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1、精选学习资料-优秀学习资料欢迎下载十年全国高中数学联赛试题一试解析几何圆锥曲线部分一、挑选题2000、已知点A为双曲线x2y2=1 的左顶点,点B和点C在双曲线的右分支上,x2ABC是等边三角形,就ABC的面积是【答】（）A3B 3323C 33D 63y21,答案：C；解析：如下列图,设 BD=t,就 OD=3t-1,从而 B（3t-1,t）满意方程可以得到 t=3,所以等边三角形,ABC的面积是3 3.222002直线x4+y3=1 与椭圆x16+y9=1 相交于A、B两点,该椭圆上点样的点P共有P,使得 PAB面积等于 3这A1 个B2 个C3 个D4 个解：直线与椭圆的交线长=5直线方
2、程3x+4y12=0设点P4cos ,3sin 点P与直线的距离12|cos +sin 1|d=5,当 0 2时,d12 5 21,SABC6213 即此时没有三角形面积=3；当2 2 时,d1252+1,SABC62+1 即此时有 2 个三角形面积=3选B2003.2 设a bR ab0,那么直线axyb0和曲线2bx2ayab的图形是【答】（-精选学习资料-题设方程可化为yaxb和x2优秀学习资料欢迎下载y21,观看图形可知；ab名师归纳总结2003.3 过抛物线2y8 x2的焦点 F 作倾斜角为60的直线.如此直线与抛物线交于A,B第 2 页,共 10 页两点,弦 AB的中垂线与x轴交于
3、 P 点,就线段 PF 的长等于【答】（）（A）163B8C163D8 333易知直线 AB的方程为y3,因此 A,B 两点的横坐标满意方程3x28x160,从而弦 AB中点的横坐标为x04,纵坐标y04,进而求得中垂线方程之后,令y=0,得点 P 的横坐33标即 PF=16；32004、已知 M=x,y|x22y23,N=x,y|ymxb,如对于全部的mR,均有MN,就b的取值范畴是A6,6B；（6,6）C；（233,233）D；233,2332222答：解：MN相 当 于 点（0,b）在 椭 圆2x22y3上 或 它 的 内 部2b21,6b6；应选 A；3222005.方程sin 2x2
4、sin3cos22ycos 31表示的曲线是A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线解：23,022322,cos22 cos32,即sin2sin.3又022,23,cos20,cos30,cos2cos 30,方 程 表-精选学习资料-优秀学习资料欢迎下载示的曲线是椭圆；2323sin 2sin3 cos2cos 3 22 sin sin 22423232333230,sin,0,.222224424sin23,0 式 0.24即sin 2sin3cos 2cos 3.曲线表示焦点在y轴上的椭圆,选C；2007.设圆O1和圆O2是两个定圆
5、,动圆P与这两个定圆都相切,就圆P的圆心轨迹不行能是（）解：设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2,|O1O2|=2c,就一般地,圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2,且离心率分别是r12 c和|r12 c|的圆锥曲线（当r1=r2时,O1O2的中垂线是轨迹的一部份,r2r2当c=0 时,轨迹是两个同心圆）；当r1=r2且r1+r22c时,圆P的圆心轨迹如选项B；当 02c|r1-r2|时,圆P的圆心轨迹如选项C；当r1r2且r1+r2 b 0）上任意两点P,Q,如OP OQ,就乘积OP OQ的最小a2b2值为 _三、解答题222000、已知C0:x2+y2=1 和C1:x2y21 ab0；试问：
6、当且仅当a,b满意什么条件时,ab对C1上任意一点P,均存在以P为项点,与C0外切,与C1内接的平行四边形？并证明你的结论；答案：所求条件为12+12=1.ab证明：必要性：易知,圆外切平行四边形肯定是菱形,圆心即菱形中心.假设论成立,就对点 a,0,有 a,0 为项点的菱形与C1内接,与 Co外切.a,0 的相对顶点为 -a,0,由于菱形的对角线相互垂直平分,另外两个顶点必在y 轴上,为0,b和0,-b.菱形一条边的方程为x+y=1,即 bx+ay=ab.由于菱形与CO外切,ab故必有a2abb2=1,整理得a12+b12=1.必要性得证.充分性:设1+1=1,P 是 C1上任意一点,过 P
7、、O作 C1的弦 PR,再过 O作与 PR垂直的弦 QS,a2b2就 PQRS为与 C1内接菱形.设 OP=r1,OQ=r2,就点 O的坐标为 r1cos,r1sin,点 Q的坐标为 r2cos+2,r2sin+2,代入椭圆方程,得-精选学习资料-r1cos2+r1sin2=1,r2优秀学习资料+r欢迎下载22=1,cos2222sina2b2ab2于是,12+12=11=cos2sin22cos22+sin2222+OPOQ2R1R22a2ba2b=1+1=1.a2b21=h1OP2+1=1,故得 h=1又在 Rt POQ中,设点 O到 PQ的距离为 h,就OQ同理,点 O到 QR,RS,S
