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1、概率统计概率统计下页结束返回在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征何谓随机变量的数字特征？何谓随机变量的数字特征？通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整地通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整地刻划随机变量，但却能较为集中地反映随机变量某刻划随机变量，但却能较为集中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些数值些方面的重要特征的一些数值.1.数学期望的概念及性质数学期望的概念及性质2.方差的概念及性质方差的概念及性质3.常见分布的数字特征常见分布的数字特征4.协方差、相关系数的概
2、念及性质协方差、相关系数的概念及性质下页概率统计概率统计下页结束返回在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望 引例引例有甲、乙两射手各射击有甲、乙两射手各射击100次，他们的射击技术用次，他们的射击技术用下表给出：下表给出：4.1 4.1 数学期望数学期望问谁的射击水平高？问谁的射击水平高？解：解：“射击水平射击水平”一般用一般用平均击中环数平均击中环数来反映来反映.所以，所以，只要只要对他们的平均击中环数进行比较即可对他们的平均击中环数进行比较即可.下页概率统计概率统计
3、下页结束返回在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确显然，甲射手的水平较高显然，甲射手的水平较高.下页问谁的射击水平高？问谁的射击水平高？解：解：“射击水平射击水平”一般用一般用平均击中环数平均击中环数来反映来反映.所以，只所以，只要要对他们的平均击中环数进行比较即可对他们的平均击中环数进行比较即可.下面再对下面再对“平均击中环数平均击中环数”的计算过程进行分析的计算过程进行分析.概率统计概率统计下页结束返回在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确显然显然,“
4、平均击中环数平均击中环数”,是各种环数以频率为权的加权平均是各种环数以频率为权的加权平均.下页概率统计概率统计下页结束返回在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确定义定义 设离散型随机变量设离散型随机变量X的概率分布为的概率分布为PX=xk=pk ，k=1,2,3，若级数若级数绝对收敛，绝对收敛，则称级数则称级数为为 X 的的数学期望数学期望(或或均值均值)，记作记作E(X).下页显然显然,“平均击中环数平均击中环数”,是各种环数以频率为权的加权平是各种环数以频率为权的加权平均均.数学期望的概念数学期望的概念即即概率统计概率统
5、计下页结束返回在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例例1.1.设离散型随机离散型随机变量量X,Y的的分布如下表，求分布如下表，求E(X),E(Y).此例说明了此例说明了数学期望数学期望更完整地刻化了更完整地刻化了X的均值状态的均值状态.下页 X 0 1 2 P 0.1 0.2 0.7 Y 0 1 2 P 0.7 0.2 0.1解：解：因为因为X的分布为的分布为所以，所以，E(Y)=00.7+10.2+20.1=0.4.X 0 1 2 P 0.1 0.2 0.7所以，所以，E(X)=00.1+10.2+20.7=1.6；同理
6、，因为同理，因为Y的分布为的分布为 Y 0 1 2 P 0.7 0.2 0.1切记不要以为：切记不要以为：数学期望数学期望（均值）就是随机变量所（均值）就是随机变量所有可能取值之和，除以随有可能取值之和，除以随机变量取值个数！机变量取值个数！概率统计概率统计下页结束返回在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 例例 2.按按规定，某公交定，某公交车每天每天8点至点至9点和点和9点至点至10点都恰点都恰有一有一辆到站，各到站，各车到站的到站的时刻是随机的，且各刻是随机的，且各车到站的到站的时间是相互独立的，其是相互独立的，其规律
7、律为 下页E(X)=100.2+300.5+500.3=32(分钟分钟).到站时刻到站时刻 8:10/9:10 8:30/9:30 8:50/9:50概率概率0.20.50.3 某乘客某乘客8:00到站，求他候车时间的数学期望；到站，求他候车时间的数学期望；某乘客某乘客8:20到站，求他候车时间的数学期望到站，求他候车时间的数学期望解：解：设乘客候乘客候车时间为X(单位：分位：分钟)，依，依题意知意知 X的分布律为的分布律为 X 10 30 50 P 0.2 0.5 0.3概率统计概率统计下页结束返回在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出
