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1、7-6-2计数之整体法教学目标前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法,比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等,这里再集中学习一下计数中其他常见的方法,主要有归纳法、整体法、对应法、递推法对这些计数方法与技巧要做到灵活运用例题精讲解决计数问题时,有时要“化整为零”,使问题变得简单;有时反而要从整体上来考虑,从全局、从整体来研究问题,反而有利于发现其中的数量关系【例 1】 一个正方形的内部有1996个点,以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点,将它剪成一些三角形问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一
2、刀,那么共需剪多少刀?【考点】计数之整体法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 方法一：归纳法,如下图,采用归纳法,列出1个点、2个点、3个点时可剪出的三角形个数,需剪的刀数 不难看出,当正方形内部有n个点时,可以剪成2n2个三角形,需剪3n+l刀,现在内部有1996个点,所以可以剪成21996+2=3994个三角形,需剪31996+1=5989刀 方法二：整体法我们知道内部一个点贡献360度角,原正方形的四个顶点共贡献了360度角,所以当内部有n个点时,共有360n+360度角,而每个三角形的内角和为180度角,所以可剪成(360n+360)180=2n+2个三角形 2n+2个三角形共有3(
3、2n+2)=6n+6条边,但是其中有4条是原有的正方形的边,所以正方形内部的三角形边有6n+64=6n+2条边,又知道每条边被2个三角形共用,即每2条边是重合的,所以只用剪(6n+2)23n+1刀本题中n=1996,所以可剪成3994个三角形,需剪5989刀【答案】可剪成3994个三角形,需剪5989刀【巩固】在三角形内有100个点,以三角形的顶点和这100点为顶点,可把三角形剖分成多少个小三角形?【考点】计数之整体法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 整体法100个点每个点周围有360度,三角形本身内角和为180度,所以可以分成个小三角形【答案】个小三角形【例 2】 在一个六边形纸片内有个点,以这个点和六变形的个顶点为顶点的三角形,最多能剪出_个【考点】计数之整体法 【难度】4星 【题型】填空【解析】 设正六边形内有个点,当时有个三角形,每增加一个点,就增加个三角形,个点最多能剪出个三角形时,可剪出个三角形注：设最多能剪出个小三角形,则这些小三角形的内角和为换一个角度看,汇聚到正六边形六个顶点处各角之和为,故这些小三角形的内角总和为于是,解得【答案】个2