初中八年级几何(上).docx

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1、八年级上册RJ第H一章三角形11.1与三角形有关的线段教材知识全解知识点一三角形及其有关概念1 .三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段苜尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。如图11-1-1所示，顶点式A, B, C的三角形，记作ABC,读作“三角形ABC”。2 .三角形的有关概念及其表示法顶点：点A,点B,点C称为三角形ABC的三个顶点。如图11-1-1所示，顶点即为 三角形两边的公共点。（2）边：组成三角形的三条线段称为三角形的边。如图11-1-1所示，AABC有三条边 AB,BC,ACo（3）内角：在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角。如图11-1-1所示， BAC,ABC,A

2、CB是的三个内角。详解：三角形的表示方法中“”代表“三角形”，后边的字母为三角形的三个顶点, 字母的顺序可以自由安排，BP AABC,ABAC,AACB,ABCA,ACAB,ACBA为同一个三 角形。角的两边为射线，三角形的三条边为线段。三角形每两条边所组成的角角三角形的内角。三角形一边及另一边延长线所组成的角 叫做三角形的外角。由于在三角形内一个角对着一条边，那么这条边叫做这个角的对边。同理，这个角也 叫做这条边的对角。例如：图11-1-1中，A的对边是BC （经常也用a表示），B的对边 是AC （经常也用b表示），C的对边是AB （经常也用c表示）；AB的对角C, BC的对 角，AC的对角

3、。例1图1-1-2中有几个三角形，将它们分别表示出来，并指出它们的顶点和边。知识点二三角形的分类三角形分类有两种方法：按角分类；按边分类。按角分类 三角形按边分类三角形详解：锐角三角形指所有内角都是锐角的三角形；直角三角形指有一个内角是直角的三角 形；钝角三角形指有一个内角是钝角的三角形。（2）等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形；等边三角形是指三条边逗相等的三 角形（等边三角形是等腰三角形的一个特例）例2设M表示宜角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰宜角 三角形，则下列四个选项中，能表示它们之间关系的是（）知识点三三角形的三边关系1.定理：三角形两边的和大于第三边。如图

4、11-1-3所示，上述内容可表示为a+bc,b+ca,a+cb。理论根据：两点之间线段最短。2 .推论：由a+b“，根据不等式的性质，得c-bc,b+ca,a+cb 三个不等式同时成立，即三角形三边的长a,b,c满足上面所给的三个不等式。长度为a,b,c的三条线段能构成三角形，则这三条线段应同时满足 a+bc,b+ca,a+cb,也就是说线段a,b,c任意两条线段长之和大于第三条线段时，以a,b,c 三条线段为边才能构成三角形。若有一个不成立，则长度为a,b,c的三条线段不能构成 三角形。在具体应用这一定理，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段 的长度之和大于第三条线段长，即可判定这三

5、条线段能够成一个三角形，例如长度为 3,4,5的线段，543,4和3这两条线段是较短的，而3+45,所以三条线段能够成是三 角形。又如长度为1,2,4的三条线段不能构成三角形，因为较短的两条线段长度之和为 1+2=3,小于较长的线段长度。三角形两边的差小于第三边，同上所述，三角形任意两边之差小于第三边, 故同时满足4ABC三边a,b,c的不等式也应有二个：ac-b,ba-c,cb-a.定理及推论是构成三角形的三遍的性质，也是三条线单能否构成三角形的 判定依据。例3以下列各组线段的长为边能构成三角形的是（）A. 1cm,2cm,4cmB. 8cm,6cm,4cmC.l 2cm,5cm,6cmD.

