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1、第二节第二节 偏导数偏导数1.偏导数的定义及其计算法偏导数的定义及其计算法2.偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系3.高阶偏导数高阶偏导数4.小结、作业小结、作业 我们已经知道一元函数的导数是一个很重要我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数，同样需要讨论它的变化率问对于多元函数，同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑题常常
2、要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念。概念。一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法如如 在在 处处 偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数一般地一般地 设设 下面讨论下面讨论 偏导数的计算方法偏导数的计算方法可以看出:定义时,变量 y 是不变的,实际上,是对函数,将 y 视为常数,关于变量 x 按一元函数导数的定义进行的：实质上是实质上是哇！爽！求多元函数的偏导数相应的一元函数的导
3、数.实质上是求忘记了,请赶快复习一下.如果一元函数的求导方法和公式多元函数的偏导数的计算方法,没有任何技术性的新东西.求偏导数时求偏导数时,只要将只要将 n 个自变量个自变量中的某一个看成变量中的某一个看成变量,其余的其余的 n1个个自变量均视为常数自变量均视为常数,然后按一元函数然后按一元函数的求导方法进行计算即可的求导方法进行计算即可 .解法一解法一解法二解法二解法三解法三将 y 看成常数将 x 看成常数 例例解解将将 y 看成常数时看成常数时,是对幂函数求导是对幂函数求导.将将 x 看成常数时看成常数时,是对指数函数求导是对指数函数求导.例例解解 例例解解例例 解解注注求分界点、不连续点
4、处的偏导数要用定义。求分界点、不连续点处的偏导数要用定义。证证 警告各位！偏导数的符号是一个整体记号,与的商.不能像一元函数那样将看成是xyzO.偏导数的几何意义偏导数的几何意义 二元函数的偏导数存在,只是表明函数沿 x 轴和 y 轴方向是连续的,而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续,故由偏导数存在不能推出函数连续.偏导数的几何意义说明了一个问题偏导数的几何意义说明了一个问题:二、二、偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，由由 k 的任意性及极限的唯一性可
5、知的任意性及极限的唯一性可知该极限不存在该极限不存在,解解但是但是反之反之解答解答不能不能.例如例如,对多元函数来说对多元函数来说,函数的偏导数函数的偏导数存在与否与函数的连续性无必然关系存在与否与函数的连续性无必然关系.这是多元函数与一元函数的这是多元函数与一元函数的一个本质区别一个本质区别.想想是什么问题想想是什么问题?三、高阶偏导数三、高阶偏导数纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.解解=问题：问题：混合偏导数一定与求导顺序无关吗？混合偏导数一定与求导顺序无关吗？例例 解解解解另解另解解解证毕证毕1、偏导数的定义、偏导数的定义2、偏导数的计算、偏导数的物理意义、偏导数的计算、偏导数的物理意义、偏导数的几何意义偏导数的几何意义4、高阶偏导数、高阶偏导数纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的（相等的充分充分条件）条件）四、小结四、小结3、偏导数存在与连续性的关系、偏导数存在与连续性的关系练习题练习题练习题答案练习题答案 2、作业作业P18 1（4）,（6）,（8）；3；5；6（3）；7；8；9（2）