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1、在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确第三节第三节 高斯定理高斯定理 高斯定理是静电场的一个重要定理，它是关于电场高斯定理是静电场的一个重要定理，它是关于电场中闭合曲面电通量的定理，在讨论这个定理之前先介绍中闭合曲面电通量的定理，在讨论这个定理之前先介绍电通量的概念。电通量的概念。一、矢量场与电通量一、矢量场与电通量 通量是描述矢量场性质的一个物理量，流体力学通量是描述矢量场性质的一个物理量，流体力学中流量的概念是大家熟知的，我们就从流量来引入通中流量的概念是大家熟知的，我们就从流量来引入通量的概念，量的概念，由矢量描述的物
2、理场，称为矢量场；用标量描述由矢量描述的物理场，称为矢量场；用标量描述的物理场，则称为标量场。的物理场，则称为标量场。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确如图所示，在流速场中（在流体力学中，速度如图所示，在流速场中（在流体力学中，速度v v是一个矢量函数，整个流体是一个速度场）是一个矢量函数，整个流体是一个速度场），取一，取一微小面元微小面元s,ns,n为面元为面元ss的法线方向的单位矢量的法线方向的单位矢量.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 单位
3、时间内流过单位时间内流过SS的流体体积叫做的流体体积叫做SS的通量的通量，由于，由于SS很小，可以认为其上各点的流速很小，可以认为其上各点的流速v v处处相等。单位时间处处相等。单位时间内通过内通过SS的流体体积，它在数值上等于以的流体体积，它在数值上等于以SS为底以为底以v v为为母线的柱体体积，即母线的柱体体积，即 （称为矢量 对面元 的通量）将上面通量的定义推广到任意矢量场将上面通量的定义推广到任意矢量场 ，则则在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确即场强即场强 与面元与面元 在场强方向的投影的乘积就是面在场强方向的投
4、影的乘积就是面元的电通量。元的电通量。电场强度矢量的通量称为电通量。电场强度矢量的通量称为电通量。设电场中某一点设电场中某一点p p的的场强为场强为E E，包含，包含P P点取一面元点取一面元 ，n n 为面元法线方向的单为面元法线方向的单位矢，位矢，为为E E 和和 n n 之间的夹角。我们定义：面元之间的夹角。我们定义：面元 的电通量为的电通量为nEP Pn nE E.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确下面，我们对电通量作进一步的讨论下面，我们对电通量作进一步的讨论（1 1）电通量是代数量。场强）电通量是代数量。场强
5、 和面元矢量和面元矢量 的的夹角夹角之不同，电通量有正、负。之不同，电通量有正、负。（2 2）电通量是场强）电通量是场强 在曲面上的积分量，它不仅与在曲面上的积分量，它不仅与场强有关，还与曲面的大小、方向有关，因此，它不场强有关，还与曲面的大小、方向有关，因此，它不是点函数，是点函数，只能说某曲面的电通量，不能讲某点的电只能说某曲面的电通量，不能讲某点的电通量。通量。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确（3 3）如果是有限曲面）如果是有限曲面S S，则面上各点场强大小和，则面上各点场强大小和方向一般是不同的，这时可以把此曲
6、面分成无限方向一般是不同的，这时可以把此曲面分成无限多个面元多个面元ds,ds,整个曲面整个曲面S S的电通量的电通量 就是所有面就是所有面上的电通量的代数和，即面积分为上的电通量的代数和，即面积分为如果是封闭曲面，则其电通量为如果是封闭曲面，则其电通量为在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确表示沿整个闭合曲面积分。这里要注表示沿整个闭合曲面积分。这里要注意一个曲面的法线式两有正、反两种取法，对于意一个曲面的法线式两有正、反两种取法，对于非闭合曲面来讲，可取其中任意一个为法线矢量非闭合曲面来讲，可取其中任意一个为法线矢量的正
7、方向；但对于闭合曲面来讲，它把空间划分的正方向；但对于闭合曲面来讲，它把空间划分为内外两部分，其法线矢量的两种取向就有了特为内外两部分，其法线矢量的两种取向就有了特定的意义，定的意义，通常规定外法线矢量为正通常规定外法线矢量为正。式中式中在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确二、二、高斯定理高斯定理 如何实际地计算电场中任一曲面，尤其是闭合曲如何实际地计算电场中任一曲面，尤其是闭合曲面的电通量呢？面的电通量呢？18391839年，德国科学家高斯在这方面作年，德国科学家高斯在这方面作了重要工作，高斯定理可以表述为：了重要工作，
8、高斯定理可以表述为：静电场中任意闭静电场中任意闭合曲面合曲面s s的电通量的电通量e e，等于该曲面所包围的电荷的代，等于该曲面所包围的电荷的代数和数和qqi i除以除以0 0，与闭合面外的电荷无关。，与闭合面外的电荷无关。这里这里s s通通常是一个假象的闭合曲面，习惯上叫高斯面。其数学常是一个假象的闭合曲面，习惯上叫高斯面。其数学形式为：形式为：在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确（1 1）包围点电荷）包围点电荷 q q 的同心球面的电通量都等于的同心球面的电通量都等于 以正点电荷以正点电荷q q所在处为中心，任意半径所
