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1、【解析版】专题4.6利用相似三角形测高姓名:_ 班级:_ 得分:_注意事项:本试卷满分100分,试题共24题答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1(2020宛城区一模)如图,顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“”(作业本中的横格线都平行,且相邻两条横格线间的距离都相等),A、B、C、D、O都在横格线上,且线段AD、BC交于点O若线段AB4cm,则线段CD长为()A4cmB5cmC6cmD8cm【分析】过点O作OEAB于点E,OFCD于点F
2、,则由相似三角形(AOBDOC),根据平行线分线段成比例可得,代入计算即可解答【解析】如图,过点O作OEAB于点E,OFCD于点F,则OE、OF分别是AOB、DOC的高线,练习本中的横格线都平行,AOBDOC,即,CD6cm故选:C2(2020新宾县四模)如图,有一块直角边AB4cm,BC3cm的RtABC的铁片,现要把它加工成一个正方形(加工中的损耗忽略不计),则正方形的边长为()ABCD【分析】过点B作BPAC,垂足为P,BP交DE于Q,三角形的面积公式求出BP的长度,由相似三角形的判定定理得出BDEBAC,设边长DEx,根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得【解析】如图,过点B作B
3、PAC,垂足为P,BP交DE于QSABCABBCACBP,BPDEAC,BDEA,BEDC,BDEBAC,设DEx,则有:,解得x,故选:D3(2020天水)如图所示,某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度,已知标杆BE高1.5m,测得AB1.2m,BC12.8m,则建筑物CD的高是()A17.5mB17mC16.5mD18m【分析】根据题意和图形,利用三角形相似,可以计算出CD的长,从而可以解答本题【解析】EBAC,DCAC,EBDC,ABEACD,BE1.5m,AB1.2m,BC12.8m,ACAB+BC14m,解得,DC17.5,即建筑物CD的高是17.5m,故选:A4(2019秋
4、南岸区期末)如图,在一块斜边长60cm的直角三角形木板(RtACB)上截取一个正方形CDEF,点D在边BC上,点E在斜边AB上,点F在边AC上,若CD:CB1:3,则这块木板截取正方形CDEF后,剩余部分的面积为()A202.5cm2B320cm2C400cm2D405cm2【分析】设AFx,根据正方形的性质用x表示出EF、CF,证明AEFABC,根据相似三角形的性质求出BC,根据勾股定理列式求出x,根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可【解析】四边形CDEF为正方形,EFBC,AEFABC,CD:CB1:3,设AFx,则AC3x,EFCF2x,BC6x,在RtABC中,AB2AC2+
5、BC2,即602(3x)2+(6x)2,解得,x4,AC12,BC24,剩余部分的面积241288400(cm2),故选:C5(2019秋鹿城区校级月考)如图,AB和CD表示两根直立于地面的柱子,AC和BD表示起固定作用的两根钢筋,AC与BD相交于点M,已知AB8m,CD12m,则点M离地面的高度MH为()A4 mBmC5mDm【分析】根据已知易得ABMDCM,可得对应高BH与HD之比,易得MHAB,可得MDHADB,利用对应边成比例可得比例式,把相关数值代入求解即可【解析】ABCD,ABMDCM,(相似三角形对应高的比等于相似比),MHAB,MCHACB,解得MH故选:B6(2018秋嘉兴期
6、末)如图,有一块三角形余料ABC,BC120mm,高线AD80mm,要把它加工成一个矩形零件,使矩形的一边在BC上,点P,M分别在AB,AC上,若满足PM:PQ3:2,则PM的长为()A60mmBmmC20mmDmm【分析】利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题【解析】如图,设AD交PN于点KPM:PQ3:2,可以假设MP3k,PQ2k四边形PQNM是矩形,PMBC,APMABC,ADBC,BCPM,ADPM,解得k20mm,PM3k60mm,故选:A7(2019秋永春县期中)我国古代数学著作中记载了一个问题:“今有邑方不知大小,各开中门,出北门四十步有木,出西门八百一十步见木,问:邑方几何