6、2cm,3cm,6cm知识点四三角形的三条重要线段1 .三角形的高三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角 形的高线（简称三角形的高）。如图11-1-4所示。详解：高的叙述方法:AD是aABC的高；ADBC,垂足为D；D 点在 BC 上，且 BDA=CDA=90 .钝角三角形、锐角三角形、直角三角形都有三条高。锐角三角形的三条高在三角形内部, 相交于一点，如图11-1-5所示；直角三角形两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部, 它们的交点时直角顶点，如图11-1-5所示；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在 三角形内部，三条高不相交，但三条高所在直

7、线相交于三角形外一点，如图11-1-5所示。推论方法：如图11-1-5所示，因为AD是AABC中BC边上的高（已知），所以 ADBC 于 D （或 ADB=ADC=90 ）逆向：因为ADBC于D （或ADB=ADC=90 ）（已知），所以AD是4ABC中BC边上的高（高的定义）。高的画法：可根据高的定义，利用三角形作直角。注意：三角形边上的高是线段，而该边的垂线是直线。在钝角三角形中，画钝角两边的高时，先要延长边，然后再画垂线段。2 .三角形的中线三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线。详解：推理方法：如图11-1-6所示，因为AD为AABC中BC边上的

8、中线（已知），所以BD=DC=BC,或BC=2BD=2DC,或D为BC的中点。逆向：因为 BD=DC （或 BD=DC=BC,或 2BD=2DC=BC,或 BD=DC=BC,或 2BD=2DC=BC, 或D为BC的中点）（已知），所以线段AD为4ABC中BC边上的种N （中线定义）。注意：三角形的三条中线是三角线段。三条中线都在三角形内部且交于一点。一条中线把三角形的面积平分。3 .三角形的重心三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。详解：如图11-1-7,在 ABC中，中线AD、BE、CF相交于点O,则点O叫做4ABC 的重心。三角形的重心将三角形的每

9、条中线都分成1:2的两部分，其中重心到三角形某一顶点的距 离是到该顶点对边中点剧烈的2倍。取一块质地均匀的三角形木板，用手指向上顶住木板三条中线的交点，木板会保持平衡。这个平衡点就是这块三角形目标的重心。4 .三角形的角平分线三角形的角平分线：三角形的一个角平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间 的线段叫做三角形的角平分线。详解：推理方法：如图11-1-8所示。因为AD是AABC的角平分线（已知）。所以=8人。逆向：因为=（=BAC, =BAC）（已知），所以线段AD是4ABC的角平分线（角平分线定 义）角平分线画法：三角形的角平分线的画法和角平分线的画法相同，可以用侧角器。注意：一

10、个三角形有三条角平分线，并且都在三角形内部，相交于一点。三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线。例4如图11-1-9所小，完成卜列问题。（DAD是4ABC的角平分线，则 =AE是 ABC的中线，则 =（3）AF 是 ABC 的高，则=90 知识点五三角形的稳定性三角形的三条边确定后,三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。详解：如图11-1-10所示，在生产、生活中见到的起重机、屋顶钢架、镜框反面等都是三角 形形状，而活动挂架、放缩尺却是四边形的形状，你知道这是为什么吗？起重机、屋顶钢架、镜框反面都是利用了二角形的稳定性，而活动挂架、放缩尺是利用了四边形的不稳定

11、性。三角形的的稳定性是三角形特有的性质，而四边形具有不稳定性。例5如图11-1-11所示，工人师傅砌门时常用末条EF固定矩形门框ABCD,使其不变形, 这种做法的根据是.经典例题全解题型一三角形中边与角的识别例1如图11-1-12所示。_边的对角。三个内角是图中共有 个三角形，它们是；以AD为边的三角形有.(3)C 分别为 AAEC, AADC, AABC 中(4)AED是,的内角； AED 的三条边是 点拔三角形必须同时满足两个条件：三条线段不共线；三条线段首尾顺次相接。每条边 对角是三角形的内角。题型二根据三角形的三边关系求边长。例2已知等腰三角形的两边为9cm和4cm,求此三角形的周长。

