《清华大学任玉新---高等计算流体力学.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《清华大学任玉新---高等计算流体力学.docx（263页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、主要内容任玉新1. Basics2. Methods for compressible flows1) The mathematical properties of Euler equations2) Shock wave and entropy conditions3) Riemann problem and the Godunov scheme4) Approximate Riemann solvers: HLL solver and Roe solver5) TVD scheme6) ENO/WENO scheme7) The compact scheme3. Methods for i
2、ncompressible flows1) The staggered and the colocated grids2) The MAC method3) The SIMPLE method4) The projection method5) Other methods6) Solution of N-S equations on the nonstaggered gridReferences1 E. F. Toro, Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics, Springer, 1997 (First edition
3、)2 J. D. Anderson, Computational fluid dynamics: basics with applications, Springer (清华大学出版社影印版)3 Barth and Deconinck (eds.) High order method for computational physics, Lecture Notes in Computational Science and Engineering, 9. Springer, 19994 Ferziger and Peric, Computational method for fluid dyna
4、mics, Springer, 19965 T. J. Chung, Computational fluid dynamics, Cambridge University Press, 20026 J. W. Thomas, Numerical partial differential equations: conservation laws and elliptic equations. Texts in applied mathematics 33, Springer, 1999 7吴子牛，计算流体力学基本原理，科学出版社，2002.8 Sherrie L. Krist, Robert T
5、. Biedron, Christopher L. Rumsey CFL3D Userz s Manual, The NASA Langley Research Center, Hampton, VA9 S. K. Lele, J. Comput. Phys. 103, 16 (1992)10 S. Pirozzoli, J. Comput. Phys. 178 (2002)11Yu-Xin Ren, Miao er Liu, Hanxin Zhang, J. Comput. Phys. 192 (2003)FTP: 166, 111.37. 201Usr:cfdPasswd:cfd2005E
