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1、项目一绪论恚立旗一、材料力学的任务强度：构件抵抗破坏的能力。刚度：构件抵抗变形的能力。稳定性：构件保持原有平衡形态的能力。材料力学的任务:研究材料在外力作用下的变形和破坏规律,为合理设计构件提供强度、刚度和稳定性方面的基本理论和计算方法。二、材料力学的研究对象材料力学的研究对象：杆件。杆件：纵向尺寸远大于横向尺寸的构件。杆件的几何要素：横截面与轴线。横截面：杆件的横向截面。轴线：杆件横截面形心的连线，为杆件的纵向几何中心线。三、材料力学的基本假设对变形固体的基本假设一一连续性假设：组成固体的物质毫无空隙地充满了固体所占有的整个几何空间。均匀性假设：固体的力学性能在固体内处处相同。各向同性假设：
2、固体在各个方向上的力学性能完全相同。对构件变形的基本假设一一小变形假设：构件受力产生的变形量远小于构件的原始尺寸。四、内力、截面法和应力（1）材料力学研究的内力是由外部因素（载荷作用、温度变化和支座沉降等）引起构件不同部分之间相互作用力的改变量。（2）截面法是材料力学求解内力的基本方法，可以归纳为三个步骤：在欲求内力处用一假想截面将构件分成两部分，任取一部分作为研究对象；用截面上的内力代替另一部分对所分析部分的作用力；建立取出部分的静力平衡方程，求解未知的内力。（3）应力是构件内一点处内力的分布集度，是矢量。通常把一点处的全应力p分解成两个正交的应力分量，垂直于截面的分量称为正应力，用符号。表
3、示；与截面相切的分量称为切应力（或剪应力），用符号t表示。应力的国际单位为帕斯卡（Pa）, lPa=lN/m2, lMPa=106Pa, lGPa=109Pa；工程单位为kg/cm?, lkg/cm2=0.1MPa（.五、杆件的基本变形杆件的基本变形：轴向拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲。所示结构所示Nbc=4I F*=0, M + NI cosa =0y Fy =0, Qz F + M cosa =0=0, Nisina(L jt)=0可得、，FxM =- N| cosa =-cotaC _ IT KT _ F(L -x)Q2 F N、sina;A42= N)( L - j-)sina =彳F
4、可见，它们的最大值分别为FN=,N2= Fcota.Q = F,M:=0.25FL. sina一、判断题1 .材料力学是研究构件承载能力的一门学科。（）2 .材料力学的任务是尽可能使构件安全地工作。（）3 .材料力学主要研究弹性范围内的小变形情况。（）4 .因为构件是变形固体，在研究构件的平衡时，应按变形后的尺寸进行计算。（）5 .外力就是构件所承受的载荷。（）6 .材料力学研究的内力是构件各部分间的相互作用力。（）7 .用截面法求内力时，可以保留截开后构件的任一部分进行平衡计算。（）8 .压强是构件表面的正应力。（）9 .应力是横截面上的平均内力。（）10 .材料力学只研究因构件变形引起的位
5、移。（）11 .线应变是构件中单位长度的变形量。（）12 .构件内一点处各方向线应变均相等。（）13 .切应变是变形后构件中任意两根微线段夹角角度的变化量。（）14 .材料力学只限于研究等截面直杆。（）15 .杆件的基本变形只是拉（压）、剪、扭和弯四种，如果还有另一种变形，必定是这四种变形的某种组合。（）二、填空题1 .材料力学和理论力学的研究对象不同，前者研究的是,而后者研究的是一。2 .变形固体根据其几何特征可分为、和三类。材料力学主要研究对象是3 .弹性变形时，构件内一点单位长度上的变形量称为,微单元体两棱角直角的改变量称为 O4 .截面法的基本步骤可概括为、。5 .杆件的基本变形有、和
6、四种，杆件的复杂变形可以看成是几种基本变形的组合，称为三、计算题1 .试求题1图所示结构中1-1和2-2两截面的内力。2kN-m ,4kN-m题1图2 .如题2图所示结构，在刚节点B的作用力矩为M,试确定1-1、2-2和3-3截面上的内力。2ia_2-2，a题2图项目一轴向拉伸与压缩3.一高为800mm的混凝土圆柱受压破坏，破坏前轴向平均线应变为-1200X 106，求破坏前圆柱的压缩变形。一、内力(1)轴力是指轴向拉压变形时杆件横截面上的内力，用符号N表示。它与杆件的轴线重合。(2)正负号规定：引起杆件轴向伸长的轴力为正；引起杆件轴向缩短的轴力为负。也可表述为N的方向与截面外法线方向一致时为