8、的问题也很明确 例例 2.按按规定，某公交定，某公交车每天每天8点至点至9点和点和9点至点至10点都恰点都恰有一有一辆到站，各到站，各车到站的到站的时刻是随机的，且各刻是随机的，且各车到站的到站的时间是相互独立的，其是相互独立的，其规律律为 下页E(X)=100.5+300.3+900.20.3=28.4(分钟分钟).到站时刻到站时刻 8:10/9:10 8:30/9:30 8:50/9:50概率概率0.20.50.3 某乘客某乘客8:00到站，求他候车时间的数学期望；到站，求他候车时间的数学期望；某乘客某乘客8:20到站，求他候车时间的数学期望到站，求他候车时间的数学期望解：解：设乘客候乘客
9、候车时间为X(单位：分位：分钟)，依，依题意知意知 X的分布律为的分布律为 X 10 30 50 70 90 P 0.5 0.3 0.20.2 0.20.5 0.20.3 事件事件X=70的意思是指，的意思是指，“第一辆车没坐上，但坐上了第一辆车没坐上，但坐上了9:30到达的第二辆车到达的第二辆车”事件，所以，事件，所以，PX=70=0.20.5.概率统计概率统计下页结束返回在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例例3.3.如何确定投资决策方向如何确定投资决策方向?某人有某人有10万元现金，想投资于某项目，万元现金，想投资于
10、某项目，预估成功的机会为预估成功的机会为 30%，可得利润，可得利润8万元万元，失败的机会为失败的机会为70%，将损失，将损失 2 万元若存入万元若存入银行，同期间的利率为银行，同期间的利率为5%，问是否作此项，问是否作此项投资投资?解解:设设 X 为投资利润，则为投资利润，则存入银行的利息为存入银行的利息为,故应选择投资故应选择投资.概率统计概率统计下页结束返回在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确常见分布的期望常见分布的期望 0-1 0-1分布分布 概率分布为概率分布为:X 1 0P p 1-pE(X)=1 p+0 (1
11、-p)=p.二项分布二项分布 设随机变量设随机变量XB(n,p),),其概率分布为其概率分布为下页概率统计概率统计下页结束返回在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 泊松分布泊松分布 设随机变量设随机变量XP(l l)，其概率分布为其概率分布为，k =0,1,2,3,l l0,下页概率统计概率统计下页结束返回在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望定义定义 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为
12、的概率密度为f(x)，如果积分，如果积分绝对收敛，则称积分值为绝对收敛，则称积分值为X的的数学期望数学期望(或或均值均值).记作记作E(X).下页数学期望的概念数学期望的概念即即概率统计概率统计下页结束返回在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例例4设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求求X的数学期望的数学期望解：解：=0.因为，奇函数在对称区间上的积分等于因为，奇函数在对称区间上的积分等于0.下页概率统计概率统计下页结束返回在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所
13、提出的问题也很明确 均匀分布均匀分布 设设X Ua,b 概率密度概率密度为常见分布的期望常见分布的期望 指数分布指数分布 设设X E(l l)概率密度概率密度为下页概率统计概率统计下页结束返回在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确下页 正态分布正态分布 设设XN(,2 2 )概率密度概率密度为概率统计概率统计下页结束返回在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 三、三、随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 1.1.如果如果X为离散型随机变量为离散型随
14、机变量，其概率分布为，其概率分布为 P X=xk =Pk,k=1,2,3,绝对收敛，绝对收敛，E(Y)=E g(X)且级数且级数则则Y=g(X)的数学期望为的数学期望为下页 解解:E(Y)=g(-1)*0.3+g(0)*0.1+g(1)*0.2+g(2)*0.15+g(5)*0.25 =1*0.3+0*0.1+1*0.2+4*0.15+25*0.25 =7.351*0.31*0.2 例例5.已知已知已知已知X X的概率分布为的概率分布为的概率分布为的概率分布为 X X -1 0 1 2 5 -1 0 1 2 5 P P 0.3 0.1 0.2 0.15 0.25 0.3 0.1 0.2 0.1
