线性代数考研辅导讲义.docx-淘文阁

资源描述

《线性代数考研辅导讲义.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数考研辅导讲义.docx（70页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、第一讲行列式与矩阵1-21第二讲向量的线性相关性，矩阵的秩22-34第三讲线性方程组3549第四讲相似矩阵与二次型50-68第一讲行列式与矩阵、内容提要（-）n阶行列式的定义（-）行列式的性质1 .行列式与它的转置行列式相等，即。=。丁：2 .交换行列式的两行（列），行列式变号；3 .行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来；4 .行列式中有两行（列）元素相同，则此行列式的值为零：5 .行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零;6 .若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即7 .将行列式某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。（三）行列式依行（列）展开1 .

2、余子式与代数余子式（1）余子式的定义去掉n阶行列式D中元素%所在的第i行和第j列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的n-1阶行列式称为元素、的余子式，记为M（2）代数余子式的定义%的代数余子式的记为%,%=（-1）如“以2 .”阶行列式D依行（列）展开（1）按行展开公式小D i=k牛4To用（2）按列展开公式（四）范德蒙行列式11阳叼n r2r2i-x人人2（五）矩阵的概念1.矩阵的定义由mxn个数&（i = l,2,m;）=1,2,）组成的m行列的矩形数表4%2丹、4=。2122a2nami a m2 amn y称为fflX矩阵，记为4=（a,j）mx2.特殊的矩阵（1）方阵：行数与列数相等

3、的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵;（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；（4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E；（6）零矩阵：元素全为零的矩阵。3.矩阵的相等设 A =（%），；B =（bg）1m若 ay =bij（i =j =,则称 A 与 B 相等，记为 A=B。（六）矩阵的运算1 .加法（1）定义：设A=）.，8=（与）皿,，则C =4+ B =（%+与）（2）运算规律A+B=B+A；（A+B）+C=A+（B+C）A+O=AA+（-A）=0,-A是A的负矩阵2 .数与矩阵

4、的乘法（1）定义：设A =（%）,“，k为常数，则加二/4号（2）运算规律 K （A+B）=KA+KB,（K+L）A=KA+LA,（KL）A=K（LA）3 .矩阵的乘法（1）定义：设A =（%）,8=（得）叩.则AB = C =（gimp，其中 C”=aikbkjk=（2）运算规律（AB）C = A（BC）；A（B + C）= AB + AC(B + C)A = BA + CA(3)方阵的哥定义：A =网)“，则A*=AA K运算规律：A- A= Am+n ；(Am)n=Amn(4)矩阵乘法与累运算与数的运算不同之处。ABBAAB =0,不能推出A =0或8=0;(AB)* X A* Bk4

5、.矩阵的转置(1)定义：设矩阵A=(%)机“，将A的行与列的元素位置交换，称为矩阵A的转置，记为 A1=)nm，(2)运算规律(了=4;(4+8)7=+)；(kA)T =KAt;=BtAt (3)对称矩阵与反对称矩阵若A7=A,则称A为对称阵；Ar =-A ,则称A为反对称阵。5 .逆矩阵(1)定义：设A为阶方阵，若存在一个阶方阵B,使得AB=BA=E,则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵，记作5=4-1。(2) A可逆的元素条件：A 可逆o|A|hO(3)可逆阵的性质若A可逆，则A“也可逆，且(A)“=A；若A可逆，kWO,则kA可逆，且(乂) k若A可逆，则AT也可逆,且(万尸=)7；若A, B

6、均可逆，则AB也可逆，且(48厂|=8-丁-1。(4)伴随矩阵定义：A*=(&)；,其中&.为的代数余子式，性质：1) 44*=A*A = kE；ii)卜*卜kF；iii)(a*)*=|a2a；iv)若a可逆，则a*也可逆，且(a*)t =(at)*=a用伴随矩阵求逆矩阵公式：AT=La*|A|(七)方阵的行列式1 .定义：由阶方阵A的元素构成的阶行列式(各元素的位置不变)叫做方阵A的行列式，记为或detA。2 .性质：(1),=同，(2)|切=&同，3 3）|ab|=|a|b|,（A）特殊矩阵的行列式及逆矩阵叶向1 .单位阵 E：间=1;-=,；2 .数量矩阵kE：岫|=左；当2#0时，伏