7、正，反之为负。(3)求轴力的方法截面法，一般将所求截面的内力假设为正值，这种方法称为“设正法如果所求结果为正，说明假设正确，该轴力是拉力；如果所求结果为负，则说明假设错误，该轴力是压力。(4)轴力图是表示各横截面上的轴力沿杆件轴线方向变化的图形。作法：以杆的左端为坐标原点，取x轴为横坐标轴，称为基线，其值代表截面位置：取N轴为纵坐标轴，其值代表对应截面的轴力值。正值绘在基线上方，标号13;负值绘在基线下方，标号。作轴力图时应注意轴力图与杆件的一一对应关系，习惯在其值变化的角点标出数值。二、应力(1)横截面上的应力等直拉压杆横截面上只有正应力。，没有切应力T。正应力在整个横截面上均匀分布，计算公
8、式为式中：N为横截面轴力：A为杆横截面面积。正应力的符号规定：拉应力为正，压应力为负。常用单位为MPa和Pa。实际计算中如果轴力单位取N,横截面面积单位取mm2,则。的单位就是MPa。式（2-1）除可用于等直杆外，还可近似用于锥度不超过20的小锥度直杆。（2）斜截面上的应力拉压杆斜截面上一般既存在正应力。.，也存在切应力T。，它们的大小随其方位而变化。计算公式为at =0COS，r.= ysin2a（2-2）式中：。为横截面上的正应力：a为斜截面的方向角。规定：a由横截面外法线转至斜截面外法线时，逆时针转向为正，顺时针转向为负。下面介绍斜截面的几种特例：当a=0时，斜截面即为横截面，正应力达到
9、最大值，。max=o o=，且横截面上T（y =0o, I I mux I I . O当a =45时，切应力达到最大值，乙，且这两个斜截1面上的正应力2当a =90时，即在平行于轴线的纵截面上，o0=t=0,即纵向截面上无任何应力。三、变形与应变及虎克定律（1）轴向拉伸与压缩时的变形与应变等直杆的原长为I,横向尺寸为b,受轴向力F作用发生轴向拉伸或压缩变形。杆变形后杆长变为I”横向尺寸变为bi。_/纵向（轴向）变形为Al=ll,纵向（轴向）应变为1;横向变形为Ab=bb,横向应变为(2)虎克定律当。Op,即材料处于线弹性范围时，轴向变形可由虎克定律计算:(2-3)当轴力N或横截面面积A沿轴线变
10、化时，则式中：EA称为抗拉（压）刚度：AI为纵向变形，伸长为正，缩短为负。虎克定律用应力与应变可表示为氏(2-5)式中：E为材料的拉伸或压缩弹性模量，量纲与应力相同，反映材料的弹性性质。(3)当。W。，即材料处于线弹性范围时，杆件的横向应变和轴向应变e的关系为e = y e (2-6)式中：口称为泊松比(横向变形系数)，无量纲。与弹性模量E一样，N也是材料固有的弹性常数，其值由试验测定，一般介于0.10.5。四、材料的力学性质材料的力学性质是指材料在外力作用下表现出的变形与破坏特征，一般在常温、静载条件下通过试验获得。低碳钢和铸铁是塑性材料和脆性材料的典型代表。(1)低碳钢拉伸试验变形包括四个
11、阶段，分别为弹性阶段、屈服(流动)阶段、强化阶段和局部变形(颈缩)阶段。力学性能指标包括强度指标和塑性指标。其中属于强度指标的有：比例极限。p：应力和应变成正比的最大应力。弹性极限。e：只产生弹性变形的最大应力。屈服极限。S：屈服阶段相应的应力。强度极限。b:材料在断裂前能承受的最大应力。属于塑性指标的有：8=4口 X100%延伸率：t3=与&义100%断面收缩率：A工程上通常将55%的材料称为塑性材料，s l)所得的应力，用。表示。对塑性材料：(2-7)对脆性材料:(2-8)式中：%和肌分别为塑性材料和脆性材料的安全因数。安全因数和许用应力的数值可从有关规范或设计手册中查得。（2）强度条件为
12、了保证构件有足够的强度，同时还具有一定的安全储备，要求在荷载作用下构件的实际工作应力不超过材料的许用应力轴拉（压）构件的强度条件为Na(2-9)（3）强度条件的计算步骤用截面法分析杆件的内力，确定危险截面及其内力。计算危险点应力，并建立强度条件，按要求进行强度计算。（4）强度计算的三类问题强度校核rnax -N nuxNa截面设计许用载荷计算Nx4aA再由N与载荷的平衡关系，确定许可载荷F。六、拉压超静定问题超静定问题是指结构存在多余约束，仅用静力平衡方程不能求出全部未知量的力学问题。多余约束的数目称为超静定次数。多余约束对保证结构的平衡和几何不变性并不是必不可少的，但对满足结构强度和刚度的要
13、求是必须的。处于平衡状态的超静定结构除了要满足静力平衡方程外，还因多余约束的存在而需要满足其他一些条件的要求。找到这些其他条件，列出相应的补充方程是求解超静定问题的关键。补充方程可由杆件变形之间的变形协调条件，以及变形和力之间的物理关系得到。求解超静定问题的步骤一般为：列出全部独立的静力平衡方程。根据结构或杆件变形后应保持连续的变形协调条件作出位移图（或变形图），由位移图的几何关系列出变形间的关系方程。由虎克定律列出变形与力之间的关系方程。将物理关系代入变形协调条件，得到补充方程。联立求解静力平衡方程和补充方程，求出全部未知量。拉压超静定问题大致有桁架系统、温度应力和装配应力三类。一、拉（压）
