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1、7-8-2.几何计数（二）教学目标1.掌握计数常用方法;2.熟记一些计数公式及其推导方法;3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等,并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想知识要点一、几何计数在几何图形中,有许多有趣的计数问题,如计算线段的条数,满足某种条件的三角形的个数,若干个图分平面所成的区域数等等这类问题看起来似乎没有什么规律可循,但是通过认真分析,还是可以找到一些处理方法的常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等n条直线最多将平面分成 个部分;n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2;n个三角形将平面最多分
2、成3n(n-1)+2部分;n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分在其它计数问题中,也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解排列问题不仅与参加排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关;组合问题与各事物所在的先后顺序无关,只与这两个组合中的元素有关二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”）,那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+2+1条数角：数角与数线段相似,线段图形中的点类似于角图形中的边数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法）,因为DE上有
3、15条线段,每条线段的两端点与点A相连,可构成一个三角形,共有15个三角形,同样一边在BC上的三角形也有15个,所以图中共有30个三角形数长方形、平行四边形和正方形：一般的,对于任意长方形（平行四边形）,若其横边上共有n条线段,纵边上共有m条线段,则图中共有长方形（平行四边形）mn个例题精讲模块二、复杂的几何计数【例 1】 如下图在钉子板上有16个点,每相邻的两个点之间距离都相等,用绳子在上面围正方形,你可以得到 个正方形【考点】复杂的几何计数 【难度】4星 【题型】填空【关键词】学而思杯,2年级,第4题【解析】 先看横着的正方形如下图,可以得到个正方形,再看斜着的正方形如下图可以得到4个正方
4、形,如下图可以得到2个正方形这样一共可以得到个正方形 图形计数【答案】个【巩固】 如图,的方格纸上放了16枚棋子,以棋子为顶点的正方形有 个 【解析】 根据正方形的大小,分类数正方形共能组成五种大小不同的正方形(如右图)的正方形：9个;的正方形：4个;的正方形：1个;以正方形对角线为边长的正方形：4个;以长方形对角线为边长的正方形：2个故可以组成(个)正方形【巩固】 下图是33点阵,同一行(列)相邻两个点的距离均为1.以点阵中的三个点为顶点构成三角形,其中面积为1的形状不同的三角形有 种.【考点】复杂的几何计数 【难度】4星 【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,二试,第11题【解析】 在本题
5、中,三角形的面积是1,底和高只能一个是1,一个是2,可以有以下三种情况： 【答案】【例 2】 一块木板上有13枚钉子（如左下图）.用橡皮筋套住其中的几枚钉子,可以构成三角形,正方形,梯形,等等（如右下图）.请回答：可以构成多少个正方形?【考点】复杂的几何计数 【难度】4星 【题型】填空【关键词】华杯赛,初赛,试题,第2题【解析】 如下图所示,可以将正方形分为四类,分别有5个、1个、4个、1个,共11个.【答案】个【例 3】 在33的方格纸上（如图1）,用铅笔涂其中的5个方格,要求每横行和每竖行列被涂方格的个数都是奇数,如果两种涂法经过旋转后相同,则认为它们是相同类型的涂法,否则是不同类型的涂法
6、.例如图2和图3是相同类型的涂法.回答最多有多少种不同类型的涂法?说明理由.【考点】复杂的几何计数 【难度】3星 【题型】填空【关键词】华杯赛,决赛,第10题,10分【解析】 不同类型的涂法有3种,如下图A 说明：所涂5个阴影方格分布在3行中,只有一行涂有3个阴影方格同样,仅有一列涂有3个阴影方格所以,仅有一个方格,它所在的行和列均有3个阴影方格,有这种性质的方格称为“特征阴影方格”“特征阴影方格”在33正方格纸中的位置,就唯一地决定了33的方格纸的涂法“特征阴影方格”在方格纸的角上（图A左边）、外边中间的方格（图A中间）和中心的方格（图A右边）三个位置确定了只有3种类型的涂法【答案】种【例
7、4】 在下面的图中,包含苹果的正方形一共有 个【考点】复杂的几何计数 【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯,1年级,第4题【解析】 包含1个基本正方形的带苹果正方形有1个,包含4个基本正方形的带苹果正方形有4个,包含9个基本正方形的带苹果正方形有6个,包含16个基本正方形的带苹果正方形有2个,所以共有(个) 图形的计数方法之分类计数【答案】个【巩固】 图中,不含“A”的正方形有 个.【考点】复杂的几何计数 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯,4年级,1试【解析】 面积为1的有15个,面积为4的有7个,面积为3的有2个,共24个.【答案】【巩固】 图中,不含“A”的正方形有_个.