12、点拔遇到有关等腰三角形的问题，要注意运用分类讨论的思想全面考虑问题，还应注意综合 运用相关知识，力求准确、合理、做到不重、不漏。11.2与三角形有关的角 教材知识全解知识点一三角形内角和定理三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180。几何表达式：在AABC中，A+B+C=180详解：三角形内角和定理的证明有多种，现举例几种常见的思路。如图11-2-1所示，延长BC到E,作CDAB。因为ABCD （已作），所以N1=NA （两直线平行，内错角相等），ZB=Z2 （两直线平行，同位角相等）。又因为NACB+N1+N2=18O （平角定义）所以NACB+NA+NB=180 （等量代换）。如图11

13、-2-2所示，在BC边上任取一点D,作DEAB,交AC于点E,作DFAC,交 AB 于 F.因为DFAC （已作），所以N1=NC （两直线平行，同位角相等），N2=NDEC （两直线平行，内错角相等）。因为DEAB （已作），所以N3=NB, ZDEC=ZA （两直线平行，同位角相等）。所以NA=N2 （等量代换）。又因为Nl+N2+N3=180 （平角定义），所以NA+NB+/C=180 （等量代换）。如图11-2-3所示，已知ABC,过顶点A作直线ADBC,由平行线的性质得N 1=/B, Z2=ZC （两直线平行，内错角相等）。因为N1+NBAC+/2=18O （平角定义），所以/ B+

14、NBAC+NC=180 （等量代换），即三角形三个内角的和等于180。如图11-2-4所示，过点A作直线，过点B作直线，过点C作直线.因为.（已作），所以N1=N2 （两直线平行，内错角相等），同理N3=N4.又因为（已作），所以N5+Nl+N6+/4=180 （两直线平行，同旁内角互补）所以N5+N2+N6+/3=180 （等量代换）又因为/2+N2=NACB,所以NBAC+NABC+NACB=180 （等量代换）拓展：已知三角形两个内角，利用三角形内角和定理可求第三个角，或已知各角之间关系， 利用三角形内角和定理可求各角。三角形内角和定理的证明是通过平行线将三角形的内角进行替换，证明思路可

15、从构造平 角、构造邻补角、构造同旁内角等几方面进行思考。因为三角形内角和为180 ,所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多三个锐角，最 多有一个钝角，最多有一个直角。例1己知三角形三个内角的度数之比为1:3:5,求这三个内角的度数。知识点二直角三角形的表示方法及其性质 表示方法：通常我们用符号”表示，直角三角形ABC可以写出“ABC”。直角所对的边 叫做直角三角形的斜边，其余两条边叫做直角边。如图11-2-5所示。性质：1.直角三角形的两个锐角互余。在 ABC 中，ZC=90 ,则NA+NB=90。2.有两个角互余的三角形是直角三角形。在 R_tZABC 中，NA+NB=90 ,则AABC

16、为直角三角形，且NC=90 .例 2 如图 11-2-6 所示，DF_LAB 与 F, NA=40 , ACJ_BD 于 C,求ND 的度数。知识点三三角形的外角及其性质 1.三角形的外角三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。详解：如图11-2-7所示，NACD的两边中的一边是ABC的一边AC,另一边是BC的延 长线，所以NACD是AABC的一个外角。三角形外角的特点：顶点在三角形的一个顶点上；一条边是三角形的一边；另一条 边是三角形另一边的延长线。三角形的一个顶点处有两个外角，它们是一对对顶角。2.三角形外角的性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。三角形的一个外

17、角大于与它不相邻的任何一个内角。详解：如图 11-2-7 所示，ZACD=ZB + ZA, ZACDZB, ZACDZA.理由如下：因为NA+NB + NACD=180 （三角形内角和等于180 ）,所以NACDNB, NACDNA,即三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。拓展：在三角形的每一个顶点处都有两个外角（它们是一对对顶角），从每个顶角处取出一 个外角，这三个外角的和称为三角形外角和，三角形的外角的性质是：三角形的外角和等于 360三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，主要有以下几个方面应用：已知外角 与和它不相邻两个内角中的一个，求另一个内角；可证一个叫等于另两个角的

