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1、4.3 参量根轨迹的绘制参量根轨迹的绘制n n在绘制根轨迹时，如果可变参数不是根轨迹增益在绘制根轨迹时，如果可变参数不是根轨迹增益在绘制根轨迹时，如果可变参数不是根轨迹增益在绘制根轨迹时，如果可变参数不是根轨迹增益而是其他参数而是其他参数而是其他参数而是其他参数(例如，某一校正元件的时间常数例如，某一校正元件的时间常数例如，某一校正元件的时间常数例如，某一校正元件的时间常数)，则所得的根轨迹称为，则所得的根轨迹称为，则所得的根轨迹称为，则所得的根轨迹称为参量根轨迹参量根轨迹参量根轨迹参量根轨迹。n n绘制参数根轨迹的法则与绘制常规的根轨迹的法绘制参数根轨迹的法则与绘制常规的根轨迹的法绘制参数根
2、轨迹的法则与绘制常规的根轨迹的法绘制参数根轨迹的法则与绘制常规的根轨迹的法则完全相同。在绘制参数根轨迹之前，引入则完全相同。在绘制参数根轨迹之前，引入则完全相同。在绘制参数根轨迹之前，引入则完全相同。在绘制参数根轨迹之前，引入等效等效等效等效单位反馈系统单位反馈系统单位反馈系统单位反馈系统和和和和等效传递函数等效传递函数等效传递函数等效传递函数概念，则常规根轨概念，则常规根轨概念，则常规根轨概念，则常规根轨迹的所有绘制法则，均适用于参数根轨迹的绘制。迹的所有绘制法则，均适用于参数根轨迹的绘制。迹的所有绘制法则，均适用于参数根轨迹的绘制。迹的所有绘制法则，均适用于参数根轨迹的绘制。为此，需要对闭
3、环特征方程为此，需要对闭环特征方程为此，需要对闭环特征方程为此，需要对闭环特征方程(4-36)n进行等效变换，将其写成如下形式进行等效变换，将其写成如下形式(4-37)其中，其中，A A为除为除K K外，系统外，系统任意的变化参任意的变化参数数，而，而 和和 为为两个与两个与A A无关的多项式。无关的多项式。显然式显然式(4-36)(4-36)应与式应与式(4-37)(4-37)相等，即相等，即(4-38)根据式根据式(4-38)(4-38)，可得等效的单位反，可得等效的单位反馈系统，其等效开环传递函数为馈系统，其等效开环传递函数为(4-39)n n利用式利用式利用式利用式(4-39)(4-3
4、9)画出的根轨迹，即是参数画出的根轨迹，即是参数画出的根轨迹，即是参数画出的根轨迹，即是参数A A变化时的变化时的变化时的变化时的参数根轨迹。需要强调指出，等效开环传递函数参数根轨迹。需要强调指出，等效开环传递函数参数根轨迹。需要强调指出，等效开环传递函数参数根轨迹。需要强调指出，等效开环传递函数是根据式是根据式是根据式是根据式(4-38)(4-38)得来的，因此得来的，因此得来的，因此得来的，因此“等效等效等效等效”的含义仅在的含义仅在的含义仅在的含义仅在闭环极点相同这一点上成立，而闭环零点一般是闭环极点相同这一点上成立，而闭环零点一般是闭环极点相同这一点上成立，而闭环零点一般是闭环极点相同
5、这一点上成立，而闭环零点一般是不同的。由于闭环零点对系统动态性能有影响，不同的。由于闭环零点对系统动态性能有影响，不同的。由于闭环零点对系统动态性能有影响，不同的。由于闭环零点对系统动态性能有影响，所以由闭环零、极点分布来分析和估算系统性能所以由闭环零、极点分布来分析和估算系统性能所以由闭环零、极点分布来分析和估算系统性能所以由闭环零、极点分布来分析和估算系统性能时，可以采用参数根轨迹上的闭环极点，但必须时，可以采用参数根轨迹上的闭环极点，但必须时，可以采用参数根轨迹上的闭环极点，但必须时，可以采用参数根轨迹上的闭环极点，但必须采用原来闭环系统的零点。这一处理方法和结论，采用原来闭环系统的零点