7、k3 .对角阵：、4,(1X1若444产0，则A=下4 .上（下）三角阵4*、ann设人=22.，则同=%422若同H0,则内仍为上（下）三角阵（九）矩阵的初等变换与初等矩阵1 .矩阵的初等变换（1）定义：以下三种变换交换两行（列）；某行（列）乘一个不为零的常数&;某行（列）的A倍加到另一行（列）上去，称为矩阵的初等变换。2 .初等矩阵（1）定义：将阶单位阵E进行一次初等变换得到的矩阵称为初等阵;交换i,j两行（列），记为E（i, J）；第，行（列）乘不为零的常数k记为为E（i（k）-,第j行的及倍加到第i行上去，记为E（j（k）i;（2）初等阵性质初等阵是可逆阵，且逆阵仍为同型的初等阵：而E

8、（ij）r= E（ij）E（i（k）-=E（j（k）i）-=Ej（-k）i（3）方阵A可逆与初等阵的关系若方阵A可逆，则存在有限个初等阵,5，使A =4舄与，（4）初等阵的行列式忸(4)|=-L|E(i 伏)|=匕|(j(*)i)|= l(5)初等阵的作用：对矩阵A进行一次初等行(列)变换，相当于用相应的初等阵左(右)乘矩阵A,且|(V)A|=-|A|,|E(i刈=44|E(J(Jt)i)|=|A|3 .矩阵的等价(1)定义：若矩阵A经过有限次初等变换变到矩阵B,则称A与B等价，(2) A与B等价的三种等价说法，A经过一系列初等变换变到B；存在一些初等阵片,，邑，居，招，使得邑MAF工=8存在

9、可逆阵尸，Q,使得以。=8(十)分块矩阵1 .分块矩阵的定义2.分块矩阵的运算(1)设A, B为同型矩阵,以子块为元素的形式上.的矩阵称为分块矩阵。Mu -4八许421. A2fB =%A1.AS!)a”.,%采用相同的分法有A =则A + B =(Aij+Bij)=2 2) M =(M,y)(i = l,2,s;j = l,2,r)(3)设4=(%)m“，B = g)叩,分块成 B”&A,、其中A“，A,2,A的列数分别等于&,练的行数,Cjj = Z A*%(i =1,2,3,s; j =1,2,r)k=3 .准对角阵(1)定义：形如M.、A=24为“i阶方阵的矩阵称为准对角阵。A ，)(

10、2)准对角阵的行列式及逆矩阵4、设人= M .,则=阎同HJ；若每个Ai可逆，则A可逆，且(3)特殊的准对角阵aJA,若A,A2可逆，则内=心，I A2)I A)(ii) a =(a 4)若 A1,A2可逆，则内=(月_1/ B(iii) A=是同HO,|CO,则同=|圳C|#07 o c- J，B q A(iv) A= c ,怛0，仁卜0,则）J（十一）矩阵的秩1 .定义矩阵A中存在一个r阶子式不为零，而所有r+1阶子式全为零，则称矩阵的秩为r,记为R（A）= r2,矩阵秩的求法：初等变换不改变矩阵的秩。即利于初等变换求矩阵的秩。二、重点（一）计算行列式；（二）矩阵的乘法；（三）矩阵的逆；（

11、四）矩阵的初等变换。（五）矩阵的秩。三、典型例题（一）行列式的计算数字型行列式的计算1,用定义计算行列式例I计算行列式%a000b000b20000000g%*000解：由于前n-1行都只有一个元素不为0,由行列式定义知。n只含一项：bib2bn，且（-2（八-1）（-1）（-2）符号为（-1）小-|=（一1） r ，从而。“=（一1）三为2。2 .用行列式性质计算（重点）例2计算下列行列式1234234134124123解解法一：12340 -1 -2 -70 0-440 0436解法二:12 3 42 3 4 13 4 124 12 3101010102 33 44 11 24111=10