18、和；经常 利用它作为中间关系证明两个角相等。例3 如图H-2-8 所示，在AABC中，NB=NC,D在BA的延长线上，ZDAC=110 , 求NB的度数。经典例题全解题型一利用三角形的内角和定理判定三角形的形状例1适合下列条件饿AABC是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。NA=80 , ZB=25 ; NA:NB:NC=1:2:3;(3)ZA=ZB=ZC点拔本题主要运用了三角形内角和定理，列方程解几何计算题是用代数方法解几何题的常用 方法之一。题型二运用三角形内角和定理求与三角形有关的角度 例2 如图11-2-9所示，在4ABC中，ZB=63 , ZC=51 , AD是BC边上的高。AE

19、是NBAC的平分线，求NDAE的大小。点拔若已知三角形中两个内角的度数，可根据三角形内角和定理求出第三个内角的大小。题型三三角形外角性质的应用例 3 如图 11-2-10, BC_LED 与 O, ZA=27 , ZD=20 ,求NB 和NACB。点拔求角时，一般可以吧所求角看作是某一个三角形的内角进行分析，如果在图中发现了内 角，或所求角本身是另一个三角形的外角时，通常要考虑用三角形外角性质，这些结合起来, 问题就容易解决了。11.3 多边形及其内角和 教材知识全解知识点一多边形的有关概念1 .多边形在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。如果一个多边形由n条线段组成，那么

20、这个多边形就叫做n边形，如三角形、四边形、, 三角形是最简单的多边形。2 .多边形的内角、外角、对角线内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。外角：多变形的边与它的邻边延长线组成的角叫做多边形的外角。对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，把这个多边形分成（n-2）个三角形；n边形共有条对角线。3 .凸多边形画出多边形的任何条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同侧，那么这样的多 边形叫做凸多边形。4 .正多边形在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。详解：1.理解多边形的概念时要注意以下几点：多边形是由“

21、不在同一直线上”的线段首尾顺次相连组成的图形：多边形必须是“平面图形”（3）n为大于或等于3的正整数，有几条边就叫做几边形；如图11-3-1所示的图形也是多边形，它称为凹多边形，现阶段研究的是如图11-3-2所示 的凸多边形，即把多边形的任意边向两边延长，其他各边都在这条边所在直线的同侧。2 .多边形的边数、顶点数及角的个数相等。3 .三角形没有对角线。4 .正多边形必须满足定义中的两个条件，缺一不可。如：各边都相等的多边形不一定是正多 边形（如菱形）：各角都相等的多边形不一定是正多边形（如矩形）。例1填空从八边形的一个顶点出发的对角线将八边形分成 个三角形；七边形共有 条对角线；.从正六边形

22、的一个顶点出发可以引 条对角线，这些对角线将正六边形分成个三角形，正六边形共有 条对角线。知识点二多边形的内角和N边形的内角和：n边形内角和等于（n-2） 180。详解：1.多边形内角和的证明方法：如图11-3-3所示，在n边形内任取一点，并把这个点与各顶点连接薪艾，共构成n个三 角形，这n个三角形的内角和为n 180 ,在减去一个周角，即得到n边形的内角和为 （n-2） 180。如图11-3-3所示，过n边形的一个顶点连对角线，可以得到（n-3）条对角线，并且将n 边形分成（n-2）个三角形，这（n-2）个三角形的内角和恰好是n边形的内角和，等于（n-2） 180 如图11-3-3所示，在n

23、边形的一边上取一点与各顶点相连，得到（n-1）个三角形，n 边形内角和等于这（n-1）个三角形的内角和减去咋所取点处的一个平角，即（n-1） - 180 .2 .正n边形的各个内角都相等，其度数为。3 .利用多边形的内角和公式可以解决一下两类问题：已知多边形的内角和，求其边数；已知多边形的边数，求其内角和。例2一个多边形的内角和是1260 ,求它的边数。知识点三多边形的外角和1 .在多边形每一个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。2 .多边形的外角和等于360。详解：1.多边形的外角和的证明方法：多边形的每一个内角与和它相邻的外I啊哦是邻补角，所以n边形的内角和加外角

