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1、2012年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组A卷）一、填空题（每小题10分,共80分）1（10分）若将一个边长为 8 厘米的正方形盖在一个三角形上,则两个图形重叠部分的面积占三角形面积的一半,占正方形面积的四分之三那么这个三角形的面积是 平方厘米2（10分）如图是两个两位数的减法竖式,其中A,B,C,D代表不同的数字当被减数取最大值时,AB+（C+E）（D+F） 3（10分）某水池有A,B两个水龙头如果 A,B同时打开需要30分钟可将水池注满现在A和B同时打开10分钟,即将A关闭,由B继续注水40分钟,也可将水池注满如果单独打开B龙头注水,需要 分钟才可将水池注满4（10分）
2、将六个数1,3,5,7,9,11分别填入如图中的圆圈内（每个圆圈内仅填一个数）,使每边上三个数的和都等于17,则三角形点三个顶点处的圆圈内所填三数之和为 5（10分）四年级一班用班费购买单价分别为 3 元、2 元、1 元的甲、乙、丙三种文具已知购买乙种文具的件数比购买甲种文具的件数少 2 件,且购买甲种文具的费用不超过总费用的一半若购买的三种文具恰好共用了 66 元,那么甲种文具最多购买了 件6（10分）如图所示,一只蚂蚁从正方体的顶点A出发,沿正方棱爬到顶点B,要求行走的路线最短,那么蚂蚁有 种不同的走法7（10分）一个车队以4米/秒的速度缓慢通过一座长298米的大桥,共用115秒,已知每辆
3、车长6米,相临两车间隔20米,则这个车队一共有 辆车8（10分）有一个长方形,如果它的长和宽同时增加6厘米,则面积增加了114平方厘米,则这个长方形的周长等于 厘米二、简答题（每题15分,共60分,要求写出简要过程）9（15分）扑克牌的点数如图所示,最大时13,最小是1现小明手里有3张点数不同的扑克牌,第一张和第二张扑克牌点数和是25,第二张和第三张扑克牌点数和是13,问：第三张扑克牌的点数是多少?10（15分）如图是一个净化水装置,水流方向从A先流向B,再流到C原来容器AB之间有10个流量相同的管道,BC之间也有10个流量相同的管道现调换了AB与BC之间的一个管道后,流量每小时增加了40立方
4、米问：通过调整管道布局,从A到C的流量最大可增加多少立方米?11（15分）如图中的一个长方形纸板每个角都被切掉了一个小长方形（含正方形）,如果被切掉的小长方形的8对对边的长度分别是一个1,四个2,两个3和一个4,那么纸板剩下的部分的面积最大是多少?12（15分）有20张卡片,每张上写一个大于0的自然数,且任意9张上写的自然数的和都不大于63如果写有大于7的自然数的卡片为“龙卡”,问：这20张卡片中“龙卡”最大有多少张?所有“龙卡”上写的自然数的和的最大值是多少?2012年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组A卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分,共80分）1（10分）
5、若将一个边长为 8 厘米的正方形盖在一个三角形上,则两个图形重叠部分的面积占三角形面积的一半,占正方形面积的四分之三那么这个三角形的面积是96平方厘米【分析】根据正方形的面积公式Saa求出正方形的面积,再根据“占正方形面积的三分之二,”求出两个图形重叠部分的面积,进而求出三角形面积【解答】解：88,482,96（平方厘米）,答：这个三角形的面积是96平方厘米;故答案为：962（10分）如图是两个两位数的减法竖式,其中A,B,C,D代表不同的数字当被减数取最大值时,AB+（C+E）（D+F）144【分析】根据题干分析可得,A,B,C,D代表不同的数字当被减数取最大值可以是98,则此题属于不借位减
