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1、第5讲 直线的倾斜角与斜率新课标要求在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。能根据斜率判定两条直线平行或垂直。知识梳理一、直线的倾斜角 定义当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角规定当直线l与x轴平行或重合时,规定直线l的倾斜角为0记法图示范围00.试判断四边形OPQR的形状.【分析】利用直线方程的系数关系,或两直线间的斜率关系,判断两直线的位置关系.【解答】由斜率公式得kOP=t-01-0=t,kRQ=2-(2+t)-2t
2、-(1-2t)=-t-1=t,kOR=2-0-2t-0=-1t,kPQ=2+t-t1-2t-1=2-2t=-1t.所以kOP=kRQ,kOR=kPQ,从而OPRQ,ORPQ.所以四边形OPQR为平行四边形.又kOPkOR=-1,所以OPOR,故四边形OPQR为矩形.【变式训练6-1】（湖南衡阳五中月考）已知在平行四边形ABCD中，.（1）求点D的坐标；（2）试判断平行四边形ABCD是否为菱形.【解析】(1)设D(a，b)，四边形ABCD为平行四边形，kABkCD，kADkBC，解得.D(1,6)(2)kAC1，kBD1，kACkBD1.ACBD.ABCD为菱形名师导练A组-应知应会1（淮安期中
3、）已知直线，则直线的倾斜角为ABCD【分析】根据题意，由直线的方程分析可得直线是与轴垂直的直线，据此可得答案【解答】解：根据题意，直线，是与轴垂直的直线，其倾斜角为；故选：2（广陵区校级期中）若直线经过坐标原点和，则它的倾斜角是ABC或D【分析】直接用两点式求直线斜率，然后求倾斜角【解答】解：由题可知，直线的斜率，设倾斜角为，则，故选：3（诸暨市校级期中）在平面直角坐标系中，一条直线的斜率等于，则此直线的倾斜角等于ABCD【分析】设此直线的倾斜角为，已知，可得【解答】解：设此直线的倾斜角为，故选：4（郑州期末）过两点，的直线的倾斜角为，则ABC5D6【分析】首先利用点斜式写出直线方程，然后将点
4、的坐标代入求值【解答】解：由题意知，直线的方程为：把代入，得故故选：5（银川一中高二月考）已知，过A(1,1)、B(1，3)两点的直线与过C(3，m)、D(n,2)两点的直线互相垂直，则点(m，n)有 ()A1个B2个C3个D无数个【答案】D【解析】由条件知过A(1,1)，B(1，3)两点的直线的斜率不存在，而ABCD，kCD0，即0，得m2，n3，点(m，n)有无数个6（沙坪坝区校级期末）过点，的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是ABCD或【分析】由直线的倾斜角的范围求出直线的斜率的范围，再由两点求斜率求出所在直线的斜率，得到关于的不等式，求解的范围，再由时直线的倾斜角为，符合题意，则
5、答案可求【解答】解：由直线的倾斜角的范围是，得直线的斜率存在时，有或又，或，解得或当直线的斜率不存在时，综上，实数的取值范围是故选：7（公安县期末）若直线经过，两点，则直线的倾斜角的取值范围是ABCD【分析】根据题意，由直线过两点的坐标可得直线的斜率，分析可得斜率的范围，结合直线的斜率与倾斜角的关系可得，又由倾斜角的范围，分析可得答案【解答】解：根据题意，直线经过，则直线的斜率，又由，则，则有，又由，则；故选：8（多选）（惠州期末）如图，直线，的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是ABCD【分析】根据直线的图象特征，结合查直线的斜率和倾斜角，得出结论【解答】解：如图，直线，的斜率分别为
6、，倾斜角分别为，则，故，且为钝角，故选：9（多选）（无锡期末）下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有A平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角B平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率C若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为D若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，得出结论轮【解答】解：平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，故正确；但由于和轴垂直的直线倾斜角等于，故它的斜率不存在，故错误；若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为不一定是，如时，此时，直线的倾斜角为若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，故正确，故选：10（多选）下列命题中正确的为(
