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1、在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确3.1 回归分析的基本思想回归分析的基本思想 及其初步应用及其初步应用在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 比数学必比数学必3中中“回归回归”增加的内容增加的内容必修必修统计统计1.画散点图画散点图2.了解最小二乘法了解最小二乘法的思想的思想3.求回归直线方程求回归直线方程ybxa4.用回归直线方程用回归直线方程解决应用问题解决应用问题选修选修2-3统计案例统计案例5.引入线性回归模型引入线性回归模型ybxae6.了
2、解模型中随机误差项了解模型中随机误差项e 产产生的原因生的原因7.了解相关指数了解相关指数 R2 和模型和模型 拟拟合的效果之间的关系合的效果之间的关系8.了解残差图的作用了解残差图的作用9.利用线性回归模型解决利用线性回归模型解决 一一类非线性回归问题类非线性回归问题10.正确理解分析方法与结果正确理解分析方法与结果在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确1、两个变量的关系、两个变量的关系不相关不相关相关相关关系关系函数关系函数关系线性相关线性相关非线性相关非线性相关问题问题1：现实生活中两个变量间的关系有哪些？：现实生活中
3、两个变量间的关系有哪些？相关关系：相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。之间的关系。对具有相关关系的两个变量进行对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫统计分析的方法叫回归分析回归分析。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？函数关系中的两个变量间是一种确定性关系.相关关系是一种非确定性关系.函数关系是一种理想的关系模型.相关关系在现实生活中大量存在，是更一般的情
4、况.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确问题问题2：对于线性相关的两个变量用什么方法：对于线性相关的两个变量用什么方法来刻划之间的关系呢？来刻划之间的关系呢？2、最小二乘估计、最小二乘估计最小二乘估计下的线性回归方程：最小二乘估计下的线性回归方程：在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例例1 从某大学中随机选出从某大学中随机选出8名女大学生，其身高名女大学生，其身高和体重数据如下表：和体重数据如下表：编号编号12345678身高身高16516515717
5、0175165155170体重体重4857505464614359求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为并预报一名身高为172的女大学生的体重。的女大学生的体重。问题一：结合例问题一：结合例1得出线性回归模型及随机误差得出线性回归模型及随机误差,并且区分函数模型和回归模型。并且区分函数模型和回归模型。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确1.散点图；散点图；2.回归方程：回归方程：分析：由于问题中分析：由于问题中要求根据身高预报要求根据身高预报体重，因此选取身体重，因
6、此选取身高为自变量，体重高为自变量，体重为因变量为因变量身高为身高为172的女大学生的体重一定是的女大学生的体重一定是60.316kg吗？吗？如果不是如果不是,其原因是什么其原因是什么?探究？探究？在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确（1）由图形观察可以看出，样本点呈条状分）由图形观察可以看出，样本点呈条状分布，布，身高和体重有比较好的线性相关关系身高和体重有比较好的线性相关关系，因，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的
7、设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确（2）从散点图还可以看到，样本点散布在某一条）从散点图还可以看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是一条直线上，所以不能用一次直线的附近，而不是一条直线上，所以不能用一次函数来描述它们之间的关系。这时我函数来描述它们之间的关系。这时我们用下面的线性回归模型来描述身高和体重的关系：们用下面的线性回归模型来描述身高和体重的关系：+其中和为模型的其中和为模型的未知参数未知参数，e是是y与与 =bx+a 之间的误差之间的误差,通常通常称为随机误差称为随机误差。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提
8、出的问题也很明确其中其中a和和b为模型的未知参数，为模型的未知参数，e称为随机误差。称为随机误差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)=在线性回归模型在线性回归模型(4)中，随机误差中，随机误差e的的方差方差 越小越小，通过回归直线通过回归直线 预报真实值预报真实值y的精度越高的精度越高。随机误差是引起。随机误差是引起预报值预报值 与与真实值真实值y之间的误差的原因之一，其大小取决于随之间的误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差。机误差的方差。另一方面，由于计算出来的另一方面，由于计算出来的 和和 为截距和斜率的估为截距和斜率的估计值，它们与真实值计值，它们与真实值a和和b之间也存在误
9、差，这种误差之间也存在误差，这种误差是引起预报值是引起预报值 与真实值与真实值y之间误差的另一个原因。之间误差的另一个原因。随机误差：随机误差：线性回归模型：线性回归模型：在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确思考思考:产生随机误差项产生随机误差项e e的原因是什么？的原因是什么？随机误差随机误差e e的来源的来源(可以推广到一般）：可以推广到一般）：1、忽略了其它因素的影响：影响身高、忽略了其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只的因素不只是体重是体重 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生