6、mail： ryxtsinghua. edu. cn高等计算流体力学讲义(1)第一章计算流体力学基本原理第1节 流体力学基本方程、非定常可压缩NavierStokes方程不计品质力的情况下，在直角坐标系中，守恒型N-S方程可以写为下列向量形式:(1)au a(F-fv)3(g-gv)3(h-h) 1- udt dx dydz其中ppupvpw 、pupu2 4- ppvupuwF =puvG =pv2 + pH =pvwpwpuwpvwpw2 + p(pE,pE + p)u,、SE + p)叱、(pE + p)叫0 (00如果忽略N-S方程中的粘性和热传导,得到的简化方程为Euler方程:3/
7、 dx dy dz方程工,称为向量守恒型方程。其重要特点是：连续、动量和能量方程被写为统一形式。其中，U,F,G,H,F,G,H,均焉列向量，U是 方程的解向量，耦篇守恒燮数；F,G,H,F,G,.,H,而焉通量(flux) -具醴F,G,H焉辗粘通量，F,G,H,焉粘性通量。所谓守恒型方程，是空间导数项为散度的形式的方程。匕工式所示的向量型守恒方程，实际上仍然是散度形式。显然，1,工式的另一 种等价形式为：3U -字+ V E = 0，(2)dt其中E = (F-F)i + (G-Gl)j + (H-H )k，或E = Fi + Gj + Hk，通量张量，i,j,k：g直角坐襟系三他坐檄轴方
8、向的罩位基向量。把工式在任意固定的控制体上积分，并利用Gauss公式，有 这就是守恒积分型方程。可见，守恒的微分、积分型方程之间有直接的联系。，式是我们以后将要讲到的有限体积方法的 出发方程，而4 ,或,是则是有限差分方法的出发方程。二、流体力学方程的简化形式根据具体流动状态，N-S方程可以进行各种简化。简化的形式及其适用条件是理论流体力学的重要研究内容之一。这里我们对于 各种简化方程作一归纳，见下图：representation)图LNS方程的简化形式三、曲线坐标系中的基本方程当求解域的形状比较复杂时，计算流体力学方法通常在曲线坐标系中实施。因此，有必要得到曲线坐标系中流体力学基本 方程的形
9、式。在曲线座标中，向量可以采用在直角坐标中的分量形式，也可以采用协变或逆变分量，基本方程也将因此呈现出不同的 形式。最简单，应用也最普遍的形式是向量分量为直角坐标系中的分量。下面，我们讨论这种情况下的流体力学基本方程。直角坐标到曲线库标的变换及其逆变换关系为:S = S(x,y) x = x()1、导数的变换对于一阶偏导数，根据链式求导法则，有同理可得对于二阶偏导数，有30 E d a、 a .a。、 +而九+&添（转）+/流工）同理可得迪迦卢，加” 犷一考+而、y券M+嬴4%+么)翳嘿以+飘+把导数的变换关系代入微分方程,就可以得到微分方程在计算平面中的形式。以直角坐标系中的Laplace方
10、程献。d2y切 =0Gx + gy y) =() Xfj + Cy) 为 + &x/rj + m一(%工 + &xy%)X + (Jxy/ + 或y ) + 及 + m 为 =盘(/)2 +21凸为 +品(%)2 +4局 +4 ylM=0上面四个关系中，只有三个是独立的，写成矩阵形式，有:XgX2xnyn (% 了所以-1-Jxnyn J（x）-24必J （%为+/4）-IJxWJ）2惮%+或+女工切+6。为。-J-%么 外 一-1Av,）2-Jxnyn-2仇为42为+%”)一2人与J(为产人代名用+% 么为 +%y切。1封错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。式的右端暹行有限差分蹄散同理
11、三、任意曲线坐标系中流体力学方程组的守恒形式au a（F-F）a（G-G,.）_r1 U dz dx dy.就可以算出短，以,外/阳小。考虑直角坐标系中的二维守恒型Navier-Stokes方程:利用一阶导数的变换公式，有au a(F-F) w-gj a(F-Fv) a(G-Gv) o次 讹s， 讹 - 加I， 沏 ,y错误！未找到引用源。式耦:6月)平面上Navier-Stokes方程的弱守，直形式。在错误！未找到引用源。式雨版IJ乘以Jacobian J，有au a(F-F)a(G-G) a(F-Fr) a(G-G) o上面的方程中的各项可以进一步整理：,au a(ju)dt dtj a詈