8、P的距离也为1,故菱形 PQRS与 C0外切.充分性得证.注 对于给出a2b2a2b2,aabb2=1 等条件者,应同样给分.22002已知点A0,2 和抛物线y2=x4 上两点B,C,使得ABBC,求点C的纵坐标的取值范畴解：设By0 24,y0,Cy1 24,y1 就kAB=y02y042=y0+2kBC=y1y0y1y20=y1+y01由kABkBC=1,得 y1+y0y0+2=1名师归纳总结-第 6 页,共 10 页精选学习资料-y02+y1+2y0+2y1+1=0优秀学习资料欢迎下载=y1+2242y1+1=y1 24y10,y10,y1 4当y1=0 时,得B 3,1,当y1=4
9、时,得B5,3 均满意要求,故点C的纵坐标的取值范畴是 ,0 4,+2005.过抛物线yx2上的一点 A（1,1）作抛物线的切线,分别交x轴于 D,交y轴于 B.点 C在抛物线上,点E 在线段AC 上,满意AE1;点 F 在线段BC 上,满意BF2,且ECFC121,线段 CD与 EF 交于点 P.当点 C在抛物线上移动时,求点P 的轨迹方程.解 一：过 抛 物 线 上 点 A 的 切 线 斜 率 为：y2 x|x12,切 线AB 的 方 程 为1y2 x 1.B、D的坐标为B 0,1,D ,0,D是线段 AB的中点.5 分2设P x,y、C x0 x02、E x1y1、F x2y2,就由AE
10、1知,EC22x111x0,y111x0;BE2,得x22x0,y212x0.1111FC1212211x011x0yxEF所在直线方程为：211211,12x011x02x011x01211121122化简得21 x012 y21 x03 x 1 x02x0.10 分22当x01时,直线 CD的方程为：y2 x0 x x022 x01xx01联立、解得yx023,消去0 x,得 P 点轨迹方程为：y13 3 x1 2.153分名师归纳总结-第 7 页,共 10 页精选学习资料-当x01时,EF 方程为：优秀学习资料1欢迎下载x312,CD方程为：x1,3y 12132244242联立解得x1
11、2,.也在 P 点轨迹上.因 C与 A 不能重合,x0,1x2.20y1312所求轨迹方程为y1 3x12x2.33分令S解二：由解一知,2AB的方程为y2x,1 B 0,11,D1,0,故 D是 AB的中点.5 分2CD,t1CA11,t2CB12,就tt2.3由于 CD为ABC的中线,CPCECFCAB2 SCADSCBD.而1CE CFSCEFSCEPSCFP111t1t233,t1t2CA CBSCAB2 SCAD2 SCBD2t1t22 t1t22 t1t22P是ABC的重心.10 分设P x,y,C x0 x02,因点 C异于 A,就0 x,1故重心 P 的坐标为22x01x01x
12、0,x 2,y11x0 x0,消去x0,得y 1 3 x1 2.333333故所求轨迹方程为y1 3 x 1 2x 2.20 分332006.给定整数n2,设M0 x0,y0是抛物线y2nx1与直线yx的一个交点.试证明对于任意正整数m,必存在整数k2,使 x0 my0m为抛物线y2kx1与直线yx的一个交点.2【证明】由于y2nx1与yx的交点为x0y0nn4.2明显有x01n；（5 分）x0如 x0 my0 m为抛物线y2kx1与直线y x的一个交点,就kx0m1m.x0（10 分）名师归纳总结-第 8 页,共 10 页精选学习资料-记kmx0m1,就km 1km优秀学习资料km欢迎下载k
13、m 1,m2 x011nkmx0mx0（13.1）21122由于k1n是整数,k2x02 x02n2也是整数,所以依据数学归纳法,x0 x0通过（13.1）式可证明对于一切正整数m,kmx0m1m是正整数.现在对于任意正整数m,x0取kx0m1m,使得y2kx1与yx的交点为 x0 my0m.（20 分）x02022如图,P 是抛物线y22 x上的动点,点B C在y轴上,圆 x12y21内切于PBC,求PBC 面积的最小值 解 设P x0,y0,B 0,b C 0,c,不妨设bc直线 PB 的方程:yby0bx,x0化简得y0b xx yx b0又圆心1,0到 PB 的距离为 1,故 y0b2
14、y0bx b1,b5 分 y0b22x02x0y0b22x b y022x b,易知x02,上式化简得x022b2y bx00,同理有 x022c2 y cx00-精选学习资料-所以bc2y0,bcx0 x0优秀学习资料欢迎下载,就x022名师归纳总结bc242x042y028x0 x2 15 分第 10 页,共 10 页x02因P x0,y0是抛物线上的点,有2y02x,就bc242x02,bc2x02x02x0所以SPBC1 bcx0 x02x0 x02x04242x0 20 分2448当 x0224时,上式取等号,此时x04,y02 2因此SPBC的最小值为82022.（本小题满分14 分）设直线l：y=kx+m（其中k,m为整数）与椭圆+y2=1交于1612不同两点A,B,与双曲线x2-y2=1交于不同两点C,D,问是否存在直线l,使得向量412AC+BD=0,如存在,指出这样的直线有多少条？如不存在,请说明理由-