6、。这一处理方法和结论，采用原来闭环系统的零点。这一处理方法和结论，采用原来闭环系统的零点。这一处理方法和结论，对绘制开环零极点变化时的根轨迹同样适用。对绘制开环零极点变化时的根轨迹同样适用。对绘制开环零极点变化时的根轨迹同样适用。对绘制开环零极点变化时的根轨迹同样适用。例例4-5 4-5 一双闭环控制系统的框图如图一双闭环控制系统的框图如图4-144-14所示，试绘制以为参变量的根轨迹。所示，试绘制以为参变量的根轨迹。n n解：系统的开环传递函数为图4-14 双闭环控制系统的框图由于为参变量，因而不能根据的极点来画出系统的根轨迹。基于本题是绘制下列闭环特征方程n n的根轨迹，为此，把上式改写为
7、令系统的等效开环传递函数为其中，的极点为 ，零点为0。用例4-3的方法，不难证明该系统根轨迹的复数部分为一圆弧，其方程为 。图4-15为该系统的根轨迹。n n图图4-15 4-15 例例4-54-5的根轨迹的根轨迹 n n在系统设计中有时会遇到两个或两个以上在系统设计中有时会遇到两个或两个以上可变参数的情况，这类问题也可以用根轨可变参数的情况，这类问题也可以用根轨迹方法来研究。下面的例子说明有两个可迹方法来研究。下面的例子说明有两个可变参数时如何绘制根轨迹。变参数时如何绘制根轨迹。例例4-6 4-6 一单位反馈控制系统如图一单位反馈控制系统如图4-164-16所示，所示，试绘制以试绘制以K K
8、和和 为为参变量的根轨迹。参变量的根轨迹。图4-16 单位反馈控制系统 n解：系统的闭环特征方程为先令 ，则上式变成或写作令n n据此做出 对应的根轨迹，如图4-17(a)所示。这是 时，以为参变量的根轨迹。n n其次考虑 ，把闭环特征方程改写成令n n比较 ，可知 的开环极点就是 对应的闭环极点，因而 对应根轨迹的起点都在 的根轨迹曲线上。为了做出 对应的根轨迹，通常先令K为某一定值，然后根据 零、极点的分布做出参变量 时的根轨迹。如令K=4，则n n它的极点为j2，零点为0。不难证明，对应特征方程的根轨迹也为一圆弧，其方程为图4-17(b)为取不同值时所作的根轨迹簇。n n图图4-17 4
9、-17 根轨迹图根轨迹图n4.4 非最小相位系统的根轨迹非最小相位系统的根轨迹WORDS AND PHRASESnonminimum-phase system非最小相位系统非最小相位系统n在平面右半平面具有开环极点在平面右半平面具有开环极点(或零点或零点)的反馈系统，称的反馈系统，称为为非最小相位系统非最小相位系统(nonminimum-phase system)(nonminimum-phase system)，反之，反之若反馈系统的全部开环极点与零点均位于平面左半平面，若反馈系统的全部开环极点与零点均位于平面左半平面，则称这类系统为则称这类系统为最小相位系统最小相位系统。上面涉及的系统都属
10、于。上面涉及的系统都属于最小相位系统。最小相位系统。n绘制非最小相位系统根轨迹的基本规则与绘制最小相位绘制非最小相位系统根轨迹的基本规则与绘制最小相位系统根轨迹的基本规则完全相同。在控制工程中出现非系统根轨迹的基本规则完全相同。在控制工程中出现非最小相位系统，通常有如下三种情况。最小相位系统，通常有如下三种情况。n(1)(1)系统中存在局部的正反馈回路。系统中存在局部的正反馈回路。n(2)(2)系统中含有非最小相位元件。系统中含有非最小相位元件。n(3)(3)系统中含有滞后环节。系统中含有滞后环节。n在这三种情况下，系统根轨迹绘制的规则与上述的绘制在这三种情况下，系统根轨迹绘制的规则与上述的绘
11、制规则有所不同，下面分别给予说明。规则有所不同，下面分别给予说明。4.4.1 4.4.1 正反馈回路的根轨迹正反馈回路的根轨迹n n在某些控制系统中，其内环可能是一个正在某些控制系统中，其内环可能是一个正反馈内回路，如图反馈内回路，如图4-18所示。当具有正反馈所示。当具有正反馈内回路的控制系统不稳定时，其传递函数内回路的控制系统不稳定时，其传递函数中就有极点在中就有极点在s的右半平面。这里仅讨论正的右半平面。这里仅讨论正反馈内回路部分根轨迹的绘制。反馈内回路部分根轨迹的绘制。图4-18 具有正反馈内回路的控制系统n n图4-18中所示内回路的闭环传递函数为 相应的特征方程为即(4-40)由上