7、?”其大意是:一座正方形城池,西、北边正中各开一道门,从北门往正北方向走40步后刚好有一树木,若从西门往正西方向走810步后正好看到树木,则正方形城池的边长为()步A360B270C180D90【分析】设正方形城池的边长为x步,则AECEx,证明RtBEARtEDC,利用相似比得到,然后利用比例性质求出x即可【解析】如图,设正方形城池的边长为x步,则AECEx,AECD,BEAEDC,RtBEARtEDC,即,x360,即正方形城池的边长为360步故选:A8(2020成都模拟)如图是用卡钳测量容器内径的示意图,现量得卡钳上A,D两个端点之间的距离为10m,则容器的内径是()A5cmB10cmC
8、15cmD20cm【分析】首先连接AD、BC,然后判定AODBOC,根据相似三角形的性质可得,进而可得答案【解析】连接AD、BC,AODBOC,AODBOC,A,D两个端点之间的距离为10m,BC15m,故选:C9(2020春武邑县校级月考)如图,某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺,站在距电线杆25m的地方,手臂向前伸直,将刻度尺竖直,看到刻度尺上14cm的长度恰好遮住电线杆已知臂长为70cm,则电线杆的高是()A5mB6mC125mD4m【分析】先求出ABCAEF,再根据三角形对应高的比等于对应边的比,这样就可以求出电线杆EF的高【解析】作ANEF于N,交BC于M,BCEF,AMBC于M,AB
9、CAEF,AM0.7m,AN25m,BC0.14m,EF5(m)故选:A10(2019毕节市)如图,在一块斜边长30cm的直角三角形木板(RtACB)上截取一个正方形CDEF,点D在边BC上,点E在斜边AB上,点F在边AC上,若AF:AC1:3,则这块木板截取正方形CDEF后,剩余部分的面积为()A100cm2B150cm2C170cm2D200cm2【分析】设AFx,根据正方形的性质用x表示出EF、CF,证明AEFABC,根据相似三角形的性质求出BC,根据勾股定理列式求出x,根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可【解析】设AFx,则AC3x,四边形CDEF为正方形,EFCF2x,EF
10、BC,AEFABC,BC6x,在RtABC中,AB2AC2+BC2,即302(3x)2+(6x)2,解得,x2,AC6,BC12,剩余部分的面积12644100(cm2),故选:A二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)请把答案直接填写在横线上11(2017秋嘉兴期末)某公司门口的栏杆如图,AB1.2m,BC15m要使栏杆C端从栏杆水平位置上升到垂直距离(CE)5m处,栏杆A应下降的垂直距离(AD)为0.4m【分析】证明BADBCE,然后利用相似比计算AD的长【解析】ADCE,BADBCE,AD:CEBA:BC,即AD:51.2:15,解得AD0.4(m)故答案为0.412(2020
11、衡阳模拟)如图,在一块斜边长30cm的直角三角形木板(RtACB)上截取一个正方形CDEF,点D在边BC上,点E在斜边AB上,点F在边AC上,若AF:AC1:3,则这块木板截取正方形CDEF后,剩余部分的面积为100cm2【分析】设AFx,根据正方形的性质用x表示出EF、CF,证明AEFABC,根据相似三角形的性质求出BC,根据勾股定理列式求出x,根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可【解析】设AFx,则AC3x,四边形CDEF为正方形,EFCF2x,EFBC,AEFABC,BC6x,在RtABC中,AB2AC2+BC2,即302(3x)2+(6x)2,解得,x2,AC6,BC12,剩
12、余部分的面积12644100(cm2),故答案为:100cm213(2020晋安区一模)如图,利用镜子M的反射(入射角等于反射角),来测量旗杆CD的长度,在镜子上作一个标记,观测者AB看着镜子来回移动,直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记相重合,若观测者AB的身高为1.6m,量得BM:DM2:11,则旗杆的高度为8.8m【分析】根据题意抽象出相似三角形,然后利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可【解析】根据题意得:ABMCDM,AB:CDBM:DM,AB1.6m,BM:DM2:11,1.6:CD2:11,解得:CD8.8m,故答案为:8.814(2019秋山西期末)太原市某学校门口的