24、和等于 n 180 - (n-2) 180 =360 .2 .n边形的外角和与边数无关，总是等于360。3 .正n边形的各个外角都相等，度数为。4 .求正多边形每个内角的度数时，有时借助外角会更简便。5 .外角和定理的应用：已知外角度数求正多边形边数；已知正多边形边数求外角度数。例3.一个多边形的每个外角都是45 ,求它的边数；某多边形的内角和与外角和共1080 ,求多边形的边数。经典例题全解题型一求多边形的边数与角度例1 在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的，求多边形的边数。点拔每个内角都有一个相邻的外角，没对相邻的内角与外角的和都是180 ,因为各个内角 都相等，所以所有的外

25、角也都相等。题型二求对角线的条数例2已知一个多边形的内角和与外角和的比是2:1,求这个多边形对角线的条数。点拔n边形一共有条对角线，其中n是多边形的边数。题型三综合应用例 3 如图 11-34,求N1+N2+N3+N4+N5+/6+N7 的大小。点拔求这类不规则多边形的各角之和的问题常常通过连接两点把要求的角的度数和转化为 规则多边形的内角和。第十二章全等三角形12.1 全等三角形教材知识全解知识点一全等形全等形：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做全等 形。详解：全等形关注的是两个图形的形状和大小，而与图形所在位置无关。判断两个图形是否全等，只要将它们叠合在一

26、起，若完全重合，则两个图形是全等形：否 则就不是。判断图形全等需要两个要素：形状相同；大小相等。两者缺一不可。例1 如图12-1-1,观察图中各个图形，指出其中全等的图形。补图知识点二全等三角形1 .全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点骄 纵对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。2 .全等三角形的表示：两个三角形“全等”，用符号“二”来表示，读作“全等于。如图12-1-2, ZABC与全 等。记作ABCZABC,读作4AB全等于ABC。补图例2.已知：如图12-1-3 (1), ZXABC平移后得到ADEF：如图12-1-

27、3 (2), ZAOB沿直 线L翻折后得到COD；如图12-1-3 (3), 4ABC绕点A旋转后得到AADE,则4ABC DEF, AAOBACOD, AABCAADEo补图 知识点三全等变换全等变换是指只改变图形的位置，而不变图形的形状和大小的改变。详解：课本上出现了下面三组变化的图形，这三组图形各自代表不同的变换方式，其变换前 后的两个全等三角形全等。平移：如图12-14，将AABC沿着BC方向平移一段距离后到达4DEF的位置，平移 前后两个三角形全等，这种变换称为平移变换。翻折：如图12-14，将AABC沿着BC翻折得到ADBC,翻折前后的两个三角形全等, 这种变换称为翻折变换。旋转：

28、如图12-14，将AABC绕点A逆时针旋转180后得到AAED,旋转前后的两 个三角形全等，这种变换称为旋转变换。补图经过图形的变换，图形的一些性质改变了，而另一些性质仍然保留下来，在上面这三种变换 中，变换前后的两个图形扔然全等，这三种变换也称为全等变换。例3.如图12-1-5, AABC与4DEF全等，问经过怎样的图形变换，可使这两个三角形重合？补图知识点四对应顶点、对应边、对应角对应顶点，对应边，对应角：把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点, 重合的边叫做对应边。重合的角叫做对应角。如图12-1-6所示，ZABC与4DEF全等，记作AABC会ZDEF,其中点A和D,点B和