12、式可知，正反馈回路根轨迹的幅由上式可知，正反馈回路根轨迹的幅值条件与负反馈回路完全相同，但其相值条件与负反馈回路完全相同，但其相角却变为角却变为n基于式基于式(4-41)(4-41)所示的相角的特点，因而称所示的相角的特点，因而称相应的根轨迹为相应的根轨迹为零度根轨迹零度根轨迹。在绘制零度。在绘制零度根轨迹时，需要对根轨迹时，需要对4.24.2节中涉及相角条件的节中涉及相角条件的规则作如下的修改。规则作如下的修改。(4-41)规则规则3 3 实轴上线段成为根轨迹的充要实轴上线段成为根轨迹的充要条件条件(K K0)0)是该线段右方实轴上开环零点与是该线段右方实轴上开环零点与极点之和为偶数。极点之
13、和为偶数。n规则规则4 4 渐近线与实轴的夹角为渐近线与实轴的夹角为(4-42)规则规则6 6 开环共轭极点的出射角与开环共开环共轭极点的出射角与开环共轭零点的入射角为轭零点的入射角为(4-43)(4-44)n n除上述3条规则外，其余的规则均与负反馈系统根轨迹的绘制完全相同。4.4.2 4.4.2 系统中含有非最小相位元件系统中含有非最小相位元件n n 在绘制系统中含有非最小相位元件的在绘制系统中含有非最小相位元件的根轨迹时，必须注意开环传递函数根轨迹时，必须注意开环传递函数(分母或分母或分子分子)中是否含有中是否含有s最高次幂为负系数的因子。最高次幂为负系数的因子。若有，则根轨迹的相角条件
14、就变为由式若有，则根轨迹的相角条件就变为由式(4-41)去表征，因而所绘制的将是零度根轨迹。去表征，因而所绘制的将是零度根轨迹。对此，举例如下。对此，举例如下。n n 设一非最小相位系统如图设一非最小相位系统如图4-19所示。由所示。由相角条件得相角条件得图4-19 非最小相位系统图图4-19 4-19 非最小相位系统非最小相位系统n n即 不难证明，由上式做出的根轨迹的复数部分为一圆周，其方程为计算求得根轨迹(见图4-20)与虚轴的交点为j1，相应地，。这表明当 时，该系统为不稳定。图4-20 图4-19所示系统的根轨迹 4.4.3 4.4.3 滞后系统的根轨迹滞后系统的根轨迹n n在自动控
15、制系统中经常会出现滞后现象，在自动控制系统中经常会出现滞后现象，其传递函数称为时滞环节。包含时间滞后其传递函数称为时滞环节。包含时间滞后环节的系统，称为滞后系统，它也属于非环节的系统，称为滞后系统，它也属于非最小相位系统。由于滞后环节的存在，使最小相位系统。由于滞后环节的存在，使相位系统的根轨迹具有明显的特点。下面相位系统的根轨迹具有明显的特点。下面将介绍这种系统根轨迹的相位条件与幅值将介绍这种系统根轨迹的相位条件与幅值条件。条件。图图4-214-21为滞后系统的框图，它的闭环传为滞后系统的框图，它的闭环传递函数为递函数为图4-21 滞后系统的框图 相应地，闭环特征方程式为(4-45)令 代入
16、上式，据此，求得滞后系统根轨迹的相角条件和幅值条件分别为(4-45)n n式式(4-47)与式与式(4-5)的不同之处是式的不同之处是式(4-47)等号等号右方多了一个右方多了一个 项。显然，当项。显然，当 时，时，式式(4-47)就蜕化为式就蜕化为式(4-5)。当。当 时，时，s的的实部和虚部将分别影响根轨迹的幅值条件实部和虚部将分别影响根轨迹的幅值条件与相角条件。不难看出，式与相角条件。不难看出，式(4-43)所示的滞所示的滞后系统根轨迹的相角条件不是一常量而是后系统根轨迹的相角条件不是一常量而是 的函数。如果延迟时间的函数。如果延迟时间 很小，则很小，则 可可近似地表示为近似地表示为(4