13、栏杆如图所示,栏杆从水平位置AB绕定点O旋转到DC位置,已知栏杆AB的长为3.5m,OA的长为3m,C点到AB的距离为0.3m支柱OE的高为0.5m,则栏杆D端离地面的距离为2.3m【分析】过D作DGAB于G,过C作CHAB于H,则DGCH,根据相似三角形的性质即可得到结论【解析】过D作DGAB于G,过C作CHAB于H,则DGCH,ODGOCH,栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC,CDAB3.5m,ODOA3m,CH0.3m,OC0.5m,DG1.8m,OE0.5m,栏杆D端离地面的距离为1.8+0.52.3m故答案是:2.3m15(2019秋西城区期末)在“测量学校教学楼的高度”的数
14、学活动中,小刚同学使用镜面反射法进行测量,如图所示若a11米,a210米,h1.5米,则这个学校教学楼的高度为15米【分析】直接利用相似三角形的判定与性质进而得出教学楼的高度【解析】由镜面反射原理可得,12,ACBADE,故,则,解得:ED15(m),即这个学校教学楼的高度为15米故答案为:1516(2020春沙坪坝区校级期末)我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现,对岸我方领土上有Y国军队在活动,为了估算其与我军距离,侦察员手臂向前伸,将食指竖直,通过前后移动,使食指恰好将对岸我方树立的旗杆遮住,如图所示若此时眼睛到食指距离l约为63cm,食指AB长约为7cm,旗杆CD高度为28米,则对方与我军
15、距离d约为252米【分析】将实际问题转化为三角形相似问题求解进而得出答案【解析】63cm0.63m,AB7cm0.07m,ABCD,ABOCDO,即,d252(m),故答案为:25217(2020上海)九章算术中记载了一种测量井深的方法如图所示,在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD,从木杆的顶端D观察井水水岸C,视线DC与井口的直径AB交于点E,如果测得AB1.6米,BD1米,BE0.2米,那么AC为7米【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论【解析】BDAB,ACAB,BDAC,ACEBDE,AC7(米),故答案为:718(2020温州)如图,在河对岸有一矩形场地ABCD,为了估测
16、场地大小,在笔直的河岸l上依次取点E,F,N,使AEl,BFl,点N,A,B在同一直线上在F点观测A点后,沿FN方向走到M点,观测C点发现12测得EF15米,FM2米,MN8米,ANE45,则场地的边AB为15米,BC为20米【分析】根据已知条件得到ANE和BNF是等腰直角三角形,求得AEEN15+2+825(米),BFFN2+810(米),于是得到ABANBN15(米);过C作CHl于H,过B作PQl交AE于P,交CH于Q,根据矩形的性质得到PEBFQH10,PBEF15,BQFH,根据相似三角形的性质即可得到结论【解析】AEl,BFl,ANE45,ANE和BNF是等腰直角三角形,AEEN,
17、BFFN,EF15米,FM2米,MN8米,AEEN15+2+825(米),BFFN2+810(米),AN25,BN10,ABANBN15(米);过C作CHl于H,过B作PQl交AE于P,交CH于Q,AECH,四边形PEHQ和四边形PEFB是矩形,PEBFQH10,PBEF15,BQFH,12,AEFCHM90,AEFCHM,设MH3x,CH5x,CQ5x10,BQFH3x+2,APBABCCQB90,ABP+PABABP+CBQ90,PABCBQ,APBBQC,x6,BQCQ20,BC20,故答案为:15,20三、解答题(本大题共6小题,共46分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19(
18、2020雁塔区校级模拟)九章算术是中国传统数学最重要的著作,在“勾股”章中有这样一个问题:“今有邑方二百步,各中开门,出东门十五步有木,问:出南门几步而见木?”用今天的话说,大意是:如图,DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城,东门H位于GD的中点,南门K位于ED的中点,出东门15步的A处有一树木,求出南门多少步恰好看一到位于A处的树木(即点D在直线AC上)【分析】证明CDKDAH,利用相似三角形的性质得,然后利用比例性质可求出CK的长【解析】DH100,DK100,AH15,AHDK,CDKA,而CKDAHD,CDKDAH,即,CK答:出南门步恰好看一到位于A处的