29、点 E,点C和点F是对应顶点，AB和DE, BC和EF, AC和DF是对应边；NA和ND, ZB 和NE, NC和NF是对应角。补图详解：寻找对应边和对应角的常用方法：对应角：对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角：有公共角，公共 角一定是对应角；有对顶角，对顶角一定是对应角；一对最大的角是对应角，一对最小 的角是对应角。对应边：对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边；有公共边公共边 一定是对应边：一对最长的边是对应边一对最短的边是对应边。例4 如图12-1-7, AACBABDA, AC和BD对应，BC和AD对应，写出其他的对应边 及对应角。补图知识点五全等二角形的性

30、质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。详解：由于全等三角形是两个能够完全重合的三角形，因此它们的对应边、对应角也能完全 重合，所以全等三角形的已知的条件是两个三角形全等。在全等三角形的这两条性质中，已 知的条件是两个三角形全等，得到的结论是对应边相等和对应角相等，因此在今后的证明过 程中，要证明两条线段线段相等或两个三角相等，常常通过证明两个三角形全等来实现。由于全等的两个三角形能够完全重合，因此这两个三角形对应边上的中线、高、对应角的平 分线也能重合，因此也应该相等，同样道理，全等三角形的周长和面积显然也相等。例5如图12-1-8所示，AADFACBE,且点E,B,D,F在一条直

31、线上，判断AD与BC的位 置关系，并加以说明。补图点拔可以初步判断AD和BC的位置关系式平行，欲说明ADBC,需说明N3=/4,要说明 N3=N4,利用三角形外角性质可以证明。经典例题全解题型一运用全等三角形的性质求角度及线段长例 1 如图 12-1-9, B, E、C、F在同一直线上，ZXABC空DEF, ZA=75 , ZB=60 , BE=5,求NF的度数与CF的长。补图点拔在应用全等三角形的性质时根据需要选取对应边、对应角，同时要结合三角形的内角和 进行计算。题型二利用全等变换解决几何问题例2如图12-1-10所示，图中是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC方向 平移得到A

32、DEF。如果AB=8cm, BE=4cm, DH=3cm,则图中阴影部分面积为.补图点拔根据全等三角形的面积相等，将求阴影部分面积转化为求梯形ABEH的面积。 例3如图12-1-11所示，zABC绕着点C顺时针旋转90得到：,且NACB=90。(1) AABC和4DEC是否全等？若全等，指出对应边和对应角。(2)直线AB、DE有怎样的位置关系？补图点拔旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变。12.2三角形全等的判定教材知识全解知识点一三角形全等的判定方法一一一边边边三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”)。详解：1.满足三角三边六个条件中的一个

33、或两个对应相等，不能保证三角形全等。按下列给出的条件画三角形：一条边茶馆是4cm；一个角是50 ；两个分别是50、 60 ：一条边长是3cm, 一个角是60。发现每个小题所画的三角形可以大小不同，形 状不同。比如中边长为4cm的三角形可以是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形多种 情况，因此他们不可能全等。由此我们可以得出结论：满足三角形三边三角六个条件中的一 个或两个对应相等，不能保证两个三角形全等。2 .探究(利用“SSS”尺规作图作出全等三角形)。已知：AABC,求作：ABC,使 AB=AB, BC=BC, AC=AC.具体作法：画线段BC=BC；分别以B, C,为圆心，线段AB, AC为

34、半径画弧，两弧交于点A，；连接AB、ACo则ABC即为所求作的三角形。如图12-2-1.补图得出结论：如果三角形的三边确定了，三角三饿形状和大小也就确定了，这就是三角形的稳 定性。3 .应用说明。思路：判定两个三角形全等，应设法确定这两个三角形的三条边对应相等。书写格式：如4 .应用说明思路：判定两个三角形全等，应设法确定这两个三角形的三条边对应相等。书写格式：如在AABC 中和8C中，AB=A B , BC=夕 C ,AC=4。/. ABCB A B c ,注意事项：有的题目可以直接从题中和图中找到全等的条件，而有些题目的一知条件隐含 在题设和图形之中，如;公共边、公共角、对顶角等，解题时一