17、-47)(4-48)n n这种近似既有较高的加精度，又能使根轨这种近似既有较高的加精度，又能使根轨迹的绘制大大得到简化。迹的绘制大大得到简化。4.5 用根轨迹分析控制系统用根轨迹分析控制系统n n4.5.1 根轨迹确定系统的有关参数根轨迹确定系统的有关参数 控制系统可供选择的参数不局限于开环增控制系统可供选择的参数不局限于开环增益益K K(open-loop gain)(open-loop gain)一个参数，有时还需要一个参数，有时还需要对其他的一些参数进行选择。对于这种情况，对其他的一些参数进行选择。对于这种情况，也可用根轨迹法。对此，举例如下。也可用根轨迹法。对此，举例如下。例例4-7
18、4-7 设一反馈系统如图设一反馈系统如图4-224-22所示。试选择所示。试选择参数参数K K1 1和和K K2 2，使系统同时满足下列性能指标的，使系统同时满足下列性能指标的要求。要求。图4-22 控制系统(1)(1)为斜坡输入时，系统的稳态误差为斜坡输入时，系统的稳态误差essess0.350.35。(2)(2)闭环极点的阻尼比闭环极点的阻尼比0.7070.707。(3)(3)调整时间调整时间tsts3s3s。解：系统的开环传递函数为相应地，静态误差系数为0.35由题意得 由上式可知，若要满足系统稳态误差的由上式可知，若要满足系统稳态误差的要求要求,K K2 2必须必须取取最小值，最小值，
19、K K1 1 必须必须取较大值。取较大值。在在s s的左半平面上，过坐标原点与负实轴的左半平面上，过坐标原点与负实轴成成4545角的直线，在此直线上闭环极点的阻角的直线，在此直线上闭环极点的阻尼比尼比均为均为0.7070.707。要求调整时间3s 必必须须大于大于4/3。为为了同了同时满时满足足和和ts要求，要求，闭环闭环极极点点应应位于位于图图4-23所示的阴影区域内。所示的阴影区域内。图图4-23 4-23 在在s s平面上希望极点的区域平面上希望极点的区域令 ，则图4-22所示系统的特征方程式为(4-49)设，则则式式(4-49)变变为为或(4-50)据此，做出以为参变量的根轨迹，如图4
20、-24所示。图图4-24 4-24 式式(4-50)(4-50)的根轨迹的根轨迹 为了满足静态性能(static characteristic)要求，试取 式(4-49)则改写为(4-51)式中，开环传递函数的极点为 以为参变量的根轨迹如图4-25所示。经过该图的坐标原点作一与负实轴成 45角的直线，并与根轨迹相交于 点 ,由根轨迹的 幅值条件，求出 即 由于所求闭环极点的实部 因而系统的调整时间为图图4-25 4-25 式式(4-51)(4-51)的根轨迹的根轨迹在单位斜坡输入时，系统的稳态误差为 由此可知，,能使系统达到预定的性能要求。4.5.2 4.5.2 指定指定K K0 0时的闭环传
21、递函数时的闭环传递函数 控制系统的闭环零点由开环传递函数中控制系统的闭环零点由开环传递函数中 的零点和的零点和 的极点组成的，它们一般为已知。的极点组成的，它们一般为已知。系统的闭环极点与根轨迹的增益系统的闭环极点与根轨迹的增益K K有关。如果有关。如果K K已知，就可以沿着特定的根轨迹分支，根据根已知，就可以沿着特定的根轨迹分支，根据根轨迹的幅值条件，用试探法求得相应的极点。轨迹的幅值条件，用试探法求得相应的极点。现举例如下。现举例如下。已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 求求K K0=0.50=0.5时系统的闭环极点。由该系统的时系统的闭环极点。由该系统的根轨迹图根轨迹图4-