7、)A.若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；B.若两直线平行，则它们的斜率相等；C.若两直线的斜率之积为，则它们垂直；D.若两直线垂直，则它们的斜率之积为.【答案】AC【解析】当直线斜率都存在且两直线不重合时,若，则；若，则，可知正确,当两条直线均与轴垂直时，两直线平行，但斜率不存在，可知错误,当两条直线一条与轴垂直，一条与轴垂直时，两直线垂直，但与轴垂直的直线斜率不存在，可知错误.11（资阳期末）若过点，的直线的倾斜角为，则【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率，直线的斜率公式，求得的值【解答】解：由题意可得，求得，故答案为：12（宜兴市月考）若直线的斜率为1，则直线的倾斜角为【分析】设直
8、线的倾斜角为，可得，然后求出的值【解答】解：设直线的倾斜角为，解得故答案为：13（北碚区校级期末）已知两点，直线经过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 【分析】由题意画出图形，分别求出，所在直线当斜率，数形结合得答案【解答】解：如图，直线经过点，若直线经过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是，故答案为：，14（闵行区期末）若直线的倾斜角的范围为，则的斜率的取值范围是 【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系、三角函数的单调性即可得出【解答】解：直线的倾斜角，则的斜率，故答案为：，15已知，点满足，且，则点的坐标为_【答案】【解析】设，则，解得：，即：16（金凤区校级期末）若三点，在同一直线上，则实
9、数等于 【分析】三点，在同一直线上，可得，利用斜率计算公式即可得出【解答】解：三点，在同一直线上，即，化为解得故答案为17（山东潍坊三中期中）判断下列各小题中的直线l1与l2的位置关系(1)l1的斜率为10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(2)l1过点A(3,4)，B(3,100)，l2过点M(10,40)，N(10,40)；(3)l1过点A(0,1)，B(1,0)，l2过点M(1,3)，N(2,0)；(4)l1过点A(3,2)，B(3,10)，l2过点M(5，2)，N(5,5)【解析】 (1)k110，k2，k1k21，l1l2.(2)l1的倾斜角为90，则l1x轴，k20，则l
10、2x轴，l1l2.(3)k11，k21，k1k2.又kAM2k1，l1l2.(4)l1与l2都与x轴垂直，l1l2.18（平遥县月考）已知直线过点，求直线的斜率和倾斜角的取值范围【分析】设直线的倾斜角为，根据斜率的计算公式分类讨论：和，倾斜角与斜率的关系求得直线的倾斜角的取值范围【解答】解：设直线的倾斜角为，由题意知，当时，直线的斜率不存在，此时；当时，直线的斜率，所以，综上得，直线的倾斜角的取值范围是，斜率的取值范围是19（全国课时练）已知，三点，若直线AB的倾斜角为，且直线，求点A，B，C的坐标【解析】，解得（舍去），点，解得，点.20（武城县校级月考）（1）求证：，三点共线（2）若三点共
11、线，求的值【分析】（1）求出直线的斜率，证明三点共线即可；（2）根据三点共线，得到关于的方程，解出即可【解答】（1）证明：，又直线与有公共点直线与直线为同一条直线即、设共线（2）解：题意得直线，的斜率都存在，三点共线，即 21（芜湖期末）已知点，（1）若，三点共线，求实数的值（2）若为直角三角形，求实数的值【分析】（1）由，三点共线，可得利用斜率计算公式即可得出（2），利用直线相互垂直与斜率之间的关系即可得出【解答】解：（1），三点共线，即，解得：（2），若，则，解得若，解得若，解得故，3，22（静宁县校级期末）已知，（1）求点的坐标，满足，（2）若点在轴上，且，求直线的倾斜角【分析】（1）设
12、，根据得出，然后由得出，解方程组即可求出的坐标（2）设由得出，解方程求出的坐标，然后即可得出结果【解答】解：设由已知得，又，可得 即由已知得，又，可得，即联立求解得，（2）设，又， 解得，又，轴故直线的倾斜角为23（孝感期末）已知，四点构成的四边形是平行四边形，求点的坐标【分析】由题意分类讨论，根据直线的斜率即可求出点的坐标【解答】解：由题，所以，设的坐标为，分以下三种情况：当为对角线时，有，所以，得，y=5. 当为对角线时，有，所以，得，当为对角线时，有，所以，得，所以的坐标为或或 B组-素养提升1（芜湖期末）已知直线方程为，和，分别为直线上和外的点，则方程，表示A过点且与垂直的直线B与重合
13、的直线C过点且与平行的直线D不过点，但与平行的直线【分析】利用点在直线上推出，判断与方程的关系，利用直线的平移，推出结论【解答】解：由题意直线方程为，则方程，两条直线平行，为直线上的点，化为，显然，满足方程，所以，表示过点且与平行的直线故选：2（全国月考）中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制大衍历中发明了一种二次不等距插值算法：若函数在，处的函数值分别为，则在区间，上可以用二次函数来近似代替：，其中，若令，请依据上述算法，估算的值是ABCD【分析】根据题意设，且，计算对应的、和的值，求出、和的值，代入题目中的二次函数计算即可【解答】解：设，且，则有，；所以，由，可得，故选：3（越城区校级期中）已知两点，且实数，求直线的倾斜角的取值范围【分析】分类讨论，当时，直线倾斜角；当时，直线的斜率为，再利用正切函数的单调性求出倾斜角的范围【解答】解：当时，直线倾斜角；当时，直线的斜率为，综合知，直线的倾斜角，