12、21312 3 43 4 14 1 21 2 312340 -1 -20 0-40 001 20 10 20 -131-2-1-7440= 160-102 31 10 -40 0= 160 4-4例3计算下列行列式abc(1) a2bc2b + c a + c a + b246 427 327 1014 543 443一 342 721 621abc解(1)： a2b2c2 =b+c a+c a+babca1b2c2a + b + c a + b + c a-b + cabc111=(a+b + c)a2bc2=(q+/?+ c) ahc111a2b2c2=(a + b + c)(b - a)

13、(c a)(c b)24642732710004273271000(2)1014543443=2000543443=2000-34272162110007216211000100327100443100621113271132710521443=1050-1-211=-294 x10s1162100294例4计算下列阶行列式x-aciDn=x +(n-2)a(x -2o)n-说明：一定要注意此种形式的行列式；例如:解:D=a +(n-l)x(a-x),_|Dn =D=(一1尸(计算阶行列式a20Q 1%_二一D./=2 ai 0i=20=(。+ 10)123412 +。34123 + Q412

14、34 +。=5 + 10)10001+ Q11122+。2a2333+34444+000计算行列式1+。111。+10。+10ci +10a +1022+。2a222+。22333+a3333+。34444+。4444+。解：5=(。+10)。33 .利用行列式展开计算例7设行列式320502-73420-20202求第四行各元素的余子式之和的值。解：由行列式展开知，D的第四行各元素余子式之和的值为行列式320-102-71420一10201的值因为将5接第四行展开得=(-1)A41+ A42+(-1)A43+=(-l)(-l)4+，A/4I +(-l)4+2Af42+(-1)(一1)4+3/

15、43=M所以计算2=41320+“4202-71420一020134034222=744-1-1-100021=(-7)(-1)3+2=7二70k-28从而D中第四行各元素的余子式之和的值为-28。Xy o00()x y00。“=000 X yy000 X解：将行列式按第一列展开得x y 0（）y 00D=x(-l 严0 x y 0+ y(-l)n+lx y 0000X00X说明：若求D中第四行各元素代数余子式之和呢？例8计算戊阶行列式说明：请注意这种形式的行列式!0+(-l)n+yy4 .数学归纳法例9证明行列式x-100x-10004%T4,-2=x + a/” +a.x + a“证明：当

16、n=l时，=x + q结论成立。x 1o当n=2时，D.=r+。|工+的结论成立。- a2 % %假设 =2 1时结论成立，下证=%时结论成立。x-100x-1Dk - 000ak4Tak-2由归纳原理知结论成立。0000 =I + (-(-1)A1x1a2/ k-k-i=X(X + tZ|X - + , , +=xk +ctxk 1 + , + ak_.2 X+ %_)+ &2k+ 。含参数行列式的计算A-31-1例10计算行列式。=12-51-11A-3解：D =2-31-112-51-11A-3丸-21-102-512-A14一3= U-2)11-102-51-11A-3= M-2)11

17、-1051022-43(A 2)(4 3)(A 6)例11计算三阶行列式。=解：D =-4- 2/14-12-4-2A +1-22-k2 + 3= a-i)2kA 4-1/1 104 1- 2/14-1-2=(f=a-1x2+1)2抽象行列式的计算例12设A, B2n-l均为”阶方阵，|川=2,怛|=一3,求|2A*b1解”=|2.24-切-1卜k4-8=4忙|5_=_2例13设三阶矩阵A=2y2.B=力，其中。，夕，72/3都是三维行向量，且已知3%|A| = 18,|B| = 2,解：.|a-_理| =；同一2冏=2例14设A为三阶方阵，4，的，%是三维线性无关的列向量，若人%=%+%，A

19、at a2 a3)=(at +a2 a2+a3 a3+a1)f01、=(1 a2 a3)110、1 b令尸=（四,。2，。3）由四，a2。3线性无关知P可逆1 o r从而一）=110、。1 L101由相似的性质知M=110=20111.矩阵的乘法a” al2 a”、000、例15设4=Clj *2223,B =zoo求A8及区4l“3l ”32a33)、000;（二）矩阵的运算aan。13000、ka吐00、AB =21a22a23k00=k,Cl ,y-y00、“31a32a33 J、o0%W“3200；00A(%a2%（000、BA =k 00a2a23=kanka、2kcig、00。13