12、2 + J -与GJ 或 q 4( F _ F北 + (G - G,)短-(F-Fl.)(Jr)-(G-Gv )-(7.)试试J *_用/ +J 等 /=1_ j(F - F,)/ + (G - G,九d/J dr)-(F-Fv)-(Jt7v)-(G-Gv)-(Jt7v),dr)07得+J(F-Fy) + (G-Gv)S +，J(F-4)/ +(G-GV)7 dt dgdrj.O -L-(F-Fv)(Jt) + -(J7t)-(G-Gv)(Jv)4-(J/7v) = 0M drjdg y dr/ y注意到o O= =lz JZe E9步手+)y(-aa?(3= =- - - -JZ )zJJ
13、yM a 而+ +y y2鳍鳍rL rL所以，工式可化简为誓+加KftM+（g-g）&+飙kf-fm+（g-g）%=0。，错误！未找到引用源。式耦:平面上Navier-Stokes方程的强守恒形式，一般1己焉：甯 + 得d，) + .(G - GJ = 0，(8)其中U = JUF = JFt+G.1.G = JF7i+G oF.=JF点+G 总G = JF4+G耳,第2节有限差分方法和有限体积方法本节从一般意义上介绍求解Euler方程的有限体积方法和有限差分方法。本节将不介绍具体的空间离散格式，也不涉及时间导数 的离散方法；而是以半离散的有限差分和有限体积方法为例，讨论有限体积和有限差分方法
14、的主要特徵以及二者之间的关系。注意到, 本节中的所有分析，都假定网格是不随时间变化的，因此所有几何量都可以从时间导数项中提出。当网格随时间变化，例如动网格的 情况下，除了随时间变化的几何量不能从时间导数项中提出来，其他的分析和本书是相同的。考虑二维守恒型Euler方程：(9)也+/+也=0% dx dy其中：工式也可以写为：(10)图3.有限体积方法的控制体一、有限体积方法一方案A考期B 3所示控制醴。,了，在控制醴Q上稹分(2)式，有du.dt ，J+ j(Fi +),而出a%(3)其中Qj =J Udxdy二(3)式的通量项可以写为:(4)，(行 + G) ndl = Y nxF(U)+n
15、yG(U)dl a%z %其中方是控制醴遏界的外法用泉罩位向量；5代表控制的四他遏，As代表控制醴的角黠，参考上圈，Ao=A4。(3)式可以写为:aUj. 3t m,以才 + 自r(U) +2(U)力=0(5)到目前为止，(5)式是精确的。有限体积方法主要研究如何对(5)式中的积分项进行近似。最简单的近似方法是采用中点公式对积分项进行数值积分。以s=3的控制体边界(其中点记为i+1/2, j)为例：瓦+. = f； lnxF(U) + nyG(U )dl = nxF(U) + nyG(U )i+V2J (A/),+I/2y(6)区M2,耦:遏界虑的数值通量。其他各边的计算方法类似。把4各边的数
16、值通量的运算式代入(6)式，就得到了所谓半离散的有限体积格式:dU .1 _才+乩_皿+ &2+ &i)=0(7)这里需要强调的是：1)上面的过程只是对空间项进行了离散，时间导数项尚未离散，所以称为半离散格式。时间离散的方法可采用向 前差分，向后差分，Runge-Kutta方法等。2)有限体积方法只能计算出守恒变数在控制体内的平均值，但计算通量时需要知道物理量 在某些具体点上的值。所以需要由单元上物理量的平均值估计物理量的空间分布，这一过程成为“重构(reconstruction)。最曾罩的重情方法熬焉：%，其中(i，j)黠位於相愿控制心的位置。这种方法至多可达到空间二阶精度，与(6)式中采用
17、中点公式是相协调的，在本节我们就采用这种方法。下面讨论(6)式如何具体计算。假定控制醴遏界篇直小泉，即(6)式中的&)n/2j可以精硅算。在网格充分光滑的条件下， 通量F, G至少可由下面两种方法得到：i- Uw=(，j+U“)/2，F(U)m/2j = F(/,.+1/21.),G(f/),+1/2J =G(7,+1/2i.)；ii- F(U)M/2J =F(1/.)+F(/j+u)/2,G(t/)i+1/2J =G(%j) + G(UQ/2。上面的方法与中心差分的思想类似。应该指出这两种方法并不是计算数值通量的合适方法，因为他们可能导致格式不稳定。这里使用 这两种方法主要是为了说明有限体积
