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1、圆压轴题八大模型题（一）泸州市七中佳德学校 易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。类型1 弧中点的运用在O中，点C是的中点，CEAB于点E.（1）在图1中，你会发现这些结论吗？APCPFP；CHAD；AC2APADCFCBAEAB.（图1）（2）在图2中，你能找出所有与ABC相似的三角形吗？【分析】(1)由等弧所对的圆周角相等及同角或等
2、角的余角相等得：CADBACE;PCFPFC,所以APCPFP.（图2）(1)由垂径定理和弧中点的性质得，,再由弧叠加得：,所以CHAD.(1)由共边角相似易证：ACEABC,ACPADC,ACFBCA,进而得AC2AEAB;AC2APAD;AC2CFCB;(2)垂径定理的推论得：C0AD,易证：RtABCRtACERtCBERtACFRtBDF RtACGRtCGF.此外还有RtAPERtAOGRtABDRtCPG.运用这些相似三角形可以解决相关的计算与证明题.建议：将下列所有例题与习题转化到图1或图2上观察、比较、思考和总结。【典例】（2018湖南永州）如图，线段AB为O的直径，点C，E在
3、O上，CDAB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F（1）求证：CFBF；（2）若cosABE，在AB的延长线上取一点M，使BM4，O的半径为6求证：直线CM是O的切线（图1-1）【分析】（1）延长CD与圆相交，由垂径定理得到，再由得到，等弧所对的角相等，等角对等边。（2）由垂径定理的推论得OCBE，再由锐角三角函数得到边BH、OH的长度，由对应边成比例得BECM，由MCOBHO90证得结论。证明：（1）延长CD交O于G，如图，CDAB，CBEGCB，CFBF；（图4）（2）连接OC交BE于H，如图，OCBE，在RtOBH中，cosOBH，BH6，OH，而HOBCOM，OHBOCM
4、，OCMOHB90，OCCM，直线CM是O的切线【点拔】弧中点得到弧等、弦等、圆周角等，进一步引出角平分线、垂径定理、相似三角形。再结合勾股定理、同角或等角的余角相等、中位线定理，垂径定理、相似三角形的性质定理。可以组合出综合性比较强的有关的习题组。抓边等角等是关键，要善于分解图形。【变式运用】（图1-2）1.（2018四川宜宾）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DEAB于点E且DE交AC于点F，DB交AC于点G，若，则（）2.（2010泸州）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，且AE与DE分别平分BAD和ADC。(1)求证：AEDE；(2)设以AD为直径的半
5、圆交AB于F，连接DF交AE于G，已知CD5，AE8，求值。（1） 证明：在YABCD中，ABCD，BADADC180AE与DE平分BAD和ADC（图1-3）EADBAD，EDAADC，AED180（EADEDA） 180（BADADC） 180（BADADC）1809090AEDE（2）解：在YABCD中，ADBCEADAEB，且BAEDAEBAEAEB，ABBE，同理：DCEC5又ABDC，ABBE DCEC5，BCAD10在RtAED中，由勾股定理可得：DEBAEEAD，AFDAED90AFGAED，3. （2012泸州）如图，ABC内接于O，AB是O的直径，C是的中点，弦CEAB于点H
6、，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。(1)求证：P是线段AQ的中点；(2)若O的半径为5，AQ，求弦CE的长。（1）证明：AB是O的直径，弦CEAB，又C是的中点，ACPCAPPAPC，（图1-4）AB是直径ACB90PCQ90ACP，CQP90CAP，PCQCQPPCPQPAPQ，即P是AQ的中点；（2）解：，CAQABC又ACQBCA，CAQCBA又AB10，AC6，BC8根据直角三角形的面积公式，得：ACBCABCH，6810CHCH又CHHE，CE2CH4（2014泸州）如图，四边形ABCD内接于O，AB是O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2CECA（1）求证：BCC
7、D；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AFCD交CD的延长线于点F，若PBOB，CD，求DF的长（1）证明：DC2CECA，（图1-5），CDECAD，CDBDAC，四边形ABCD内接于O，BCCD；（2）解：方法一：如图，连接OC，BCCD，DACCAB，又AOCO，CABACO，DACACO，ADOC，图aPBOB，CD2， PC4又PCPDPBPA4（42）OB3OBOB4，即AB2OB8，PA3OB12，在RtACB中，AC，AB是直径，ADBACB90 FDABDC90， CBACAB90BDCCAB，FDACBA，又AFDACB90，AFDACB在RtAFP中，设FDx，则
8、AF，在RtAPF中有，求得DF方法二；连接OC，过点O作OG垂直于CD，图b易证PCOPDA，可得，PGOPFA，可得，可得，由方法一中PC4代入，即可得出DF5（2015泸州）如图，ABC内接于O，ABAC，BD为O的弦，且ABCD，过点A作O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）若AE6，CD5，求OF的长【解答】（1）证明：AE与O相切于点A，EACABC，ABACABCACB，EACACB，（图1-6）AEBC，ABCD，四边形ABCE是平行四边形；（2）解：如图，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD与点N，
9、M，AE是O的切线，由切割线定理得，AE2ECDE，AE6，CD5，62CE（CE5），解得：CE4，（已舍去负数），由圆的对称性，知四边形ABDC是等腰梯形，且ABACBDCE4，又根据对称性和垂径定理，得AO垂直平分BC，MN垂直平分AB，DC，设OFx，OHy，FHz，AB4，BC6，CD5，BFBCFH3z，DFCFBCFH3z，易得OFHDFMBFN，图c即， ，得：，得：，解得，x2y2z2， ，x， OF6.如图，AB是O的直径，C、P是弧AB上的两点，AB13，AC5.(1) 如图，若P是弧AB的中点，求PA的长；(2) 如图，若P是弧BC的中点，求PA的长.解：（1）如答图，
10、连接PB，AB是O的直径且P是的中点，PABPBA45，APB90图图又在等腰三角形ABC中有AB13，（图1-7）图d（2）如答图，连接BC，与OP相交于M点，作PHAB于点H，P点为的中点，OPBC，OMB90，又AB为直径，ACB90.ACBOMB. OPAC.CABPOB.又ACBOHP90，ACB0HP.又AB13,AC5,OP，图e，解得OH AHOAOH9.在RtOPH中，有。在RtAHP中 有.PA7.如图，ABC内接于O，且AB为O的直径ACB的平分线交O于点D，过点D作O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AECD于点E，过点B作BFCD于点F（1）求证：DPAB；（2）若AC6，BC8，求线段PD的长解：（1）证明：如图，连接OD，AB为O的直径，ACB90.ACB的平分线交O于点D，ACDBCD45.（图1-8）DABABD45。DAB为等腰直角三角形。DOAB.PD为O的切线，ODPD.DPAB.（2）在RtACB中，DAB为等腰直角三角形，.AECD，ACE为等腰直角三角形。图f.在RtAED中，.ABPD，PDADAB45.PADPCD。又DPACPD，PDAPCD.PAPD，PCPD.又PCPAAC，PD6PD，解得PD.