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1、不等式与不等式组一、知识结构图 二、知识要点（一、）不等式的概念 1、不等式：一般地，用不等符号（“”“”“”“”）表达大小关系的式子，叫做不等式，用“”表达不等关系的式子也是不等式。不等号重要涉及： 、 、 、 、 。2、不等式的解：使不等式左右两边成立的未知数的值，叫做不等式的解。3、不等式的解集：一个具有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）。4、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。5、不等式的解集可以在数轴上表达，分三步进行：画数轴定界点定方向。规律：用数轴表达不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈
2、。（二、）不等式的基本性质不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。用字母表达为：假如，那么；假如，那么 ；不等式的性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。用字母表达为： 假如，那么(或)；假如，不等号那么(或)；不等式的性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 负数 ，的方向 改变 。用字母表达为： 假如，那么(或)；假如，那么(或)；解不等式思想就是要将不等式逐步转化为xa或xa的形式。（注：传递性：若ab,bc,则ac. 运用不等式的基本性质可以解简朴的不等式）（三、）一元一次不等式1、一元一次不等式的概
3、念：一般地，不等式中只具有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。2、任何一个一元一次不等式都可以化为最简形式：或（a0）的形式。3、解一元一次不等式的一般环节：去分母；去括号；移项；合并同类项； 系数化为1（特别要注意不等号方向改变的问题） 。这与解一元一次方程类似，在解时要根据一元一次不等式的具体情况灵活选择环节。（四、）一元一次不等式组1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。不等式组中具有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1。2、使不等式组中的每个不等式都成立的未知数的值叫不等式组的解，一个
4、不等式组的所有的解组成的集合，叫这个不等式组的解集解(简称不等式组的解)。3、不等式组的解集可以在数轴上表达出来。求不等式组的解集的过程叫解不等式组。4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。5、一元一次不等式组的解法:解一元一次不等式组的一般环节：分别求出这个不等式组中各个不等式的解集；运用数轴表达出各个不等式的解集；找出公共部分；用不等式表达出这个不等式组的解集。假如这些不等式的解集的没有公共部分，则这个不等式组无解 ( 此时也称这个不等式组的解集为空集 )。6、求出各个不等式的解集后，拟定不等式组的解的口诀：大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无
5、处找。（五、）一元一次不等式（组）的应用一般方法环节：（1）审：分析题意，找出不等关系；（2）设：设未知数；（3）列：列出不等式组；（4）解：解不等式组；（5）检查：从不等式组的解集中找出符合题意的答案；（6）答：写出问题答案。1、不等式与不等式组不等式： 用符号，=，号连接的式子叫不等式。 不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。 不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。 不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。2、不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 一个具有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 求不等式解集的过程叫做
6、解不等式。3、一元一次不等式： 左右两边都是整式，只具有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。4、一元一次不等式组： 关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。 一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。5、一元一次不等式解题的一般环节：去分母、去括号，移项时候要变号，同类项合并好，再把系数来除掉，两边除（以）负数时，不等号改向别忘了6、一元一次不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，小大、大小取中间，小小、大大无处找7、 由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集通常