6、法,则F+DB8,C+EA9,据此即可解答问题【解答】解：A,B,C,D代表不同的数字当被减数取最大值可以是98,所以C、D都是小于8的数,则F+DB8,C+EA9,所以AB+（C+E）（D+F）98+9872+72144,故答案为：1443（10分）某水池有A,B两个水龙头如果 A,B同时打开需要30分钟可将水池注满现在A和B同时打开10分钟,即将A关闭,由B继续注水40分钟,也可将水池注满如果单独打开B龙头注水,需要60分钟才可将水池注满【分析】我们把水池的容量看作单位“1”,先求出B水管的工作效率,然后用单位“1”除以B的工作效率就是单独打开B龙头注水,需要的时间【解答】解：1（1）40
7、,1,60（分钟）;答：单独打开B龙头注水,需要60分钟才可将水池注满故答案为：604（10分）将六个数1,3,5,7,9,11分别填入如图中的圆圈内（每个圆圈内仅填一个数）,使每边上三个数的和都等于17,则三角形点三个顶点处的圆圈内所填三数之和为15【分析】根据题意,设三角形点三个顶点处的圆圈内所填三数分别是A、B、C;每个边上的数加起来就是1+3+5+7+9+11+A+B+C173,然后再进一步解答即可【解答】解：设三角形点三个顶点处的圆圈内所填三数分别是A、B、C;由题意可得：1+3+5+7+9+11+A+B+C173, 36+A+B+C51, A+B+C151+3+1115,3+5+7
8、15,1+5+915;又因为：1+9+717,9+3+517,1+11+517;所以,三角形点三个顶点处的圆圈内所填三数分别是1、9、5;那么,1与9中间的数是7,9与5之间的数是3,1与5中间的数是11;由以上可得：所以,三角形点三个顶点处的圆圈内所填三数之和为15故答案为：155（10分）四年级一班用班费购买单价分别为 3 元、2 元、1 元的甲、乙、丙三种文具已知购买乙种文具的件数比购买甲种文具的件数少 2 件,且购买甲种文具的费用不超过总费用的一半若购买的三种文具恰好共用了 66 元,那么甲种文具最多购买了11件【分析】设购买甲文具为x元,则乙为（x2）元,由于甲、乙、丙三种文具恰好用
9、了66元钱,则买甲、乙两种文具的钱66,再根据购买甲文具的费用不超过总费用的一半,列不等式解答【解答】9解：设买甲种文具数量为x,丙种文具数量为y,则乙种文具数量为（x2）,则3x+2（x2）+y66,即y705x,又3x,解得x11,所以甲文具最多购买11件,答：甲种文具最多购买了11件故答案为：116（10分）如图所示,一只蚂蚁从正方体的顶点A出发,沿正方棱爬到顶点B,要求行走的路线最短,那么蚂蚁有6种不同的走法【分析】本题可以这样想：因为A点是相邻的三个正方形的面的交点,经过这三个面各有一条最短路线,这样有3种选择,接下来再从其中一个面到B个面又有相邻的两个面可供选择,所以根据乘法原理,
10、可得共有：326种不同的走法;据此解答【解答】解：根据分析可得,共有：326（种）,答：蚂蚁有6种不同的走法故答案为：67（10分）一个车队以4米/秒的速度缓慢通过一座长298米的大桥,共用115秒,已知每辆车长6米,相临两车间隔20米,则这个车队一共有7辆车【分析】车队过桥所经过的路程是车队长加桥长,车队长：1154298162（米）,车的间隔数是：（1626）（20+6）6个,则这个车队一共有：6+17辆车;据此解答【解答】解：根据分析可得,车队长：1154298162（米）,车的间隔数是：（1626）（20+6）6（个）,车一共有：6+17（辆）;答：这个车队一共有7辆故答案为：78（1