8、【考点】复杂的几何计数 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,二试,第10题【解析】 面积为1的有15个,面积为4的有5个,面积为9的没有,所以不含A的有20个.【答案】个【例 5】 在下图中,不包含的长方形有_个【考点】复杂的几何计数 【难度】3星 【题型】解答【关键词】学而思杯,4年级,第4题【解析】 根据乘法原理,所有长方形总数为(1+2+3+4+5+6)(1+2+3+4+5+6)=441(个),包含的长方形有3344=144(个),所以不包含的长方形有(个)【答案】个【例 6】 如图,其中同时包括两个的长方形有 个【考点】复杂的几何计数 【难度】3星 【题型】解答【解析】
9、 先找出同时包括两个的最小长方形,然后其余所有满足题目要求的长方形都必须包括该最小长方形根据乘法原理2223=24（种）不同的长方形【答案】个【例 7】 图中含有“”的长方形总共有_个【考点】复杂的几何计数 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据本题特点,可采用分类的方法计数按长方形的宽分类,数出含号的长方形的个数含有左上号的长方形有：个,其中,宽为1(即高度为一层)的含号的长方形为：6个;宽为2(即高度为两层)的含号的长方形为：6个;宽为3(即高度为三层)的含号的长方形为：6个;含有右上号的长方形有：个,其中,宽为1(即高度为一层)的含号的长方形为：6个;宽为2(即高度为两层)的含号的长方
10、形为：个;宽为3(即高度为三层)的含号的长方形为：6个;同时含有两个号的重复计算了,应减去,同时含有两个号的长方形有：个,其中,宽为2(即高度为两层)的含号的长方形为：4个;宽为3(即高度为三层)的含号的长方形为：4个; 所以,含有号的长方形总共有：个【答案】个【例 8】 在图中,包含的三角形一共有 个.【考点】复杂的几何计数 【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯,2年级,第5题【解析】 包含五角星的三角形中含一个基本三角形的有个;含四个基本三角形的有个;含个基本三角形的有个;含个基本三角形的有个.这样包含五角星的三角形一共有（个）.【答案】【例 9】 右图中有个正方形,个三角形,包含
11、的三角形有个【考点】复杂的几何计数 【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯,2年级,第7题【解析】 正方形：正着的方块有4个小的,1个大的,斜的方块有4个小的,1个大的;以正方形共有10个.三角形：小号的三角形有16个,其中有1个包含 中号的三角形有16个,其中有2个包含 大号的三角形有8个,其中有3个包含 特大号的三角形有4个,其中有2个包含 所以三角形有44个,包含的有8个【答案】正方形个,三角形个,包含的有8个【例 10】 下图是55的方格纸,小方格为边长1厘米的正方形,图中共有_个正方形,所有这些正方形的面积之和为_.【考点】复杂的几何计数 【难度】3星 【题型】填空【关键词】走
12、美杯,四年级,初赛,第14题【解析】 图中面积为1、4、9、16、25平方厘米的正方形分别有25、16、9、4、1个,共有55个小正方形,所有小正方形的面积和为259.【答案】个,面积和为【例 11】 由20个边长为1的小正方形拼成一个长方形中有一格有“”图中含有“”的所有长方形（含正方形）共有 个,它们的面积总和是 【考点】复杂的几何计数 【难度】3星 【题型】解答【关键词】走美杯,6年级,决赛,10题【解析】 根据鼠标法,左上角共有6个点,右下角有8个点,所以共有长方形有（个）面积总和为:【答案】长方形个,面积和为【例 12】 图中内部有阴影的正方形共有 个.【考点】复杂的几何计数 【难度