7、有如下四种类型（其中ab）不等式组数轴表达解集顺口溜xbxaxb大大取较大xbxaxa小小取较小xaaxb大小、小大中间找xbxa无解大大、小小解不了练习题一1已知不等式3x-a0的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是 。2已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 。3不等式组的整数解为 。4假如关于x的不等式（a-1）xa+5和2x4的解集相同，则a的值为 。5已知关于x的不等式组的解集为，那么a的取值范围是 。6当 时，代数式的值不大于零7.若”“=”或“”号填空）8.不等式，的正整数解是 9.不等式的解集为，则不等式组的解集是 11.若不等式组的解集是，则的值为 12.有解集，则的
8、取值范围是 练习题二一、 判断题（每题1分，共6分）1、 ab，得ambm （ ）2、 由a3，得a （ ）3、 x = 2是不等式x34的解 （ ）4、 由1，得a （ ）5、 假如ab，c0，则ac2bc2 （ ）6、 假如ab0，则1 （ ）二、 填空题（每题2分，共34分）1、若ab，用“”号或“”号填空：a5 b5； ；12a 12b；6a 6b；2、x与3的和不小于6，用不等式表达为 ；3、当x 时，代数式2x3的值是正数；4、代数式2x的不大于8的值，那么x的正整数解是 ；5、假如x75，则x ；假如0，那么x ；6、不等式axb的解集是x，则a的取值范围是 ；7、一个长方形的长
9、为x米，宽为50米，假如它的周长不小于280米，那么x应满足的不等式为 ；练习题三一、选择题1下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ） A B C D2下列说法对的的是（ ） A不等式组的解集是5x3 B的解集是3x2 C的解集是x=2 D的解集是x33不等式组的最小整数解为（ ） A1 B0 C1 D44在平面直角坐标系中，点P（2x6，x5）在第四象限，则x的取值范围是（ ） A3x5 B3x5 C5x3 D5x2 Bx3 C2x3 D无解二、填空题6若不等式组有解，则m的取值范围是_7已知三角形三边的长分别为2，3和a，则a的取值范围是_8将一筐橘子分给若干个儿童，假如每人分4个橘子
10、，则剩下9个橘子；假如每人分6个橘子，则最后一个儿童分得的橘子数将少于3个，由以上可推出，共有_个儿童，分_个橘子9若不等式组的解集是1x1，则（a+b）2023=_三、解答题10解不等式组（1） （2）11若不等式组无解，求m的取值范围12、若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是_13、已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则 a的取值范围是_易错点分析：易错点1：误认为一元一次不等式组的“公共部分”就是两个数之间的部分例1 解不等式组错解：由，得x1，由，得x2，所以不等式组的解集为2x1错因剖析：解一元一次不等式组的方法是先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再运用数轴求出这些不等式解
11、集的公共部分此题错在对“公共部分”的理解上，误认为两个数之间的部分为“公共部分”（即解集）事实上，这两部分没有“公共部分”，也就是说此不等式组无解，而所谓“公共部分”的解是指“两线重叠”的部分此外，有些同学也许会受到解题顺序的影响，把解集表达成1x2或2x1等，这些都是错误的正解：由，得x1由，得x2，所以此不等式组无解易错点2：误认为“同向解集哪个表达范围大就取哪个”例2解不等式组 错解：解不等式，得x解不等式，得x5由于x的范围较大，所以不 等式组的解集为x错因剖析：本例错解中，由于对不等式组的解集理解得不深刻，在根据两个解集的范围拟定不等式组的解集时，形成错误的结识其实在求两个一元一次不
12、等式组成的不等式组的解集时，可归纳为以下四种基本类型（设ab）， 运用数可拟定它们的解集分别为 xb，xa，axb，空集也可以用下面的口诀来帮助记忆，“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小取不了（空集）”正解：解不等式，得x解不等式，得x5所以不等式组的解集为x5易错点3：混淆解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法例3 解不等式组错解：由，得2x14，即x7，所以不等式组的解集为x7错因剖析：本例错在将解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法混淆，误将解二元一次方程组中的加减消元法用在解一元一次不等式组中产生此类错误的主线因素是没有对的区分解一元一次不等式组和解二元一次方程组的不
13、同点，（1）解二元一次方程组时，两个方程不是单独存在的；（2）由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，可归纳为“独立解，集中到”，即独立地解不等式组中的每一个不等式组中的每一个不等式，在解的过程中，各不等式彼此不发生关系，“组”的作用在最后，即每一个不等式的解集都规定出来后，再运用数轴从“公共部分”的角度去求“组”的解集正解：由不等式，得x17，即x由不等式，得x3，即 x所以原不等式组的解集为x易错点4：在去分母时，漏乘常数项例4 解不等式组错解：由，得x2在x212x的两边同乘2，得x122x于是有x，所以原不等式组的解集为2x错因剖析：解一元一次不等式组，需要先求出每一个不等式的解，最