11、0分）有一个长方形,如果它的长和宽同时增加6厘米,则面积增加了114平方厘米,则这个长方形的周长等于26厘米【分析】如下图：由于原来长方形的长6+原来长方形的宽6+66114平方厘米,根据乘法分配律可求原来长方形的长+宽,从而求得原来长方形的周长【解答】解：（11466）62,（11436）62,7862,132,26（厘米）,答：这个长方形的周长是26厘米故答案为：26二、简答题（每题15分,共60分,要求写出简要过程）9（15分）扑克牌的点数如图所示,最大时13,最小是1现小明手里有3张点数不同的扑克牌,第一张和第二张扑克牌点数和是25,第二张和第三张扑克牌点数和是13,问：第三张扑克牌的
12、点数是多少?【分析】由于最大时13,最小是1,又第一张和第二张扑克牌点数和是25,2513+12,即第一张与第二张点数一定分别是12或13又第二张和第三张扑克牌点数和是13,由于最小是1,则第二张一定是13112,则第三张是1【解答】解：由于最大时13,最小是1,2513+12,即第一张与第二张点数一定分别是12或13又第二张和第三张扑克牌点数和是13,所以第二张一定是13112,则第三张是110（15分）如图是一个净化水装置,水流方向从A先流向B,再流到C原来容器AB之间有10个流量相同的管道,BC之间也有10个流量相同的管道现调换了AB与BC之间的一个管道后,流量每小时增加了40立方米问：
13、通过调整管道布局,从A到C的流量最大可增加多少立方米?【分析】由于调换了AB与BC之间的一个管道后,流量每小时增加了40立方米可得：AB和BC之间的管道不一样,应该是其中的一组管道比另一组管道流量大,且调换一个管道流量每小时就增加40立方米,因为流量较大的一组共有10个管道,那么调换5组管道应该是增加流量最大,据此依据最大增加流量调换管道数一组管道增加流量即可解答【解答】解：40（102）,405,200（立方米）,答：通过调整管道布局,从A到C的流量最大可增加200立方米11（15分）如图中的一个长方形纸板每个角都被切掉了一个小长方形（含正方形）,如果被切掉的小长方形的8对对边的长度分别是一
14、个1,四个2,两个3和一个4,那么纸板剩下的部分的面积最大是多少?【分析】原来长方形纸板的面积是：1211132,为定值,要使纸板剩下的部分的面积最大,则必须使切掉的四个小长方形的面积之和最小,显然应该用1和4配对,然后用两个2 和两个3分别配对,最后是两个2配对,被切掉的4个小长方形的面积分别是：4、6、6、4,这时切掉的四个小长方形的面积之和最小,于是即可求出纸板剩下的最大面积【解答】解：据分析可知：切掉的四个小长方形的面积分别为：144,224,236,236,原来纸板的面积：1211132,切掉的四个小长方形的面积之和：4+4+6+620,纸板剩下的最大面积：13220112;答：纸板
15、剩下的部分的面积最大11212（15分）有20张卡片,每张上写一个大于0的自然数,且任意9张上写的自然数的和都不大于63如果写有大于7的自然数的卡片为“龙卡”,问：这20张卡片中“龙卡”最大有多少张?所有“龙卡”上写的自然数的和的最大值是多少?【分析】由于“龙卡”上写的数最小是8,886463,所以8张,所以最多有7张;设7张“龙卡”上写的自然数的和是S,如果再去两张小于8的卡片,就组成9张,当这两张的和最小时,S的值最大,又因为每张上写一个大于0的自然数,最小是1,所以当这两张都是1时,它们的和最小,即是2,又因为任意9张上写的自然数的和都不大于63,即最大为63,所以S的值最大是：63261;据此解答【解答】解：由于“龙卡”上写的数最小是8,886463,所以8张,不合要求,所以最多有7张;其余的13张都是小于8的卡片;设7张“龙卡”上写的自然数的和是S,如果再去两张小于8的卡片,就组成9张,当这两张的和最小时,S的值最大,又因为每张上写一个大于0的自然数,最小是1,所以当这两张都是1时,它们的和最小,即是2,又因为,任意9张上写的自然数的和都不大于63,即最大为63,所以S的值最大是：63261;答：这20张卡片中“龙卡”最大有7张,所有“龙卡”上写的自然数的和的最大值是6112