35、定要认真读图，准确把握题 意，找准所需条件。5 .三对对应角相等不能说明两个三角形全等。如图1222,在AABC fHAADE中，DEBC,由平行线的性质，可知:NADE=NB, ZAED= NC, ZA=ZA,但是4ABC和AADE不全等。所以有三对角对应相等的两个三角形不一 定全等。补图例 1 如图 12-2-3,点 E、F 在 BC 上，AB=DC, AF=DE, BE=CF, B,E,F,C 在同一直线上, 求证;ABF/ZXDCE。补图知识点二三角形全等的判定方法二边角边两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS” ）o详解：1.探究（利用“SAS尺规作

36、图作出全等三角形）。已知：AABC,求作：A8C,是 A8=AB, Z A =ZA, A C =AC.作法：作NDAE=NA；在射线Ad上截取A 8 =AB,在射线Ae上截取Ac =ac；连接5 c.则4 A B C即为所求作的三角形。如图12-2-4.补图 所作出的 A夕C和ABC形状、大小完全相同。得出结论：如果三角形的两边以及这两边的夹角确定了，三角形的形状和大小也就确定了。2 .应用说明。（D“SAS”是指判定两个三角形全等的条件时两条边及这两条边的夹角对应相等，其中的夹 角是指两条已知边的夹角，而不是其中一边的对角。在列举两个三角形全等时，要按照“边-角-边”的顺序排列条件，这样能突

37、出两边、夹角 对应相等。书写格式：如图12-2-5所示，在ZkABC和A6C中，补图+补资料判断两个三角形全等的思路如下表：已知条件可选择的判定方法寻找对应相等或两边的夹角对应相等两边对应相等SSS或SAS第三边对应相等或两边的夹角对应相等一边一角（非对角）对应相等SAS已知角的另一条边对应相等3 .如果两边一角中，角不是两边的夹角，则不能判定这两个三角形全等。反例：如图 12-2-6,在AABC 和4ABD 中，ZB=ZB, AB=AB, AC=AD,但是在AABC 和ABD并不全等。补图例2如图12-2-7,在AB=CD, ABCD, CE=AF。判断在4ABE和4CDF是否全等，并 说明

38、理由。补图知识点三三角形全等的判定方法三、四-角边角、角角边两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 两个角和其中一个叫的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。详解：1.探究（利用“ASA”尺规作图作出全等三角形）。已知:AABC,求作：A B C ,使A B=AB, /A=NA, =ZB.作法：作A 8 =ab；在A8的同旁画ndA8 =/a, fi E=ZB, A，D和8e相交于点则ABC即为所求作的三角形。如图12-2-8.补图 所作出的A8C和abc形状、大小完全相同。 这样我们得到三角形全等的判定方法三:三角形的两角和

39、它们的夹边分别相等的两个三角形 全等。2 .由角边角公理推导角角边。已知：如图 12-2-9, NA=/A，NB=/8，BC=BC,求证：ZABC且AB,C。补图证明：NA=/A, NB=n5，.NC=/C。在AABC 和8C 中，nb=N B , BC=c , ZC=ZC , .,.ABCA B C(ASA)得出结论：两个角和其中一个叫的对边分别相等的两个三角形全等。3 .应用ASA和AAS证明全等的说明。运用“ASA”证明三角形全等的书写格式：如图 12-2-10 在ZkABC和A8C 中,补图NA=N A , AC=A C , /c=/0。/.ABCA B C (ASA)o运用“AAS”

40、证明三角形全等的书写格式：如图 12-2-11,在aABC 和4A,8 c 中，补图NB=N, /a=/A, aC=AC。/.ABCA B C (AAS).三角形全等判定方法的选择：已知条件可供选择的判定方法一边和这边邻角分别相等选边：只能选角的另一边(SAS)选角：可选另外两对角中任意一对角(AAS、ASA)一边及它的对角分别相等只能再选一角：可选另外两对角中任意一对角(AAS)两边分别相等选边：只能选剩下的一对对应边(SSS)选角：只能选两边的夹角(SAS)两角分别相等只能选边：可选任意一对对应边（AAS、ASA）例3 已知：如图：12-2-12,点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交