14、后找出它们的公共部分对不等式进行变形时，一定要使用同解变形，不然就容易犯错本例的解答过程中没有掌握不等式的运算性质，在去分母时漏乘了中间的一项此外，还要注旨在表达“大小小大中间取”这类不等式的解集时应按一般顺序，把小的那个数放在前面，大的那个数放在后面，用“”连接正解：由，得x2在2x的两边同乘2，得x142x于是有x1，所以原不等式组的解集为1x2易错点5：忽视不等式两边同乘（或除以）的数的符号，导致不等式方向犯错例5 解关于x的不等式（a）x12a错解：去分母，得(12a)x2(12a)将不等式两边同时除以（12a），得x2错因剖析：在运用不等式的性质解不等式时，假如不等式两边同乘（或除以
15、）的数是含字母的式子，应注意讨论含字母的式子的符号本例中不等式两边同乘(或除以)的(12a)，在不拟定取值符号的情况下进行约分，所以犯错正解：将不等式变形，得(12a)x2(12a)（1）当12a0时，即a时，x2；（2）当12a0时，即a时，不等式无解；（3）当12a0时，即a时，x2例6 假如关于x的不等式(2ab)xa5b0的解集是x，则关于x的不等式axb的解集是_错解：由于不等式（2ab）xa5b0的解集是x，所以，则有解得从而知axb的解集是x错因剖析：本题错因有两个，一是忽视了原不等式的不等号方向与解集的不等号方向正好相反；二是对具有字母系数的不等式没有根据解集的情况拟定字母系数
16、的取值范围，所以在解题时错误得出解得从而错误得到axb的解集是x正解：由不等式（2ab）xa5b0的解集是x，得解得所以axb的解集是x易错点6：寻找待定字母的取值范围时易漏特殊情况例7 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是_错解：由得又由于不等式组无解，所以a的取值范围是a3错因剖析：由已知不等式的解集拟定不等式组的解集时，可按“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小取不了”的基本规律求解，但当已知不等式组的解集而求不等式的解集中待定字母取值范围时则不能完全套用此规律，还应考虑特例，即a3，有x3及 x3，而此时不等式组也是无解的因此，本题错在没有考虑待定字母的取值范围的特殊情况正
17、解：由得又由于不等式组无解，所以a的取值范围是a3例8 已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则 a的取值范围是_错解：由解得又由于原不等式组的整数解共有5个，所以ax2，这 5个整数解为3，2，1，0，1，从而有a3(或a3)错因剖析：本题重要考察同学们是否会运用逆向思维解决具有待定字母的一元一次不等式组的特解上述解法错在忽视ax2中有5个整数解时，a虽不唯一，但也有一定的限制，a的取值范围在3与4之间，其中涉及3，但不应涉及4，所以错解在拟定 a的取值范围时扩大了解的范围正解：由解得又由于原不等式组的整数解共有5个，所以ax2又知这5个整数解为3，2，1，0，1故a的取值范围是4a3总之，
18、对于解一元一次不等式（组）问题，我们要深刻领略一元一次不等式（组）的基础知识，熟悉这6个易错点，牢固地掌握一元一次不等式（组）的解法和环节，从而远离解一元一次不等式（组）的错误深渊模拟试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1（2023昆明）将不等式组的解集在数轴上表达，对的的是（）ABCD2（2023重庆）已知，关于x的不等式2xa3的解集如图所示，则a的值等于（）A0B1C1D23（2023日照）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（）Aa1Ba2C1a2Da1，或a24不等式axa的解集为x1，则a的取值范围是（）Aa0Ba0Ca0Da05假如mn0，那么下列结论不对的的
19、是（）Am9n9BmnCD6关于x的方程5x+12=4a的解都是负数，则a的取值范围（）Aa3Ba3Ca3Da37若|3x2|=23x，则（）Ax=BxCxDx8（2023菏泽）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（）A6折B7折C8折D9折二、填空题（共9小题，每小题3分，满分27分）9已知关于x的不等式组的整数解有5个，则a的取值范围是_10某商品的售价是150元，这种商品可获利润10%20%，设这种商品的进价为x元，则x的值范围是_11满足x53x+1的x的最小整数是_12假如三个连续自然数的和不大于
20、9，那么这样自然数共有_组13已知2xy=0且x5y，则x，y的取值范围分别是_；_14若a0，则不等式axb的解集是_15若不等式组无解，则m的取值范围是 _16不等式组的整数解为_17当a0时，不等式组的解集是_三、解答题（共7小题，满分61分）18解不等式，并把解集在数轴上表达出来19求不等式组的整数解20代数式的值是否能同时大于代数式2x+3和1x的值？说明理由21若不等式5（x2）+86（x1）+7的最小整数解是方程2xax=3的解，求的值 22. （2023陕西）某城市的一种出租车起步价为10元（即行驶5千米以内都需付款10元车费），达成或超过5千米后，每增长1千米加价1.2元（局限性1千米按1千米计算），现某人乘这种出租车有甲地到乙地，支付车费17.2元求甲、乙两地的路程