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1、第第3 3讲机械振机械振动2021/8/11 星期三1一、描述简谐运动的物理量一、描述简谐运动的物理量1位移：位移：方向为从方向为从 指向振子所在的位置，大小指向振子所在的位置，大小 为为 到该位置的距离到该位置的距离 位移的表示方法：以平衡位置为原点，以振动所在的直位移的表示方法：以平衡位置为原点，以振动所在的直 线为坐标轴，规定正方向，则某一时刻振子线为坐标轴，规定正方向，则某一时刻振子(偏离平衡位偏离平衡位 置置)的位移用该时刻振子所在位置的坐标来表示振子通的位移用该时刻振子所在位置的坐标来表示振子通 过平衡位置时，位移改变过平衡位置时，位移改变 平衡位置平衡位置平衡位置平衡位置方向方向
2、2021/8/11 星期三22速度：速度：描述振子在振动过程中经过某一位置或在某一时描述振子在振动过程中经过某一位置或在某一时 刻运动的快慢在所建立的坐标轴上，速度的正负号表刻运动的快慢在所建立的坐标轴上，速度的正负号表 示振子示振子 与坐标轴的正方向相同或相反与坐标轴的正方向相同或相反 振子在最大位移处速度为零，在振子在最大位移处速度为零，在 时速度最大，时速度最大，振子在最大位移处速度方向振子在最大位移处速度方向 运动方向运动方向 平衡位置平衡位置发生改变发生改变2021/8/11 星期三33加速度：加速度：根据牛顿第二定律，做简谐运动的物体的加根据牛顿第二定律，做简谐运动的物体的加 速度
3、速度a 由此可知，加速度的大小跟位移大小由此可知，加速度的大小跟位移大小 成正比，其方向与位移方向总是相反成正比，其方向与位移方向总是相反 振子在位移最大处加速度振子在位移最大处加速度 ，通过，通过 时加时加 速度为零，此时加速度改变方向速度为零，此时加速度改变方向最大最大平衡位置平衡位置2021/8/11 星期三44回复力回复力 (1)定义：振动物体所受的总是指向定义：振动物体所受的总是指向 的力的力 (2)来源：是振动物体所受的沿振动方向所有力的合力来源：是振动物体所受的沿振动方向所有力的合力 (3)效果：产生振动加速度，改变速度的大小，使物体回效果：产生振动加速度，改变速度的大小，使物体
4、回 到平衡位置到平衡位置平衡位置平衡位置2021/8/11 星期三5(4)举例：举例：水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力；水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力；竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力；力；单摆的回复力是摆球所受重力在圆周切线方向的分力，单摆的回复力是摆球所受重力在圆周切线方向的分力，不能说成是重力和拉力的合力不能说成是重力和拉力的合力(5)证明：在简谐运动中回复力证明：在简谐运动中回复力Fkx，我们常常利用这，我们常常利用这一特征来证明一个振动是否是简谐运动一特征来证明一个振动是否是简谐运动2021/8/11 星期三65振幅
5、、周期振幅、周期(频率频率)和相位和相位 (1)振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离，它是振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离，它是 标量，反映了振动的强弱标量，反映了振动的强弱 (2)周期和频率周期和频率 定义：振动物体完成一次全振动所需要的时间叫定义：振动物体完成一次全振动所需要的时间叫 做振动的周期单位时间内完成全振动的次数叫做振做振动的周期单位时间内完成全振动的次数叫做振 动的频率动的频率 意义：表示物体振动的快慢意义：表示物体振动的快慢 关系：关系：f2021/8/11 星期三7固有周期和固有频率：如果振动系统不受外力的作用，此固有周期和固有频率：如果振动系统不受外力的作用，此时的振
6、动叫固有振动，其振动周期和频率叫做固有周期和固时的振动叫固有振动，其振动周期和频率叫做固有周期和固有频率有频率(3)相位：是用来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状相位：是用来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态的物理量，其单位为弧度态的物理量，其单位为弧度2021/8/11 星期三8 (1)振动物体经过同一位置时，其位移大小、振动物体经过同一位置时，其位移大小、方向是一定的，而速度方向却有指向或背离平衡位置两方向是一定的，而速度方向却有指向或背离平衡位置两种可能种可能(2)当振子经过平衡位置时，回复力一定为零，但所受合当振子经过平衡位置时，回复力一定为零，但所受合外力不一定为零外力不一定为
