2022年人教版初中九年级数学弧长和扇形面积(教学案例一).doc

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1、弧长和扇形面积(教学案例一)教学内容 1n的圆心角所对的弧长L= 2扇形的概念; 3圆心角为n的扇形面积是S扇形=; 4应用以上内容解决一些具体题目 教学目标 了解扇形的概念,理解n的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用 通过复习圆的周长、圆的面积公式,探索n的圆心角所对的弧长L=和扇形面积S扇=的计算公式,并应用这些公式解决一些题目 重难点、关键 1重点:n的圆心角所对的弧长L=,扇形面积S扇=及其它们的应用 2难点:两个公式的应用 3关键:由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程 教具、学具准备 小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板 教学过程 一、复习引入 (老师口问

2、,学生口答)请同学们回答下列问题 1圆的周长公式是什么? 2圆的面积公式是什么? 3什么叫弧长? 老师点评:(1)圆的周长C=2R (2)圆的面积S图=R2 (3)弧长就是圆的一部分 二、探索新知 (小黑板)请同学们独立完成下题:设圆的半径为R,则: 1圆的周长可以看作_度的圆心角所对的弧 21的圆心角所对的弧长是_ 32的圆心角所对的弧长是_ 44的圆心角所对的弧长是_ 5n的圆心角所对的弧长是_ (老师点评)根据同学们的解题过程,我们可得到: n的圆心角所对的弧长为例1制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,试计算如图所示的管道的展直长度,即的长(结果精确到0.1mm) 分析

3、:要求的弧长,圆心角知,半径知,只要代入弧长公式即可 解:R=40mm,n=110 的长=76.8(mm) 因此,管道的展直长度约为76.8mm问题:(学生分组讨论)在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长5m的绳子,绳子的另一端拴着一头牛,如图所示: (1)这头牛吃草的最大活动区域有多大? (2)如果这头牛只能绕柱子转过n角,那么它的最大活动区域有多大? 学生提问后,老师点评:(1)这头牛吃草的最大活动区域是一个以A(柱子)为圆心,5m为半径的圆的面积(2)如果这头牛只能绕柱子转过n角,那么它的最大活动区域应该是n圆心角的两个半径的n圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形,如图: 像这

4、样,由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形 (小黑板),请同学们结合圆心面积S=R2的公式,独立完成下题: 1该图的面积可以看作是_度的圆心角所对的扇形的面积 2设圆的半径为R,1的圆心角所对的扇形面积S扇形=_ 3设圆的半径为R,2的圆心角所对的扇形面积S扇形=_ 4设圆的半径为R,5的圆心角所对的扇形面积S扇形=_ 5设圆半径为R,n的圆心角所对的扇形面积S扇形=_ 老师检察学生练习情况并点评 1360 2S扇形=R2 3S扇形=R2 4S扇形= 5S扇形= 因此:在半径为R的圆中,圆心角n的扇形S扇形=例2如图,已知扇形AOB的半径为10,AOB=60,求的长(结果精

5、确到01)和扇形AOB的面积结果精确到01) 分析:要求弧长和扇形面积,只要有圆心角,半径的已知量便可求,本题已满足 解:的长=10=10.5 S扇形=102=52.3 因此,的长为25.1cm,扇形AOB的面积为150.7cm2 三、巩固练习 课本P122练习 四、应用拓展例3(1)操作与证明:如图所示,O是边长为a的正方形ABCD的中心,将一块半径足够长,圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处,并将纸板绕O点旋转,求证:正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a(2)尝试与思考:如图a、b所示,将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边形的中心点处,并将

6、纸板绕O旋转,当扇形纸板的圆心角为_时,正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a;当扇形纸板的圆心角为_时,正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a (a) (b) (3)探究与引申:一般地,将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处,若将纸板绕O点旋转,当扇形纸板的圆心角为_时,正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a,这时正n边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值?若为定值,写出它与正n边形面积S之间的关系(不需证明);若不是定值,请说明理由解:(1)如图所示,不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD分别交于点M、N,连结OA、OD 四边形ABCD是正方形

7、OA=OD,AOD=90,MAO=NDO, 又MON=90,AOM=DON AMODNO AM=DN AM+AN=DN+AN=AD=a 特别地,当点M与点A(点B)重合时,点N必与点D(点A)重合,此时AM+AN仍为定值a 故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a (2)120;70 (3);正n边形被纸板覆盖部分的面积是定值,这个定值是 五、归纳小结(学生小结,老师点评) 本节课应掌握: 1n的圆心角所对的弧长L= 2扇形的概念 3圆心角为n的扇形面积是S扇形= 4运用以上内容,解决具体问题 六、布置作业 1教材P124 复习巩固1、2、3 P125 综合运用5、6、72选用课时作业设

8、计第一课时作业设计一、 选择题1已知扇形的圆心角为120,半径为6,则扇形的弧长是( ) A3 B4 C5 D6 2如图1所示,把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线L上,按顺时针方向绕点D旋转到如图的位置,则点B运动到点B所经过的路线长度为( )A1 B C D (1) (2) (3) 3如图2所示,实数部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池,若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心,则游泳池的周长为( )A12m B18m C20m D24m 二、填空题 1如果一条弧长等于R,它的半径是R,那么这条弧所对的圆心角度数为_, 当圆心角增加30时,这条弧长增加_2如图3所示,OA=30B,则的

9、长是的长的_倍 三、综合提高题1已知如图所示,所在圆的半径为R,的长为R,O和OA、OB分别相切于点C、E,且与O内切于点D,求O的周长2如图,若O的周长为20cm,A、B的周长都是4cm,A在O内沿O滚动,B在O外沿O滚动,B转动6周回到原来的位置,而A只需转动4周即可,你能说出其中的道理吗? 3如图所示,在计算机白色屏幕上,有一矩形着色画刷ABCD,AB=1,AD=,将画刷以B为中心,按顺时针转动ABCD位置(A点转在对角线BD上),求屏幕被着色的面积答案:一、1B 2D 3D二、145 R 23三、1连结OD、OC,则O在OD上由=R,解得:AOB=60,由RtOOC解得O的半径r=R,所以O的周长为2r=R2O、A、B的周长分别为20cm,4cm,4cm,可求出它的半径分别为10cm、2cm、2cm,所以OA=8cm,OB=12cm,因为圆滚动的距离实际等于其圆心经过的距离,所以A滚动回原位置经过距离为28=16=44,而B滚动回原位置经过距离为212=24=46因此,与原题意相符3设屏幕被着色面积为S,则S=SABD+S扇形BDD+SBCD=S矩形ABCD+S扇形BDD,连结BD,在RtABD中,AB=1,AD=AD=,BD=BD=2,DBD=60,S=22+1=+8

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