22、264-26可知，在分离点可知，在分离点s s=0.4230.423处，根处，根据幅值条件求得据幅值条件求得K K0=0.3850=0.385。由此可知，当。由此可知，当K K0=0.50=0.5时，该系统的闭环极点为一对共轭复根和一个实时，该系统的闭环极点为一对共轭复根和一个实根，且此实根位于根，且此实根位于223 3之间。据此，如取之间。据此，如取s s3=3=2.22.2作为实验点，由幅值条件求得相应的作为实验点，由幅值条件求得相应的K K0 0值为值为显然，所求的显然，所求的K K0 0值略大于指定值值略大于指定值0.50.5。为此再。为此再取取s s3=3=2.1922.192作试探
23、，求得作试探，求得K K0=0.5010.50=0.5010.5。这表示这表示K K0=0.50=0.5时，时，s s3=3=2.1922.192是闭环的一个是闭环的一个极点。它的一对共轭复数极点可按下述的方极点。它的一对共轭复数极点可按下述的方法求取。法求取。图4-26 根轨迹图因为K0=0.5时的闭环特征多项式为用上式除以因式()，求得商为。令求得n n相应系统的闭环传递函数为相应系统的闭环传递函数为4.5.3 确定确定具有指定具有指定阻尼比阻尼比的闭环极点和单的闭环极点和单位阶跃响应位阶跃响应 n n根据指定的阻尼比值，由根轨迹图的坐标原点作一与负实轴夹角为 的射线。该射线与根轨迹的交点
24、就是所求的一对闭环主导极点，由幅值条件确定这对极点所对应的K0值。然后用上述的方法，确定闭环的其他极点。下面以图4-27所示的系统为例来说明。n n设系统闭环主导极点的阻尼比设系统闭环主导极点的阻尼比设系统闭环主导极点的阻尼比设系统闭环主导极点的阻尼比=0.5=0.5，试求：，试求：，试求：，试求：(1)(1)系系系系统的闭环极点和相应的根轨迹增益统的闭环极点和相应的根轨迹增益统的闭环极点和相应的根轨迹增益统的闭环极点和相应的根轨迹增益K K0 0；(2)(2)在单位在单位在单位在单位阶跃信号作用下的输出响应。阶跃信号作用下的输出响应。阶跃信号作用下的输出响应。阶跃信号作用下的输出响应。n n
25、由图由图由图由图4-264-26所示的根轨迹可知，系统的一对闭环主所示的根轨迹可知，系统的一对闭环主所示的根轨迹可知，系统的一对闭环主所示的根轨迹可知，系统的一对闭环主导极点导极点导极点导极点(dominant pole)(dominant pole)位于经过坐标原点且与负位于经过坐标原点且与负位于经过坐标原点且与负位于经过坐标原点且与负实轴组成夹角为实轴组成夹角为实轴组成夹角为实轴组成夹角为 的两条射线的两条射线的两条射线的两条射线上，显然，这两条射线与根轨迹的两条分支必然上，显然，这两条射线与根轨迹的两条分支必然上，显然，这两条射线与根轨迹的两条分支必然上，显然，这两条射线与根轨迹的两条分
26、支必然相交，交点就是所求的一对闭环主导极点。由图相交，交点就是所求的一对闭环主导极点。由图相交，交点就是所求的一对闭环主导极点。由图相交，交点就是所求的一对闭环主导极点。由图可知，可知，可知，可知，。因为。因为。因为。因为所以，所以，。根据幅值条件，求得相应的。根据幅值条件，求得相应的由于极点距虚轴的距离实极点是距虚轴距离的由于极点距虚轴的距离实极点是距虚轴距离的7 7倍倍多。因而是系统的闭环主导极点。与相应的闭环多。因而是系统的闭环主导极点。与相应的闭环传递函数为传递函数为n n若令若令 n n则则n n式中，式中，于是，于是上式改写为上式改写为n n对上式取拉氏反变换，求得 式中，等号右边第一项是输出的稳态分量，第式中，等号右边第一项是输出的稳态分量，第二、三项为瞬态分量。基于第二项的幅值小、衰减二、三项为瞬态分量。基于第二项的幅值小、衰减速度快，因而它对系统的响应仅在起始阶段起作用。速度快，因而它对系统的响应仅在起始阶段起作用。对系统响应起主导作用的是式中的第三项。对系统响应起主导作用的是式中的第三项。