13、】3星 【题型】填空【关键词】希望杯,五年级,一试,第10题【解析】 面积为1的正方形有8个,面积为4的正方形有8个,面积为9的正方形有8个,面积为16的正方形有2个,共计26个.【答案】个【例 13】 在图中(单位：厘米)： 一共有几个长方形? 所有这些长方形面积的和是多少?【考点】简单的几何计数 【难度】3星 【题型】解答【解析】 一共有(个)长方形;所求的和是 (平方厘米)【答案】（1）,（2）【巩固】如图,其中的每条线段都是水平的或竖直的,边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4 厘米、6厘米、5厘米、1厘米求图中长方形的个数,以及所有长方形面积的和【考点】简单的几
14、何计数 【难度】3星 【题型】解答【解析】 利用长方形的计数公式：横边上共有条线段,纵边上共有条线段,则图中共有长方形（平行四边形）个,所以有（个）,这些长方形的面积和为：（5+7+9+2+12+16+11+21+18+23）（4+6+5+1+10+11+6+15+12+16）=12486=10664（平方厘米）【答案】长方形共有：,面积和为【例 14】 如图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形若干个那么,图中包含“”号的大、小正三角形一共有_个【考点】复杂的几何计数 【难度】2星 【题型】解答【解析】 分三类进行计数(设小正三角形边长为1)
15、包含*的三角形中,边长为1的正三角形有1个;边长为2的正三角形有4个;边长为3的正三角形有1个;因此,图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有(个)【答案】个【例 15】 图中共有多少个三角形?【考点】复杂的几何计数 【难度】3星 【题型】解答【解析】 显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类,两类中三角形的个数相等尖向上的三角形又可分为6类L（1）最大的三角形1个(即ABC),（2）第二大的三角形有3个（3）第三大的三角形有6个（4）第四大的三角形有10个（5）第五大的三角形有15个（6）最小的三角形有24个所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59（个）图中共有三角形259=11
16、8（个）【答案】个【例 16】 图3,由边长为1的小三角形拼成,其中边长为4的三角形有_个.【考点】复杂的几何计数 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯五年级一试第16题,5分)【解析】 1+2+3=6【答案】个【例 17】 右图是半个正方形,它被分成一个一个小的等腰直角三角形,图中,正方形有 个,三角形有 个.【考点】复杂的几何计数 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯,五年级,一试,第7题【解析】 正方形10个,角形18+15+4+4+1=42【答案】正方形个,三角形个【例 18】 如图,连接一个正六边形的各顶点问图中共有多少个等腰三角形(包括等边三角形)? 【考点】复杂的几何
17、计数 【难度】4星 【题型】解答【关键词】华杯赛【解析】 本题需要分类进行讨论先考虑其中的等边三角形图中,六边形的每1个顶点是某个小号等边三角形的顶点,而且,每个小号等边三角形,有且仅有一个顶点是六边形的一个顶点,既然六边形有6个顶点,所以图中有6个小号三角形;图中,六边形的每一条边是某个中号等边三角形的一条边,而且,每个中号等边三角形有且仅有一条边是六边形的一条边,既然六边形有6条边,所以图中有6个中号等边三角形;图中,大号等边三角形有2个;再考虑其中非等边的等腰三角形图中非等边的等腰三角形,按照面积大小分类有3种类型,见图 其中小号的等腰三角形有6个,因为这类三角形均以六边形的一条边为其边