10、长环境等因素；长环境等因素；2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；3、身高、身高 y 的观测误差。的观测误差。以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。效果越好。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确函数模型与函数模型与“回归模型回归模型”的差别：的差别：函数模型：因变量函数模型：因变量y完全由自变量完全由自变量x确定确定回归模型：预报变量回归模型：预报变量y完全由解释变量完全由解释变量x和随机误差和随机误差e确定确定函数模型
11、：函数模型：回归模型：回归模型：在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确问题二：问题二：在线性回归模型中，在线性回归模型中，e是用是用bx+a预报真预报真实值实值y的随机误差的随机误差，它是一个不可观测的量，那，它是一个不可观测的量，那么应如何研究随机误差呢？么应如何研究随机误差呢？称为称为残差平方和残差平方和。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确表表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残
12、差数据。在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关判断它们是否线性相关,是否可以用回归模型来拟合数据是否可以用回归模型来拟合数据.残差分析与残差图的定义：残差分析与残差图的定义：然后，我们可以通过残差然后，我们可以通过残差 来判断来判断 模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这这方面的分析工作称为方面的分析工作称为残差分析残差分析。编号编号12345678身高身高/cm165165157170175165155170体重体重/kg4857505464614359残
13、差残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382 我们可以利用图形来分析残差特性，作图时我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标纵坐标为残差为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值重估计值等，这样作出的图形称为等，这样作出的图形称为残差图残差图。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确残差图的制作及作用。残差图的制作及作用。坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；若模型选择的正确，
14、残差图中的点应该分布在以若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域横轴为心的带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点 错误数据错误数据 模型问题模型问题 几点说明：几点说明：第一个样本点和第第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。有错误，则
15、需要寻找其他的原因。另外，另外，残差点比较均匀地落在残差点比较均匀地落在水平的带状区域中水平的带状区域中，说明选用，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。精度越高，回归方程的预报精度越高。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确问题三：如何发现数据中的错误？如何衡量随机问题三：如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟合效果？模型的拟合效果？(1)我们可以通过分析发现原始数据中的可疑数据，我们可以通过分析发现原始数据
16、中的可疑数据，判断建立模型的拟合效果。判断建立模型的拟合效果。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确(2)(2)残差图的制作和作用：残差图的制作和作用：制作：坐标制作：坐标纵轴纵轴为残差变量为残差变量，横轴可以有不同的选择，横轴可以有不同的选择.横轴横轴为编号为编号(或身高、体重等或身高、体重等)：可以考察残差与编号：可以考察残差与编号次序之间的关系次序之间的关系 横轴横轴为解释变量：可以考察残差与解释变量的关系，为解释变量：可以考察残差与解释变量的关系，作用：判断模型的适用性若模型选择的正确，残差图作用：判断模型的适用性若
17、模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为中心的带形区域中的点应该分布在以横轴为中心的带形区域.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 R2的值越大的值越大,说明残差平方和越小说明残差平方和越小,模型拟合效果越好。模型拟合效果越好。在线性回归模型中，在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化的表示解析变量对预报变量变化的贡献率。贡献率。R2越接近越接近1，表示回归的效果越好（因为，表示回归的效果越好（因为R2越接越接近近1，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强），表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）。如果某组