20、1。32。33 J、o00解:例16计算a”2（X，y，Z）。21422。32（x y解：原式=r axxx + any + anzy z) a2ix+a22y + a2Jz32y +“337 J=anx2+ a22y2+ a33z2+(ai2+ a2l)xy +(ai3+ a3i)xz +(a23+ ai2)yz2方阵的暴例17(1)设 a =(l 21), A = cxT a,求 A；(2)设 a =(l 21),夕=(212),A = a，力求A；，3（3）设4=-2、5（1）容易计算得-69、4-6-1015,求A”。A2=(aaT)(aaT)= a(aTa)aT =6aaT =6A;

21、A= AA =6AA =6A2=6(6A)=6 A利用结合律可得A=(aaT)(aa7)-(acrr)= a(aTa)(aTa)-(aTa)aT21、=6F =6T 242J 21,T(2)由夕4=(2-12)2=2有lbA=(夕)(a,夕)(a,P)=(昵)(仇/)(/3aT) ft2-12、=2n-I(ar)=2n-lA =2n_|4-24=l ；=1及Ai A31、A*=42 A2242知，只需求出A的伴随矩阵A*即可得结果。J13&3人33,方法一用定义求4*得1-10、A*=01-1、001,33所以 EZ4=i+i+i+（-i）+（-i）=i；.A =2-100、-2-2,（五）矩

22、阵方程例22设3阶矩阵X满足等式AX=8+2X,其中110、,B求矩阵X。102202,解：由4X =B +2X ,得(A-2E)X =8又A-2E =0 -10 0X =(4 2尸8,而因为(A-2E)-1|A-2同=一2工0,.A-2E 可逆。321T 1则 X =(A-2E)-B=100例23设矩阵A的伴随矩阵A* =1010010-300100、008;,RABA =BA-1 +3E,其中 E 为4阶单位阵，求矩阵B。解（方法一）由=图1,有同3=8,得同=2用A右乘矩阵方程的两边，得A8-8=3A用A*左乘两边得A AB - A B =3A A 2EB-A*B =6E2E-A*)B

23、=6E于是 2E-A*可逆,B = 6(2E-A*)T计算得6 0 0 0、0 6 0 0B =6 0 6 0,0 3 0 -1,同前有AB-B =3A ,即 8 = 3(A - E 尸 4（方法二）AA* =AE 有 A = |“4r =2(a20-20020%0020000%000、-1000、01000100-2010一20100%0X0 k10%于是（A - E尸B = 3(A E)-1 A =606,006 030060000-10、01.(A) C = PXAP(B) C = PAPl(C) c = ptap(D) C = PAPt（六）初等变换与初等矩阵例24设A为3阶矩阵，将A

24、的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的-1倍加到1第2列得C,记=0、解选(B)由初等变换与初等矩阵之间关系知1-10、PA = BB 010=C、001,1，C = PA 00-1 0、10 = PAP。0 1 0、20071 0 040 0 1,J例25计算2583Y0 10、20060 b0 1 0、解令p =1 0 0则 p2007 = p尸 2006 =1队0 01。U456、原式=123、789,例26设A为阶可逆阵，交换A的第i行与第，行后得到B。(1)证明B可逆；(2)求AB解：(1)由初等变换与初等阵的关系知E(ij)A = B又忸(扪川=|EM =-|A|= B|,又|川

25、七0.忸任0即8可逆。(2) v E(ij)A = B A = E(y)-1 B = E(ij)BIhi AB-1= E(ij)BB-= E(ij)(七)矩阵的秩a11、例27设三阶方阵A =1a1，试求R(A).J1a)a11解.川=lai =(q +2)(q1)211a1“01,。/一2时，|4设0,/?04)=31 i r2 a =同=0 A=111/. R (A)=1；J i L3 a =-2闺=0 A =1【1234、,、.2345例28设A =B3456(4567,解 R(BA +2A)=/?(B +2E)A2-124、0401又B +2E =005-1,0006,故R(BA +2

26、A)=R(A)(2341(1232345111又 A=t34561 I 1k4567j 11111 R (A)=2o-2;-124、201,则 R(BA +2A)=03-1004;+2上可逆R(A)=2R(BA +2A)=22190-0使得夕=占%+-+ ksas,则称尸是因,鬼，氏的一个线性组合。或称万可由跖,见，,见线性表示。2 .向量组的等价（1）定义：若向量组，见的每一个向量都可由向量组用，夕2,，力线性表示，且向量组由，口的每一个向量也可以由向量组跖,以2,4线性表示，则称两个向量组等价。（2）性质反身性：向量组四,。2,与自身等价；对称性：若向量6,4与向量组夕,以等价，则向量组夕