18、长,并且,六边形的每一条边只唯一对应一个小号等腰三角形,而正六边形有6条边,所以有6个小号等腰三角形;中号的等腰三角形有12个,因为每个中号等腰三角形的长边都是六边形的一条非直径的弦,并且,以非直径的弦为长边的三角形有2个,如图,这样的弦共有6条,所以有12个中号等腰三角形;大号的等腰三角形有6个,因为每个大号等腰三角形的长边都是六边形的一条直径,每条直径上都对应有2个大号三角形,如图,共有3条直径,所以有6个大号等腰三角形那么图中共有个等腰三角形【答案】个【例 19】 图中有 个正方形,有 个三角形.【考点】复杂的几何计数 【难度】4星 【题型】解答【关键词】华杯赛,初赛,第14题【解析】
19、边线是水平或垂直方向的正方形共有(个),形如的正方形有4个,所以共有正方形(个) (如何保证没有其它的斜正方形了?如右图,擦去横线和竖线,只留下斜线,就一目了然了)此题也可以计算不同面积的正方形各有多少个,以面积大小数正方形,记最小的正方形面积为1;则面积为1的正方形的个数为36;面积为2的正方形的个数为4;面积为4的正方形的个数为25;面积为9的正方形的个数为16;面积为16的正方形的个数为9;面积为25的正方形的个数为4;面积为36的正方形的个数为1所以,共有(个)正方形第2问.方法1：以图中的最小的直角三角形为计数基本单位数三角形： 只有1个基本图形单位的三角形共72个;由2个基本图形单
20、位组成的三角形共37个;由4个基本图形单位组成的三角形共30个;由8个基本图形单位组成的三角形共4个;由9个基本图形单位组成的三角形共10个;由16个基本图形单位组成的三角形共2个;所以图中共有三角形72+37+30+4+10+2=155（个）. 方法2：依三角形的斜边的长度数三角形.（1）斜边和水平线成45度角的三角形,记这类三角形最小的斜边的长度为1：长度为3的斜边共有：5条;长度为4的斜边共有：1条.因为图中这类斜边每条带有2个三角形,所以共有 2（36+15+5+1）=114（个）.（2）斜边水平的三角形,从上向下：斜边在第一条线有2个;斜边在第二条线有4个;斜边在第三条线有4个;斜边
21、在第四条线有5个;斜边在第五条线有2个;斜边在第六条线有2个;斜边在第七条线有2个;所以这种类型的三角形共有21个.（3）斜边为垂直线的三角形,从左向右：斜边在第一条线有2个;斜边在第二条线有2个;斜边在第三条线有5个;斜边在第四条线有3个;斜边在第五条线有3个;斜边在第六条线有4个;斜边在第七条线有1个,所以这种类型的三角形共有20个.共有114+21+20=155（个）三角形.【答案】个正方形,个三角形【例 20】 将右图中的2007(即阴影部分)分成若干个12的小长方形,共有 种分法【考点】复杂的几何计数 【难度】5星 【题型】填空【关键词】迎春杯,五年级,初赛,15题【解析】 下图中用
22、斜线标出的部分是只存在唯一分法的部分,也就是说,实际上只需要考虑未用斜线连接的阴影部分,先把这些方框标记上字母,以便分析取为出发点,此时有2种分法：或者,应分别进行讨论：第一次划分,那么只能连,进而可以唯一划分出,这个时候,方块和方块又出现了2种划分方法,可以取点继续分析：首先划分,进而可以唯一划分出、,剩下由组成的正方形没有划分,易知这样一个正方形有2种划分方法,所以“-”有2种划分方法;然后划分,进而可以唯一划分出、,剩下由组成的的长方形,易知这样一个长方形有3种划分方法,所以“-”有3种划分方法;所以划分共有5种划分方法;第一次划分,那么可以唯一确定,下面的也出现一个 的正方形可以有2种划分方法,然后,可以唯一确定,方块又出现2种划分方法,与上面的分析类似,可知,划分有种划分方法;所以,一共有种划分方法【答案】种【例 21】 如右图是一个跳棋棋盘,请你算算棋盘上共有多少个棋孔?【考点】复杂的几何计数 【难度】3星 【题型】填空【关键词】华杯赛,初赛,试题,第3题【解析】 把棋盘分割成一个平行四边形和四个小三角形,如下图.平行四边形中棋孔数为9981,每个小三角形中有10个棋孔.所以棋孔的总数是81104121(个)【解析】 答：共有121个棋孔【答案】个棋孔10