18、方法的概念，实用的计算通量的方法必须引入某种形式的人工粘性或者格式粘性。在计算出通量 以后，在加上合适的时间方向的积分方法，就构成了完整的有限体积格式。下面总结有限体积方法实施的具体步骤：i由n畤刻的Uj重情n畤刻U(x, y,tn)的分伟。ii在控制体的每个边界上计算数值通量。iii探用逾富的畤方向的蹄散方案算出47二、有限体积方法一方案B有限体积方法也可以通过曲线座标中的守恒型方程得到。考虑曲线座标中的Euler方程:d（F+G.）Ja（尸/ +G%）J11= U（ o ）dt讹加道凄假定格是静止的=0，是辗量铜的且4=的=1。注意到在曲坐檄系中应是正方形。在%上稹分（8）式有:誓心必+匚
19、：二（延+G ）仆=一（必+G媒 W切（第+ /：；（、+ G 小）Jl叱i-KF 小 +G%）J d& = 0探用中黠公式近似上式中的稹分加注意到4 = =1，有：d（U ）看Qj + 出心 +G）w （必 +G$）t%（ 10）+ （、+G%）,W2 （2 +G%）e/2 = 0其中i+l/2,j处的数值通量为：“j =K抬+G1）M2j（H）因此，基于曲线座标的有限体积格式可以写为：+ ；(i+l/2J 1 “T/2J + iJ+1/2 一 iJ-1/2)=。( )Ji.j显然，（12）式和（7）式应该是等价的。因此有:O_ LJ4+1/2,/ 一H= Z7-，一1/2J（3）H , =
20、 H 以及J i,j 一GJ) i+1/2广(O+I/2J = (Ay+i/2j&J) i+l/2J=(,O+I/2J = (A).+|/2 y.()飞广一(勺 M)=(Ay)T/2j&J) i-/2J= = (-T/2J ( 14 )(J) /J+l/2 =(*4)w2=-(Ay),w2(% J) 51/2 = (v&)iJ+l/2 =心)ij+1/2W) i,7.1/2=-(3/2 = -(Ay)iJ-l/2(，) 3/2 =一(v4),JT/2=(-),JT/2其中，( l/2,j =( l/2,j+l/2( l/2,j-l/2( )iJl/2 =()i+l/2,；l/2 -( )i-l
21、/2Jl/2注意到，向量（）源/2/ + &J）N/2/的方向舆控制醴的外法的方向她不一定相同，（）引/2/ +（）引/2/是指向1或_!增加的 方向。在计算中，采用这种定义更为方便。我年号定羲指向i或j增加的方向的军位法向量:g方*，万* _（j）i+l/2/ + 记_（AV）i+l/2/ +（）i+l/2J /（ 5 ）“i+l/2,M+W由（11）式广+G）J+s =；F（U）+ ;G（U）lw2,j（&）Hg（16）则基于直角坐标系Euler方程的有限体积方法和基于曲线坐标系的有限体积方法均可写为dU .1+ 万（”,+1/2厂”,T/2J + 九+1/2 一 ”,JT/2）=。（17
22、）因此，（14）成立时，从直角坐标系方程出发构造有限体积方法和从曲线坐标系方程出发是完全等价的。三、有限差分方法下面讨论有限差分方法。螯寸（8）式直接迤行半雕散差分近似（只雕散空数项）加注意到4 = = 1，如果我福号要求差分格式是守，成型的，即有：+G 短）JL+i/2,（F&+G&.）_I/2JJi.j（ 18）+ （Frjx+ G%） 2 + G%）J L JT/2 = 0在形式上（18）舆（12）非常似，唯一的1M别是此日寺因燮数是Uj而非罩元上的平均值Qj。有限差分方法和有限体积方法的主要区 别体现在通量的计算上。在有限差分方法中没有定羲控制醴，所以度量彳系数在军元遏界虑没有定羲，因