27、,夕,与向量组 ax,-,as 等价；传递性：向量组A =a”,a5与向量组8=电,，夕等价，且向量组B与向量组 C =%,72,，为等价，则向量组A与向量组C等价。3 .向量的线性相关与线性无关(1)定义：对n维向量,%，,4，若存在一组不全为零的数发,女2,儿，使“I% HF ks(x = O ,则称向量组火线性相关。否则，称火,。2,/线性无关。(2)性质向量组6,见线性相关的充要条件是其中存在一个向量可由其余向量线性表O向量组名,。2,，a,线性无关，且名,。2,，&，夕线性相关，则万可唯一地由 al,a2,-,as线性表示。对“维向量因,如，,a,”，若mn,则%,火，,a,“必线性

28、相关。向量组,a,线性无关，则其中任一部分向量组必线性无关。向量组的部分组线性相关，则此向量组必线性相关。线性无关的向量组的每个向量都添加m个分量后仍线性无关。若向量组，4线性无关，且可由4,夕2,，月线性表示，则为有sr。(若5则因,“,&为线性相关)(四)向量组的秩与矩阵的秩1 .向量组的极大无关组设向量组%,a2,4的部分组%,%,满足条件：(1)a”,%2,，%线性无关；(2)囚.，,心中的任一向量均可由它们线性表示，则称向量组小,如，为向量组四,巴,4的一个极大无关组。2 .向量组的秩向量组的极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩，记为/?(!，cr2,crv)3 .矩阵的秩与向量组

29、的秩的关系矩阵的秩=它的行向量组的秩=它的列向量组的秩4 .等价的向量组的性质(1)等价的向量组有相同的秩：(2)等价的线性无关的向量组含向量的个数相等；(3)向量组与它的极大无关组等价：(4)向量组4=q,&与8=秘，夕等价的充要条件是R(A)= R(B)= R(C),其中C=%as，4,0(五)向量空间(数字二，三，四不作要求)1 .向量空间的定义设V是n维向量的集合，如果V非空，且对于向量的加法和数乘两种运算封闭，则称V为向量空间。2 .基设V为向量空间，如果个向量四,4,a“e V ,且满足(1)%,。2,，氏线性无关；(2) V中任一向量都可由%,a2，,匕,线性表示，则称向量a”，

30、,a”为向量空间V的一个基。称为向量空间V的维数，记为dimV =，并称V为“维向量空间。3 .坐标设囚,。2,&是维向量空间V的一个基，对任一元素aeV，总有且仅有一组数 xl,x2,-,x使6Z = Xj6Z|+xl,x2,-,xn称为a在基因,。2,a”下的坐标，记为a =(X,X2,x“)4 .基变换与过渡矩阵（1）基变换与过渡矩阵设区,。2,4与川，夕2,瓦都是维向量空间V的基，且P=alll +21a21 annBi =12因+ a22a2 H f a,2(xnPn =!1+a2na2+-+ anna,（夕”2,，夕）=（。1，。2,，a.）a-2=（名，。2,，a“）P 称P为基

31、因。2,a到基夕|,夕2,，凡的过渡矩阵。或称为基变换公式。（2）坐标变换公式设aeV , a在基因,。2,&下的坐标为（内,必,x”）在基夕1，夕2,，瓦下的坐标为31，乃，%），且（川，夕2,，4）=（即四2,，4）P（一）向量组的线性相关性的判定与证明（二）两个向量组等价的判定（三）向量组的秩与矩阵的秩的证明三、典型例题（-）线性组合（线性表示）例1设=（1,2,0）, a,=（1, a +2,3a）， a,=（L。2,a +2b），夕=（1,3,3）,试讨论当a, b为何值时（I）万不能由囚，a2,线性表示；（II）仅可由%, a2,口3唯一地线性表示，并求出表示式；（III）仅可由a2,线性表示，但表示不唯一，并求出表示式。

展开阅读全文