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1、第五节 正态分布及其应用正态分布重要的概率分布，统计分析方法的基础。l医学研究中的多数观察指标服从或近似服从正态分布；l很多统计方法建立在正态分布的基础之上；l很多其他分布的极限为正态分布。一、正态分布的概念和图形（a）（b）（c）（d）l正态分布的概率密度函数为：,(-X+)l式中，有4个常数，为总体均数，为总体标准差，为圆周率，e为自然对数的底，其中，为不确定的常数，e为固定常数，仅X为变量，代表图形上横轴的数值，f(X)为纵轴数值。当给定和，就可绘制出一条正态分布曲线。正态分布曲线是一簇曲线。正态分布图形：l对称的钟型（在均数处最高）l两侧逐渐下降l两端在无穷远处与横轴无限接近。l一般情
2、况下，我们用N(,2)表示均数为，方差为2的正态分布。-5-4-3-2-1012345=1=1.5=2f不同标准差 的正态分布示意二、正态分布的特征l特征一 正态分布是一单峰分布，高峰位置在均数X=处。l特征二 正态分布以均数为中心，左右完全对称。l特征三 正态分布取决于两个参数，即均数 和标准差。为位置参数，变大，则曲线沿横轴向右移动；变小，曲线沿横轴向左移动。为形态参数，表示数据的离散程度，若小，则曲线形态“瘦高”；大，则曲线形态“矮胖”。l特征四 有些指标不服从正态分布，但通过适当变换后服从正态分布，如对数正态分布。l特征五 正态分布曲线下的面积分布是有规律的。用F(X)代表横轴自-到X
3、间曲线下面积，即下侧累计面积(概率)。曲线下（X1，X2）两个数值之间的面积则可以用 与 的差值求得：无论，取什么值，正态分布密度曲线下的面积分布有以下几个规律：l正态密度函数曲线与横轴间的面积恒等于1或100%；l正态分布是对称分布。其对称轴为直线X=，X与X0的范围面积，利用正态分布的对称性，通过(u)=1-(-u)来求曲线下的面积。注意点一例、已知u1=-1.20，u2=1.60，求标准正态曲线下（-1.20，1.60）范围内的面积。l 查附表1，得（-，-1.20）范围内的面积为0.1151，（-，-1.60）范围内的面积为0.0548，l利用正态分布的对称性，求(1.60)=1-(-
4、1.60)则（-，1.60）范围内面积为1-0.0548=0.9452。l（-1.20，1.60）范围内的面积 D=0.9452-0.1151=0.8301。注意点二l对于非标准正态分布，求曲线下任意（X1，X2）范围内的面积，可先作标准化变换，再借助标准正态分布表求得。l例、某市120名12岁男童身高的例子中已求得均数为 143.05cm，标准差s=5.82cm。设该资料服从正态分布，试求 该地12岁男童身高在132cm以下者占该地12岁男童总数的比例，分别求 1s、1.96s和 2.58s范围内12岁男童占该组儿童总数的实际百分数，并与理论百分数比较。l 计算u=（132.0-143.05
5、）/5.82=-1.90 查表得，(u)=(-1.90)=0.0287 身高范围(cm)实际分布理论分布(%)人数百分数()1.00s137.23148.878772.5068.271.96s131.64154.4611495.0095.002.58s128.03158.0711898.3399.00四、正态分布的应用l医疗卫生领域中有很多的指标是服从或近似服从正态分布。如：同性别同年龄正常儿童的身高、体重，同性别健康成人的红细胞数以及实验中的随机误差等一般都服从正态分布。l有一些指标不服从正态分布，但经过变量变换后，能近似服从正态分布。如：对数正态分布（一）估计频率分布l例、若由某项研究得某
6、地婴儿出生体重为3100g，标准差为300g，试估计该地区当年出生低体重儿（出生体重2500g）所占比例。l认为当年该地区婴儿出生体重近似服从正态分布N（3100,3002）,作标准化变换：查附表1，得(-2.00)=0.0228l得出结论，估计该地区当年出生低体重儿所占比例为2.28%。l例、已知某地健康成年男子的红细胞计数是以=5.001012/L，=0.251012/L的正态分布，试问红细胞计数在4.501012/L至5.201012/L之间，占该地健康成年男子的百分之几？l将变量值标准正态转换为u。当x=4.50时，u1=（4.50-5.00）/0.25=-2.00 当x=5.20时，
7、u2=（5.20-5.00）/0.25=0.80l查附表1标准正态曲线下面积得 (u1)=(-2.00)=0.0228 (u2)=1-(-0.80)=0.7881 D=(u2)-(u1)=0.7881-0.0228=0.7653l所以，该地健康成年男子中，估计有76.53%的人红细胞数在（4.505.20）1012/L范围内。（二）医学参考值范围的确定l医学参考值（reference value）是指包括绝大多数正常人的人体形态、功能和代谢产物等各种生理及生化指标常数。也称正常值（normal value）。l由于个体差异的存在，因此需要确定绝大多数正常人各种指标一定的波动范围，这个范围就叫做
8、参考值范围(reference interval)又称正常值范围(normal range)。1、参考值范围确定的注意点l“正常人”的概念l样本数据大小的问题 l检测误差的问题l判断是否分组l单、双侧的问题l“绝大多数”的含义 l是否需要确定可疑范围 l变量转换的问题 l不管将正常界值定在什么位置，都可能出现假阳性或假阴性，产生这两种误判的根本原因是正常人的分布与病人的分布有重叠。正常人病人假阳性假阴性正常人与病人的数据分布重叠示意图2、参考值范围的估计方法l方法一、正态分布法 双侧 单侧 (高侧)(低侧)l某些偏态资料经过数据转换后服从正态分布，也可按正态分布规律处理。l对于一个指标，随机抽
9、取一个样本含量足够大的样本（一般认为应大于100例），可按下表利用正态分布法制定参考值范围。l例、某地调查正常成年男子200人的红细胞数得均数=55.261012/L，标准差S=0.381012/L，试估计该地区正常成年男子红细胞数的95%参考值范围。l红细胞数过多或过少均为异常，故取双侧。该地区正常成年男子红细胞数的95%参考值范围为：l下限：l上限：l例、某地调查了360名成年男子的平均血红蛋白 =13.45(g/100ml)，标准差s=0.71(g/100 ml)，试估计该地成年男子血红蛋白95的参考值范围。l根据前表得95参考值范围：l下限：1.96s=13.451.960.71 =12.06(g/100ml)l上限：1.96s=13.451.960.71 =14.84(g/100ml)l例、某地调查120名健康成年男子的第1秒肺通气量得均数 =4.2L，标准差S=0.7L，试估计该地区健康成年男子的第1秒肺通气量的95参考值范围。l解题，由于第1秒肺通气量仅过低属于异常，故取单侧下限。该地区健康成年男子的第1秒肺通气量的95参考值范围为：l下限：l方法二、百分位数法 双侧 P2.5P97.5 单侧 (低侧)P5 ；(高侧)P95 l方法三、对数正态分布法 x=lnX，经变换后的x分布服从正态分布。按正态分布法算出x值的参考值范围，再计算反对数，即得所求。谢谢！