23、此常探用中心差分畤，Y+S =（至+6&）+“2的算方法篇：唳=（- + Gj- +（成+G）“/2（19）在有限差分方法中，在格黠上的度量彳系数（如GJ）,）也需要通谩差分方法If算1因此格的光滑性有一定要求。四、有限差分方法与有限体积方法的异同有限体积方法和有限差分方法是密切相关的。事实上，在矩形网格上，二者可以做到完全等价。但是，从实施过程及计算结果看，有 限差分方法和有限体积方法有如下不同：i）有限体积方法中几何量（度量系数）和物理量的计算是独立的；有限差分方法要对几何量（度量系数）和物理量的确定组合进行差 分运算，所以采用不同的差分格式，儿何量对计算结果的影响是不同的。ii）有限差分
24、方法计算得到的是网格点上的物理量，有限体积方法得到的是单元的平均值。有限体积方法的特点是：i）当网格尺度有限时，可以比有限差分方法更好的保证品质守恒、动量守恒和能量守恒定律的满足；ii）在复杂区域上容易实施；iii）对多维问题而言，高精度（高于二阶）有限体积方法的构造和实施比较困难。有限差分方法的特点是：i）有限差分方法只需构造偏导数的离散方法，这使得它比较容易推广到高阶精度，对于多维问题也是如此。ii）在曲线坐标系中，有限差分方法要对几何量和物理量的确定组合进行差分离散，这样做的后果之一是有限差分方法可能产生所谓du几何诱导误差（Geometry Induced Error）。例如，考虑一无
25、界均匀流场，易知，该流动应是定常的。即 J =0。在由一般曲 dt东泉座襟横成的格（求解域可以是有界也可以是辗界的，算遏界修件是给定的均匀流勤参数）上探用有限差分方法言算此流勤，可 能有廿。（而株用有限频方法则有必J,寸=。）这种现象，是几何诱导误差的表现之一。作渠1 ：初始脩件篇一辗界均勺流埸，瞪明，探用有限If稹方法求解流勤冏堰畤，恒有：V/,J,二旦=0 ；而在一般曲坐襟系 dtdU .中，用有限差分方法求解冏题畤，即J可能有 r乜。0。情造一槿度量彳系数（metric terms）的算方法，使得使用有限差分方法暹 dt行算日寺仍有V寸=。提示：假定网格（或控制体）是静止的，具体做法可参
26、考AIAA J Vol. 38, No. 9 PP. 1586-1593.第3节半离散格式的时间推进方法，N-S方程的计算方法一、半离散格式的时间推进方法在以后的章节，我们在推导差分格式时，经常用到所谓“半离散格式，即时间方向的导数暂时不离散，只进行空间离散。这种 做法的好处一是可以以简明的方式集中讨论比较复杂的空间格式，而是可以构造专门的时间方向离散方法，而这种时间离散方法，理 论上可以和各种空间离散方法进行组合，从而构造出多种“全离散”格式。事实上，在上一节我们已经采用了 “半离散”的概念。对于有限体积方法，半离散格式可以写为：du. -T = Q“(U)(1)df J其中- 1 . .Q
27、jj(U) = - W(i+l/2,j + iJ+1/2 iJ-1/2)上式中的。代表格式中If算数值通量畤用到的所有军元中守恒燮数的平均值。对于有限差分方法，它的半离散格式可以写为与(1)类似的形式：du ./= Q)(2)注意到，对于求解域内的所有i, j点，（1）式以及（2）式分别构成了一阶常微分方程组，所以，所有求解常微 分方程组的数值方法均可以用于求解（1）式或（2）式，如常见的线性多步法，Runge-Kutta法等。下面我们不准 备对于这些方法进行详细讨论，只给出几种典型的方法，以使读者对于求解过程有大致的概念。1 Euler显式方法以（2）式为例，Euler显式方法可以写为:（3
28、）由於Q,J是U的已知函数，所以由U可以算出2，迤一步由（3）式算出。2 Euler隐式方法Euler隐式方法可以写为：。丁=%+加。,/仞+|）（4）封於所有i, j, （4）式横成了一&代数方程，如果0“和u用之的踹I你不是性的，即（4）是一他非性方程;这个方程组可以用诸如牛顿迭代等方法求解。显然，在推进一个时间步的过程中，Euler隐式方法的计算量远远大于Euler显 式方法，但是Euler隐式方法允许大的时间步长，从而可以比Euler显式方法用较少的步数推进到同一时间点；如果我们感兴趣的是 定常解，则隐式方法的收敛速度通常快于显式方法。3 RungeKutta 方法二阶的RungeKu