15、5 0.25令令令令Y Y=X X 2 2 ，求，求，求，求E E(Y Y).).概率统计概率统计下页结束返回在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确2.2.如果如果X为连续型随机变量为连续型随机变量，其概率密度为，其概率密度为 f(x)，且积分，且积分 绝对收敛，绝对收敛，例例6 6已知连续型随机变量已知连续型随机变量X的概率密度的概率密度下页试求试求Y=|=|X|的数学期望的数学期望.解：解：则则Y=g(X)的数学期望为的数学期望为概率统计概率统计下页结束返回在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具
16、有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 3.3.如果如果(X,Y)为离散型随机向量为离散型随机向量，其联合概率分布为，其联合概率分布为 P X=xi Y=yj=pij i,j=1,2,3,则则Z=g(X,Y)的数学期望为的数学期望为下页 例例7 7.设二维离散型随机向量设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布如下表所的概率分布如下表所示示,求求Z=X 2+Y的数学期望的数学期望.=z11p11 +z12p12 +z21p21 +z22p22 =g(3,1)1/8+g(3,2)1/4+g(4,1)1/2+g(4,2)1/8 =101/8 +111/4 +171/2 +181/8.解解:E(
17、Z)1/8 1/4 1/2 1/8 3 4 1 2XY概率统计概率统计下页结束返回在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确特别特别下页例例8 8设二维随机向量设二维随机向量(X,Y)的概率密度为的概率密度为试求试求:E(XY)，E(X).解解:y=2(1-x)4.4.如果如果(X,Y)为连续型随机向量为连续型随机向量，其联合概率密度为，其联合概率密度为f(x,y),则则Z=g(X,Y)的数学期望为的数学期望为概率统计概率统计下页结束返回在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提
18、出的问题也很明确 例例9.9.设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量X(单位：单位：t)是随机变量是随机变量,它服从它服从1200,3000上的均匀分布上的均匀分布.若售若售出这种农产品出这种农产品1t,可赚可赚2万元万元,若销售不出去若销售不出去,则每吨需付仓库保则每吨需付仓库保管费管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大平均利润万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大平均利润?解解:依题意知，依题意知，X的密度为的密度为平均利润为平均利润为下页 设每年准备该种商品设每年准备该种商品a吨吨,年利润为年利润为Y，则利润为则利润为 当当a=
19、2400时时,E(Y)取到最大取到最大值值,故每年准备此种商品故每年准备此种商品2400 t，可使平均利润达到最大可使平均利润达到最大概率统计概率统计下页结束返回在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确性质性质2 E(CX)=C E(X)(C为常数为常数)性质性质3 E(X+Y)=E(X)+E(Y)性质性质4 设设X,Y是两个相互独立的随机变量，则有是两个相互独立的随机变量，则有 E(XY)=E(X)E(Y)推广推广 E(X1+X2+Xn)=E(X1)+E(X2)+E(Xn).若若X1，X2，Xn相互独立，相互独立，则则 E(
20、X1 X2 Xn)=E(X1)E(X2)E(Xn).E(C1X1+C2X2+CnXn)=C1E(X1)+C2E(X2)+CnE(Xn).特别特别 E(E(X)=E(X).下页四、数学期望的性质四、数学期望的性质性质性质1 E(C)=C (C为常数为常数)概率统计概率统计下页结束返回在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确练习题：练习题：1.已知已知X的分布律，求的分布律，求E(2X 3+5)X -2 0 1 3P 1/3 1/12 1/122.若若XN(0,1)，则，则E(X)=（）.3.若已知若已知X的分布函数的分布函数5.设设(X,Y)的联合密度为的联合密度为求求 E(XY).4.已知已知X的密度的密度求求E(X).下页求求E(2X).概率统计概率统计下页结束返回在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确1.离散型2.连续型3.Y=g(X)4.Z=g(X,Y)小小 结结下页概率统计概率统计下页结束返回在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确作业：95页 1,2,3,4,5,6,7结束