41、于点O, AB=AC, ZB=ZC,求证：BD=CEo 补图知识点四直角三角形全等的判定方法-斜边、直角边斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 详解：探究（利用“HL”尺规作图作全等三角形）。已知 RtZABC, ZC=90 .画一个,使/C =90 , A8 =ab, B C =BCo作法：画N=90 ；在射线C M上截取8 C =BC.以点8为圆心，线段AB为半径画弧，交射线C,N于点A；连接A B。则为 A 8C即为所求作的三角形。如图,2.2-13.补图得到 4 8 C与aabc是全等的。得出结论：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形

42、全等。2.HL应用说明。HL是识别两个直角三角形全等特有的方法，应用此方法时要注意：要保证两个三角形 是直角三角形；斜边相等；任意一条直角边对应相等。一般三角形全等的判定方法对判断两个直角三角形法，即SSS,SAS、ASA、A AS. HL。 书写格式：如图 12-2-14, 补图在 RtAABC 和 RtA ABC 中，ab=A B ,BC= B C：.RtAABCRtA A B C （ hl）。应用“HL”判定两个直角三角形全等时，耍突出直角三角形这个条件，书写时必须在两 个三角形前加上“Rt”。例4已知：如图12-2-15所示，AD为AABC的高，E为AC上的一点，BE交AD于E且有 B

43、F=AC, FD=CD。求证:BEACo补图经典例题全解题型一运用分析法证明三角形全等例 1 已知如图 12-2-16,点 A、E、B、D 在同一条直线上，AE=DB, AC=DF, AC/7DF, 请探索BC与EF有什么样的位置关系？并说明理由。补图点拔两直线平行是和直角相等联系在一起的，当已知条件中出现平行或者证明平行时，要 尽可能向两角相等的方向靠拢。分析法：从要证明的结论出发，根据已学过的定义、定理、公理，反过来寻找能使结论成 立所需的条件，这样一步步的逆求，一直到结论成立的条件与一知条件吻合，即结论一己知。题型二运用“两头凑”法证明三角形全等例 2 如图 12-247,已知：AB=C

44、D, AD=BC, AE=CF.求证：。是AC的中点。补图点拔：“两头凑”的方法是先由已知条件结合已经学过的定义、定理、公理推导，看能推导 出什么结论；同时由结论出发，反过来寻找能适结论成立所需的条件，一步步逆推，当正好 和已知推导出来的结论相吻合时，问题即可得证。即：一中间条件一结论。题型三全等三角形性质与判定的综合运用例 3 如图 12-2-18,已知 BC、EF 交于 0 点，ABCD, OA=OD, AE=DF。求证：BF CFo补图点拔由于全等三角形的对应角相等，对应边相等，因此证明两个三角形全等是证明两个角相 等或两条线段相等常用的方法。题型四三点定形确定全等三角形 例 4 已知，

45、如图 12-2-19, AD=BC,AC=BD,求证：ZC=ZD补图点拔已知条件提供的线段相等一般是对应边相等，这时我们可以将这些线段置于三角形中， 如AD与BD在同一个三角形中，这两条线段涉及的三个字母A、B、D确定了 AABD,这 就是三点定形法。题型五三角形全等于方案设计问题例5如图12-2-20,八年级数学兴趣小组要测量河中浅滩B （可看成一点）与时岸A之间 的距离，先在另一岸边确定点C,使C、A、B三点在同一条直线上，再在AC的垂直方向 上作线段CD,去CD的中点O,然后过点D作DFLCD,使F, O,A三点在同一直线上， 在DF上取一点E,使E, O, B三点也在同一直线上。那么EF的长就是浅滩B与对岸A 之间的距离，你