29、tta方法就是通常的预测一校正方法： %=%+ 加。0） 出寸见+%+&）在含有激波的流动计算中，常用的还有三阶具有TVD性质的Runge-Kutta方法：项=4？+4。)？=沙 )哨=哨+汽哨+U+ =t7.(3)J l,J二、Navier-Stokes方程的有限体积和有限差分格式容易看出，把Euler方程的通量F,G替换焉F - FV,G- G,，期可以得到相Jg的Navier-Stokes方程的有限醴稹和有限差分格式的一般形式。具体的说，Navi er-Stokes方程的有限体积格式可以写为：dU .1(H -H +H -H )a Q W2J11(5)一(居J+1/2J -+ %儿户1/
30、2 - vJJT/2) = 有限差分格式可以写为：at/, iA； + 7(i+l/2,”1/2,j + iJ+1/2 一 e/2)J -j(6)(H -.ii-i H . is . + H - H . . 1 ; 0vj+l/2,/v,/-l/2.yv,t,y+l/2vj,/T/2，其中无论是有限体积方法还是有限差分方法，粘性数值通量均可写为：“小1/2J = (K+G 白心2/(7)在有限体积方法中，粘性数值通量也可以写为：o (8)H.R2,j =:6 + :GJ+|/2J(a)i+l/2,j通过上面的讨论，我们知道：Navier-stoke方程的离散相当于在Euler方程中无粘通量离散
31、的基础上，添加粘性通量的离散。 在本节，我们介绍粘性通量的离散方法，而后面的几章中，我们将集中介绍无粘通量的离散方法。（7）和（8）式可以写为下面的具体形式：0( + %)/(忆 + % + k 筝)&+ (“% + vrvv + k 萼)dxdy M/2.或者0(10)+ %；txynx + TyynyWi+i/2,j(J + v 丁 + k 苴)：+ (rn. + vrvv + k q)：其中% = 2r + 4( r + Vy), % =2V, + W+V、,), %=7=4(v+匕)粘性通量一般用中心型格式离散。注意到：焉了算在，. + 1/2,/便的粘性通量，我优识需算出i + 1/
32、2懂的痣,玄，其中。分别u,v,T。在有限差分方法中，i + l/2,j便直必的演算法:g ：（+s =+ 皿 x）HW =组沪 4储 2j（/储二（A）/+l/2,y=（01=曳詈4）川 J + “仙蓝*2（/ L/2J在格充分光滑畤，在角黠i + l/2,jl/2虑的。可以通谩周圉整W5黠函数值的算体亍平均得到，例如：图 1/2J+1/2 = W（0 + 0+IJ + Oj+I +。+1J+1） （I注意到，篇了tf算么必，我凭需要知道，+ 1/2虑的）*2，（/兀2/，&）”,，（）丁。在有限差分方法中，一般取:/ E 一 +CJ）H1J J- 一 +”/ _ O/ +，）H1J（4+5
33、。/”、_（V）m+（V）r ,+1/2J （-/）,+（./）,+u（n、=（%J），j+（，）“-J （4+.在有限If稹方法中，。,故可以根撼621公式1十算，建立如4中虚所示的辅助控制醴Q,+“2j，郎：J (/)ndlV备,2小爷力-JJ dxdy d+l/2J由此可得二帆y-gy/广 一 产 0/一 的 x必丁 一 /3其中i+l/2,j+3/2图4辅助控制体和插值系数计算点 在有限醴稹方法中，富然也可以用（110+1/2J+1/2 ：+/ i+1J+J +2OXSi+l/2,j-l/2）式|算如“2J+I/2。但是，为了在非均匀（但充分光滑）网格上达到二阶精度，更好的方案是 采用
34、双线性插值的方法。具体说：=%4/2,j+l/24+1/2J+1/2J +（1一 4+l/2J+l/2）+l/2J+l/2备 J卜%1/2J+1/2（1 - 4+l/2J+l/2）4,j+l +（1 一 +l/2J+l/2）（l 色l/2,j+l/2）+l,j+l参考Hl 4，a,夕的定羲扁:0+1/2J+1/2 +1/2,川/2其中r篇矢W+1/2J+1/2 -勺+l/2,j+3/2|r+l/2J-l/2 - ri+l/2J+l/2 I |I/+l/2J+l/2 - +1/2,；+3/21|勺一1/2,/+1/2 */+l/2J+l/21 |r+l/2J+l/2 - E+3/2J+1/2勺+