9、在处为中心，任意半径r r作一球面，作一球面，根据库仑定律，球面上场强具有球对称性，在球面根据库仑定律，球面上场强具有球对称性，在球面上任取一小面元上任取一小面元dsds，其外法线矢量，其外法线矢量n n也是沿半径方向也是沿半径方向向外的，即向外的，即n n与与E E 的夹角为的夹角为0 0，高斯定理的证明：高斯定理的证明：（根据库仑定律和场强叠加原理从特殊到一般，分几步来证明这个定理。）在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确因此通过整个闭合球面的电通量为：因此通过整个闭合球面的电通量为：当点电荷为负时（当点电荷为负时（q0
10、q0），球面上各点场强方向与该），球面上各点场强方向与该点所在面元法线方向相反，整个球面的电通量为负，点所在面元法线方向相反，整个球面的电通量为负，所以上式仍然成立。这一结果的重要性在于，电通量所以上式仍然成立。这一结果的重要性在于，电通量e e与球面半径与球面半径r r无关。无关。（2 2）包围点电荷）包围点电荷q q的任意闭合曲面的电通量都等于的任意闭合曲面的电通量都等于在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确r rrro o需补充一点数学知识需补充一点数学知识立体角立体角平面角平面角:一个园，其半径为一个园，其半径为r
11、r，弧长为，弧长为那么平面角为：那么平面角为：整个圆周所张的角：整个圆周所张的角：在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确对于两个同心圆，半径不同，弧长也不同，对于两个同心圆，半径不同，弧长也不同，但可对应同一个平面角，即但可对应同一个平面角，即（与半径（与半径r r的选择无关）的选择无关）在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确立体角：立体角：一个球面上的面元一个球面上的面元 dsds，对球心所张的角，在空间，对球心所张的角，在空间包围一定的范围，可想象为一
12、个锥体的包围一定的范围，可想象为一个锥体的“顶角顶角”，用用 表示，仿照度量平面角的方法，即表示，仿照度量平面角的方法，即o or rdsdsdsdsrr(sr)(sr)在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确（与半径（与半径r r的选择无关）的选择无关）在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确PrdsWdqnrdsP任意面元对一点对一点所张的立体角在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整
13、堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具
14、有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确（4 4）多个点电荷的场）多个点电荷的场设系统中有设系统中有K K个点电荷，其中个点电荷，其中个点电荷在闭合面内，个点电荷在闭合面内，个个点电荷在闭合面外，由电场的叠加原理，点电荷在闭合面外，由电场的叠加原理，总的场强是各点电荷场强的矢量和。总的场强是各点电荷场强的矢量和。N NL L,2 2,1 1K KN NN NL L,2 2,1 1+KEEEErLrrr+=21在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确总通量为：总通量为：在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题
15、的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 注意：注意：a)a)GaussGauss定理与库仑定律不是两个独立的物理定律，定理与库仑定律不是两个独立的物理定律，只是用不同的方式表达同一定律只是用不同的方式表达同一定律，GaussGauss定理取决于相定理取决于相互作用平方反比的性质，还取决于作用的迭加性质，互作用平方反比的性质，还取决于作用的迭加性质，它揭示了场与场源间的联系，是库仑定律的逆定律。它揭示了场与场源间的联系，是库仑定律的逆定律。b)b)高斯定理只告诉我们，高斯定理只告诉我们，闭合面的总通量仅由面闭合面的总通量仅由面内的电荷决定的，并没有说面上各点的场强仅由面内内的电荷决
16、定的，并没有说面上各点的场强仅由面内的电荷产生。场强的电荷产生。场强 仍应理解为所有电荷（包括闭仍应理解为所有电荷（包括闭合面外的电荷）的总场强，要注意区别的通量和本身。合面外的电荷）的总场强，要注意区别的通量和本身。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确作业：作业：电荷电量均匀分布于内外半径为电荷电量均匀分布于内外半径为1 1和和R R2 2的球壳上，求其场强的分布？并作的球壳上，求其场强的分布？并作出出E Er r的分布图。的分布图。