19、树木20(2020春莱州市期末)如图,小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上已知纸板的两条直角边DE40cm,EF30cm,测得AM10m,边DF离地面的高度DM1.5m,求树高AB【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB【解析】DEFBCD90,DD,DEFDCB,DE40cm0.4m,EF30cm0.3m,AC1.5m,CD10m,BC7.5米,ABAC+BC1.5+7.59米,树高为9米21(2020山西一模)“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树A
20、B的高度,因大树底部有障碍物,无法直接测量到大树底部的距离聪明的小颖借鉴海岛算经的测量方法设计出如图所示的测量方案:测量者站在点F处,将镜子放在点M处时,刚好看到大树的顶端,沿大树方向向前走2.8米,到达点D处,将镜子放在点N处时,刚好看到大树的顶端(点F,M,D,N,B在同一条直线上)若测得FM1.5米,DN1.1米,测量者眼睛到地面的距离为1.6米,求大树AB的高度【分析】设NB的长为x米,则MBx+1.1+2.81.5(x+2.4)米通过CNDANB和EMFAMB的性质求得x的值,然后结合求得大树的高【解析】设NB的长为x米,则MBx+1.1+2.81.5(x+2.4)米由题意,得CND
21、ANB,CDNABN90,CNDANB,同理,EMFAMB,EFCD,即解得x6.6,解得AB9.6答:大树AB的高度为9.6米22(2019春西湖区校级月考)如图,一位同学通过调整自己的位置,设法使三角板的斜边保持水平,并且边DE与点B在同一直线上,已知两条边DE0.4m,EF0.2m,测得边DF离地面AC1.5m,CD8m,求树高【分析】利用RtDEF和RtBCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB【解析】DEFDCB90,DD,DEFDCB,DE0.4m,EF0.2m,CD8m,CB4(m),ABAC+BC1.5+45.5(米)答:树高为5.5米23(2019秋绥德县期末
22、)如图,某数学兴趣小组的同学利用标杆测量旗杆(AB)的高度:将一根3米高的标杆(CD)竖直放在某一位置,有一名同学站在F处与标杆底端(D)、旗杆底端(B)成一条直线,此时他看到标杆顶端C与旗杆顶端A重合,另外一名同学测得站立(EF)的同学离标杆(CD)3米,离旗杆(AB)30米如果站立(EF)的同学的眼睛距地面1.6米,过点E作EHAB于点H,交CD于点G(EFAB,CDAB,EHFB),求旗杆AB的高度【分析】过点E作EHAB于点H,交CD于点G得出EGCEHA,进而求出AH的长,进而求出AB的长【解析】过点E作EHAB于点H,交CD于点G由题意可得,四边形EFDG、GDHB都是矩形,ABC
23、DEFECGEAH由题意可得:EGFD3m,EHBF30m,CGCDGDCDEF31.61.4(m),AH14(米),ABAH+HB14+1.615.6(米)答:旗杆的高度为15.6米24(2012茂南区校级一模)在RtABC中,C90,AC20cm,BC15cm现有动点P从点A出发,沿AC向点C方向运动,动点Q从点C出发,沿线段CB也向点B方向运动如果点P的速度是4cm/秒,点Q的速度是2cm/秒,它们同时出发,当有一点到达所在线段的端点时,就停止运动,设运动的时间为t秒求:(1)用含t的代数式表示RtCPQ的面积S;(2)当t3时,P、Q两点之间的距离是多少?(3)当t为多少时,以点C、P
24、、Q为顶点的三角形与ABC相似?【分析】(1)由点P,点Q的运动速度和运动时间,又知AC,BC的长,可将CP、CQ用含t的表达式求出,代入直角三角形面积公式SCPQCPCQ求解;(2)在RtCPQ中,由(1)可知CP、CQ的长,运用勾股定理可将PQ的长求出;(3)应分两种情况,当RtCPQRtCAB时,根据,可将时间t求出;当RtCPQRtCBA时,根据,可求出时间t【解析】(1)由题意得AP4t,CQ2t,则CP204t,因此RtCPQ的面积为Scm2;(2)当t3时,CP204t8cm,CQ2t6cm,由勾股定理得PQ;(3)分两种情况:当RtCPQRtCAB时,即,解得t3;当RtCPQRtCBA时,即,解得t因此t3或t时,以点C、P、Q为顶点的三角形与ABC相似22