:y=k1x过点(1,0.5),k1=12.B:y=k2x过点(4,2.5),(9,3.75),k24=2
10、.5,k29=3.75.k2=54,=12.A:y=12x(x0),B:y=54x(x0).(2)设投资B产品x(百万元),则投资A产品(10-x)(百万元),总利润y=12(10-x)+54x=-12x-542+18532(0x10).所以当x=1.25,x=1.562 51.56时,ymax5.78.故投资A产品844万元,投资B产品156万元时,总利润最大,最大值约为578万元.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计4.4.3不同函数增长的差异1.三种函数模型的性质 例1 例2 2.三种函数的增长速度比较 故投资A产品844万元,投资B产品156万元时,总利润最大,最大值约为578万元.七、作业课本140页习题4.4本节课通过数形结合研究不同函数增长的差异,借助结论解决相关问题，侧重用实操，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养.