18、数据可能采取几种不同回归方程进行回如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选的值来做出选择，即选取取R2较大的模型作为这组数据的模型。较大的模型作为这组数据的模型。相关指数相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。我们用我们用相关指数相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是来刻画回归的效果，其计算公式是在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很
19、明确例例3 在一段时间内，某中商品的价格在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量元和需求量y件之间的一组数据为：件之间的一组数据为：求出求出y对对x的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。价格价格x1416182022需求量需求量y1210753解：解：在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确价格价格x1416182022需求量需求量y1210753列出残差表为列出残差表为0.994 因而，拟合效果较好。因而，拟合效果较好。00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.4在
20、整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确1)确定解释变量和预报变量确定解释变量和预报变量;2)画出散点图画出散点图;3)确定回归方程类型确定回归方程类型;4)求出回归方程求出回归方程;5)利用相关指数或残差进行分析利用相关指数或残差进行分析.建立回归模型的基本步骤建立回归模型的基本步骤在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确问题四：若两个变量呈现非线性关系，如何问题四：若两个变量呈现非线性关系，如何解决？（分析例解决？（分析例2）例例2 一只红铃虫的产卵数一只红
21、铃虫的产卵数y和温度和温度x有关。现收集了有关。现收集了7组观测数据列于表中：组观测数据列于表中：温度温度xoC21232527293235产卵数产卵数y/个个711212466115325（1）试试建建立立产产卵卵数数y与与温温度度x之之间间的的回回归归方方程程；并并预测温度为预测温度为28oC时产卵数目。时产卵数目。（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？产卵数的变化？在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确选变量选变量 解：选取气温为解释变量解：选取气温为解释变量
22、x，产卵数为预报变量产卵数为预报变量y。画散点图画散点图假设线性回归方程为假设线性回归方程为：=bx+a选选 模模 型型分析和预测分析和预测估计参数估计参数由计算器得：线性回归方程为由计算器得：线性回归方程为 y=19.87x-463.73,相关指数相关指数R2=0.7464所以一次函数模型中温度解释了所以一次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。的产卵数变化。050100150200250300350036912151821242730333639当当x=28时时,y=19.8728-463.7393方方法法一一：一一元元函函数数模模型型合作探究合作探究在整堂课的教学中，刘教师总是让
23、学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 y=c1x2+c2 变换变换 y=c1t+c2 非线性关系非线性关系 线性关系线性关系问题问题选用选用y=c1x2+c2问题问题3 产卵数产卵数气气温温问题问题2如何求如何求c1、c2？t=x2方方法法二二，二二元元函函数数模模型型合作探究合作探究在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确平方变换：平方变换：令令t=x2，产卵数，产卵数y和温度和温度x之间二次函数之间二次函数模型模型y=bx2+a就转化为产卵数就转化为产卵数y和温度的平方和温度的平方
24、t之间线之间线性回归模型性回归模型y=bt+a温度温度t21232527293235 t244152962572984110241225产卵数产卵数y/个个711212466115325作作散散点点图图，并并由由计计算算器器得得：y和和t之之间间的的线线性性回回归归方方程为程为y=0.367t-202.54，相关指数相关指数R2=0.802将将t=x2代入线性回归方程得：代入线性回归方程得：y=0.367x2-202.54当当x=28时时,y=0.367282-202.5485所所以以，二二次次函函数数模模型型中中温温度度解解释释了了80.2%的产卵数变化。的产卵数变化。t在整堂课的教学中，刘
25、教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确问题问题如何选取指数函数的底如何选取指数函数的底?产卵数产卵数气气温温方法三方法三 指数函数模型指数函数模型合作探究合作探究问题问题 变换变换 y=bx+a非线性关系非线性关系 线性关系线性关系对数对数在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确温度温度xoC21232527293235z=lny0.851.041.321.381.822.062.51产卵数产卵数y/个个711212466115325xz当当x=28oC 时，时，y 44，所以
26、所以指数函数模型指数函数模型模型中温度解释模型中温度解释了了98%的产卵数的变化的产卵数的变化.由计算器得：由计算器得：z关于关于x的线性回归方程为的线性回归方程为z=0.272x-3.849，,相关指数相关指数R2=0.98 对数变换：对数变换：在在 中两边取自然对数得中两边取自然对数得令令 ,则则 就转换为就转换为z=bx+a在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确函数模型函数模型相关指数相关指数R2线性回归模型线性回归模型0.7464二次函数模型二次函数模型0.802指数函数模型指数函数模型0.98最好的模型是哪个最好的模型是哪个?指数函数模型最好！指数函数模型最好！