35、3/2J+1/2L+1/2J+1/2高等计算流体力学讲义（2）第二章可压缩流动的数值方法 1. Euler方程的基本理论0概述在计算流体力学中，传统上，针对可压缩Navier-Stokes方程的无粘部分和粘性部分分别构造数值方法。其 中最为困难和复杂的是无粘部分的离散方法；而粘性项的离散相对简单，一般采用中心差分离散。所以，本章主要 研究无粘的Euler方程的解法。在推广到Navier-Stokes方程时，只需在Euler方程的基础上，加上粘性项的离 散即可。Euler方程是一种典型的非线性守恒系统。下面我们将讨论般的非线性守恒系统以及Euler方程的一些数学理论, 作为研究数值方法的基础。1
36、非线性守恒系统和Euler方程一维一阶非线性守恒系统（守恒律）可写为下列一般形式 +坐=0，xg R,t0（ 1 ）ot ox其中u耦焉守恒建数，是有m偃|分量的列向量，即U“,”）。尸=（力/，/）耦焉通量函数，是u的充分光滑的函数，且满足1帚零脩件,即：卜。即通量是对守恒变数的输运，守恒变数为零时，通量也为零。守恒律的物理意义1）的初始值焉：。（左0） = 4（尤）/ R。如果U（x）在xe R中有聚支集（即在有限IE域以外恒:g零），即1u（x,f）dx=IUo（x）dx。即此畤雎然U(xj)的分怖可以随日寺冏燮化，但其量保持守恒。守恒律的空间导数项可以写为散度形式。A是mxm矩睡，耦:
37、g彳系数矩障或Jacobi矩弹 其具醴形式篇，容易瞬瞪:华=人半，通常也言己4 = 。 OX OXOU(2)多维守恒律可以写为 + (F7 + Gj + Hk) = 0 dt守恒系统（1）可以展开成所谓拟线性形式dU “小au八-T= 0dr ox苏一切明加-沆一加一流体力学无粘流动的Euler方程是典型的非线性守恒律，可以写为(5)辿+江=。dt dx其中:u =(p,pu,pEyF = (pu,pu + p,puH)这里P, u, P，E, H分别为密度、速度、压力、总能和总熔封於完全,E =忐鼬能+/焙。丫为比热比，对于空气，丫 =1.4。把（5）式写成拟线性形式，其Jacobi矩阵为:
38、_(3一/)二-(3-力”守恒型方程和非守恒型方程。原始变数对应的非守恒型Euler方程叱+ A(W)M = 0A(W) =0Up为什么要研究守恒型方程？使用非守恒型方程计算有激波间断的流动，激波位置或激波速度可能不对。2双曲型方程的定义令Jacobi矩睡的特徵值扁2,k = 1,2,-,/n ）即如果A的所有特徵值均:且A可以封角化（即有m0小泉性辗的特徵向量），期（3 ）式(以及(1 )式)耦篇曼曲系统。如果A的所有特徵值为互异实数，则(3)式称为严格双曲系统。矩阵A的特徵值4，由下式定羲：(8)a - /1/| = 0然,螯寸於mxm陷矩障,(8)式有111(0根犷, = 1,2,.,”
39、1。对于一维Euler方程，有:2(|) = u - a产=u兄”= + a(9)其中。=J手焉音速。显然Euler方程为双曲型方程。曼曲型系统有m偃|褐立的特徵向量，彳,匚篇左特徵向量，1IJlkA = Xklk9k = 1,2,/n( 10 )左特徵向量为行向量。设左特徵向量组成的矩阵2、L=乙(11)Jin y则:LA = AL其中：彳至三篇右特徵向量，即右特徵向量为列向量。设右特徵向量组成的矩阵为(12)(13)Ark =九(14 )(15)贝IJ:AR = RA(16)由(12)式，(16)式分别有A = LAL-1(17)A = rart( 18 )矩睡a典一他封角阵相似，我年号耦a可以封角化。显然(19)R = U3 特徵线与Riemann不变数以左特徵向量左乘（3）式心偿+型）吧=（）（21）V at ax J我们称由等=加（。）（22）定羲的一族曲广篇（3）式的特徵系泉。沿特徵线DU _(dU ! dU dxyDt p* dt 3x dt )Vk显然在特徵联机：L,- 0，k =（ 23 ）Dt rk特徵线的意义：对于两个引数的双曲系统，通过引入特徵线，可把偏微分方程组（3）式化为特徵联机的常微分方程组（23）。（23） 式称为特徵相容关系。具体到一维Eul