7、零2021/8/11 星期三9二、简谐运动的规律二、简谐运动的规律1简谐运动的两种模型简谐运动的两种模型 模型模型比比较项较项目目弹弹簧振子簧振子单摆单摆模型示意模型示意图图特点特点(1)忽略摩擦力，忽略摩擦力，弹弹簧簧对对小球小球的的弹弹力提供回复力力提供回复力(2)弹弹簧的簧的质质量可忽略量可忽略(1)细线细线的的质质量、球的量、球的直径均可忽略直径均可忽略(2)摆摆角角很小很小(3)重力的切向重力的切向分力提供回复力分力提供回复力2021/8/11 星期三10 模型模型比比较项较项目目弹弹簧振子簧振子单摆单摆公式公式回复力回复力Fkx (1)回复力回复力 F (2)周期：周期：T2202
8、1/8/11 星期三112简谐运动的表达式简谐运动的表达式 (1)动力学表达式：动力学表达式：F .其中其中“”表示回复力与位移的方向相反表示回复力与位移的方向相反 (2)运动学表达式：运动学表达式：xAsin(t)，其中，其中A代表代表 ，2f表示简谐运动的快慢，表示简谐运动的快慢，(t )代表简谐运动代表简谐运动 的的 ，叫做初相叫做初相kx振幅振幅相位相位2021/8/11 星期三123简谐运动的对称性简谐运动的对称性 (1)瞬时量的对称性：做简谐运动的物体，在关于瞬时量的对称性：做简谐运动的物体，在关于 对称的两点，回复力、位移、加速度具有对称的两点，回复力、位移、加速度具有 等大反向
9、的关系另外，速度的大小、动能具有对等大反向的关系另外，速度的大小、动能具有对 称性，速度的方向可能相同或相反称性，速度的方向可能相同或相反平衡位置平衡位置2021/8/11 星期三13(2)过程量的对称性：振动质点来回过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如通过相同的两点间的时间相等，如tBCtCB；质点经过关于平衡位置对；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段时时间相等，如称的等长的两线段时时间相等，如tBCtBC，如图，如图1211所示所示2021/8/11 星期三144简谐运动的图象简谐运动的图象 (1)从平衡位置开始计时，函数表达式为从平衡位置开始计时，函数表达式为x
10、Asint，图象如图图象如图1212甲所示甲所示 (2)从最大位移处开始计时，函数表达式为从最大位移处开始计时，函数表达式为xAcost，图象如图图象如图1212乙所示乙所示2021/8/11 星期三15 (1)简谐运动的图象并非振动质点的运动轨迹简谐运动的图象并非振动质点的运动轨迹(2)利用简谐运动的对称性，可以解决物体的受力问题，如放利用简谐运动的对称性，可以解决物体的受力问题，如放在竖直弹簧上做简谐运动的物体，若已知物体在最高点的合在竖直弹簧上做简谐运动的物体，若已知物体在最高点的合力或加速度，可求物体在最低点的合力或加速度力或加速度，可求物体在最低点的合力或加速度(3)由于简谐运动具有
11、周期性，因此涉及简谐运动时往往出现由于简谐运动具有周期性，因此涉及简谐运动时往往出现多解分析时应特别注意，物体在某一位置时，位移是确定多解分析时应特别注意，物体在某一位置时，位移是确定的，而速度方向不确定，由于周期性，时间也不确定的，而速度方向不确定，由于周期性，时间也不确定2021/8/11 星期三16三、机械振动中能量的转化、受迫振动、共振三、机械振动中能量的转化、受迫振动、共振1机械振动中能量的转化机械振动中能量的转化 (1)振动的能量：振动系统各时刻的振动的能量：振动系统各时刻的动能和势能动能和势能 之和，之和，即振动系统的总机械能即振动系统的总机械能 (2)能量的转化能量的转化 简谐
12、运动：振动系统中动能、势能相互转化，机械能简谐运动：振动系统中动能、势能相互转化，机械能 阻尼振动：振动系统的机械能逐渐减小，振动的振幅阻尼振动：振动系统的机械能逐渐减小，振动的振幅 逐渐减小逐渐减小守恒守恒2021/8/11 星期三172受迫振动受迫振动 (1)定义：系统在周期性的外力定义：系统在周期性的外力(驱动力驱动力)作用下的振动作用下的振动 (2)振动特征振动特征 频率特征：振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟频率特征：振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟 物体的固有频率无关物体的固有频率无关2021/8/11 星期三18振幅特征振幅特征a驱动力的频率与系统的固有频率相差越大时，振幅
13、驱动力的频率与系统的固有频率相差越大时，振幅 b驱动力的频率与系统的固有频率相差越小时，振幅驱动力的频率与系统的固有频率相差越小时，振幅 c驱动力的频率与系统的固有频率相等时，振幅驱动力的频率与系统的固有频率相等时，振幅 越小越小越大越大最大最大2021/8/11 星期三193共振共振条件条件驱动驱动力的力的频频率率(或周期或周期)跟系跟系统统的固有的固有频频率率(或周期或周期)相等相等现现象象振幅振幅A最大最大共振共振曲曲线线2021/8/11 星期三20坐坐标轴标轴的意的意义义横坐横坐标标：表示：表示驱动驱动力的力的频频率率纵纵坐坐标标：表示系：表示系统统做受迫振做受迫振动动的振幅的振幅利
14、用与利用与防止防止利用：使利用：使驱动驱动力的力的频频率接近系率接近系统统的固有的固有频频率率防止：使防止：使驱动驱动力的力的频频率率远远离系离系统统的固有的固有频频率率2021/8/11 星期三21 如图如图1213所示，所示，两木块的质量为两木块的质量为m、M，中间弹簧，中间弹簧的劲度系数为的劲度系数为k，弹簧下端与，弹簧下端与M连接，连接，m与弹簧不连接，现将与弹簧不连接，现将m下压一段距下压一段距离释放，它就上下做简谐运动，振离释放，它就上下做简谐运动，振动过程中，动过程中，m始终没有离开弹簧，试求：始终没有离开弹簧，试求：(1)m振动的振幅的最大值；振动的振幅的最大值；(2)m以最大
15、振幅振动时，以最大振幅振动时，M对地面的最大压力对地面的最大压力2021/8/11 星期三22要使要使m振动过程中始终不离开弹簧，振动过程中始终不离开弹簧，m振动的最大振动的最大振幅对应振幅对应m振到最高点时弹簧处于原长状态振到最高点时弹簧处于原长状态.m振动振动到最低点时，弹簧对到最低点时，弹簧对M的压力最大，的压力最大，M对地面的压对地面的压力也最大力也最大.2021/8/11 星期三23 解题指导解题指导(1)在平衡位置时，设弹簧的压缩量为在平衡位置时，设弹簧的压缩量为x0，有：，有：kx0mg.要使要使m振动过程中不离开弹簧，振动过程中不离开弹簧，m振动的最高点不能振动的最高点不能高于
16、弹簧原长处，所以高于弹簧原长处，所以m振动的振幅的最大值振动的振幅的最大值Ax02021/8/11 星期三24 (2)m以最大振幅以最大振幅A振动时，振动到最低点，弹簧的振动时，振动到最低点，弹簧的 压缩量最大，为压缩量最大，为2A2x0 对对M受力分析可得：受力分析可得：FNMgk Mg2mg，由牛顿第三定律得由牛顿第三定律得 M对地面的最大压力为对地面的最大压力为Mg2mg.答案答案(1)(2)Mg2mg2021/8/11 星期三25 (2011温州模拟温州模拟)如图如图1214所示为一弹簧振所示为一弹簧振子的振动图象，试完成以下问题：子的振动图象，试完成以下问题：2021/8/11 星期
17、三26 (1)写出该振子简谐运动的表达式写出该振子简谐运动的表达式 (2)在第在第2 s 末到第末到第3 s末这段时间内，弹簧振子的加末这段时间内，弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？(3)该振子在前该振子在前100 s的总位移是多少？路程是多少？的总位移是多少？路程是多少？2021/8/11 星期三27分析该题时可关注以下四点：分析该题时可关注以下四点：(1)振子的初始位置及运动方向；振子的初始位置及运动方向；(2)振子位移的大小、方向及其变化趋势；振子位移的大小、方向及其变化趋势；(3)由位移变化判断由位移变化判断a、v、Ek、E
18、p的变化；的变化；(4)由运动特点确定位移和路程由运动特点确定位移和路程.2021/8/11 星期三28 解题指导解题指导(1)由振动图象可得：由振动图象可得：A5 cm，T4 s，0则则 rad/s故该振子做简谐运动的表达式为：故该振子做简谐运动的表达式为：x5sin (cm)2021/8/11 星期三29 (2)由图由图1114可知，在可知，在t2 s时振子恰好通过平衡时振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移值不断加位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移值不断加大，加速度的值也变大，速度值不断变小，动能不断减小，大，加速度的值也变大，速度值不断变小，动能不断减小，弹
19、性势能逐渐增大当弹性势能逐渐增大当t3 s时，加速度的值达到最大，时，加速度的值达到最大，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值 (3)振子经过一个周期位移为零，路程为振子经过一个周期位移为零，路程为54 cm20 cm，前，前100 s刚好经过了刚好经过了25个周期，所以前个周期，所以前100 s振子位移振子位移x0，振子路程，振子路程s2025 cm500 cm5 m.答案答案见解题指导见解题指导2021/8/11 星期三30 如图如图1215所示，所示，光滑圆弧槽半径为光滑圆弧槽半径为R，A为最低点，为最低点，C到到A的距离远小于的距离远小于
20、R.两个可视为质两个可视为质点的小球点的小球B和和C都由静止开始释放，都由静止开始释放，要使要使B、C两球在两球在A点相遇问点相遇问B到到A点的距离点的距离H应满足什么条件？应满足什么条件？2021/8/11 星期三31将将C球的运动与单摆的运动类比，可知球的运动与单摆的运动类比，可知C球做简谐球做简谐运动，又因运动，又因C球运动的周期性和重复性，球运动的周期性和重复性，B、C相相遇的时间必有多解遇的时间必有多解.2021/8/11 星期三32 解题指导解题指导 由题意知由题意知C球做简谐运动，球做简谐运动，B球做自由球做自由落体运动落体运动C、B球相遇必在球相遇必在A点，而点，而C球从开始释放至到达球从开始释放至到达A点经历的时间为点经历的时间为tC (2n1)(n1,2,3)，B球到达球到达A点经历的时间为点经历的时间为tB，由，由H gtB2决定决定2021/8/11 星期三33因为相遇时因为相遇时tBtC，所以所以tB所以所以H答案答案2021/8/11 星期三342021/8/11 星期三35