14、杆的强度计算根据公式进行轴向拉（压）杆的强度计算。强度计算有以下三类问题：1 .校核强度已知杆件所受外力、横截面面积和材料许用应力，检验强度条件是否满足。2 .截面设计已知杆件所受外力和材料许用应力，根据强度条件确定杆件横截面尺寸。3 .确定许可载荷已知杆件横截面面积和材料许用应力，根据强度条件确定杆件容许承受的载荷。在根据公式进行拉（压）杆强度计算时，应特别注意以下两点：1 .式中的Fn为拉（压）杆横截面上的轴力，应根据截面法由平衡方程确定。2 .应综合根据拉（压）杆的轴力图和其截面的削弱情况来判断危险截面，并对可能的危险截面逐一进行强度计算。二、拉（压）杆的轴向变形计算根据公式计算拉（压）
15、杆的轴向变形。在计算拉（压）杆的轴向变形时，应注意以下几点：1 .若拉（压）杆的轴力、横截面面积或弹性模量沿杆的轴线为分段常数，则应分段运用，然后代数相加，即有2 .若拉（压）杆的轴力、横截面面积沿杆的轴线为连续函数，则应根据积分元素法,化变为常，先在微段dx上运用，然后积分，即有Z =FnCz）J,瓯B业3 .计算中要考虑轴力Fn的正负号。若最终结果AI为正，则表明杆件伸长；若AI为负,则表明杆件缩短。三、求解简单拉伸（压缩）超静定问题运用变形比较法求解简单拉伸（压缩）超静定问题的基本步骤为：1 .画受力图，列平衡方程；2 .画变形图，建立变形协调方程；3 .通过物理关系，将变形协调方程改写
16、为关于未知力的补充方程；4 .联立补充方程和平衡方程，求解未知力。求解拉伸（压缩）超静定问题的关键在于变形协调方程的建立。在建立变形协调方程时,一定要作出结构的变形图，并注意利用小变形假设，“以切线代弧线”、“以直代曲”，使问题得到简化。【例题制析】【例2-1】拉杆受载如图2-1(a)所示。已知均布载荷的集度为q,试作拉杆的轴力图。解以拉杆左端为原点，建立水平向右的坐标轴x,由截面法可得拉杆的轴力方程为Fn (x)=qx (Oxl)由对称性，可画出拉杆的轴力图如图1.2所示。【例2-2在图2-2(a)所示结构中，杆BC和杆BD的材料相同，且受拉和受压时的许用应力相等，已知载荷F,杆BC长I,许
17、用应力为。试求使该结构的用料最省时的a 角。(a)(b)图2-1解研究点B图1.3(b),设两杆轴力为Fi和F2。由节点的平衡方程可得F1= sina若使两杆的应力均达到许用应力值，则有a _ F_ F 八_尸2一 Feos 4-0=砌 Az = ra =15T该结构体积为V = A，+=_以开3+唧 cosa sinacosaLJ La若v为最小，则有dV _ n益一sin，-2 cos2 a92sin acos a可得tana =疙,a =54.74当a=54.74时，结构的用料最省。(a)(b)图2-2【例2-3】圆锥形杆长I如图2-3所示，已知两端的面积分别为4和A1，铅垂作用力F,假
18、设锥角a远小于20,试求：（1）杆的伸长量；（2）杆内贮存的应变能。解（1）求杆的伸长量。建立图示坐标系，由比例关系可得该杆横截面积为锥形杆总伸长为F翳当x=hl时,A=Ao,由式(a)(a)_理1iEA2(。一/)4可得代入式（b）得一 FLZ =.-E JA i A。（2）求杆内贮存的应变能。认为横截面上的应力仍是均匀分布的，则x处横截面上正应力为/、_ F _ F/f人而5-讨应变能密度为八力国立1!=上L杆内总应变能为=v,(x)dV =J vv,(x)A(x)cLr =F2Zf . = P2l 2EAX以上结果也可以由“外力功等于应变能”的功能原理得到Vt = W =&F&=22E【
19、例2-4】两端固定的等直杆AB,如图2-4所示。已知沿轴向均匀分布的载荷集度为 q.杆长为I,拉压刚度为EA,试求：(1)任一横截面的轴向位移；(2)横截面最大的轴向位移及其位置。解(1)求杆AB任一横截面的轴向位移。研究杆AB (图24),由平衡条件得FA+FB-ql=O由截面法求得轴力方程为Fn (x)=FA-qx由“杆的总伸长量为零”的变形几何条件/FnCOcLz =(Fa gr)cLr = FAlql2=0-Jo-EA -Jo EA EA2EAFa =%可得”杆AB任一横截面的轴向位移为置外=反二dx =显_ Q =笠.二欠“ Jo EA EA 2EA 2EA图2-4(2)求横截面最大
20、轴向位移及其位置。曲(7) n-i =0 ctr由ql 2qx =0I y*-即2处横截面的轴向位移最大，其最大轴向位移为6max = 62EA(c)【例2-5】支架如图2-5(a)所示，杆BCD可视作刚体。已知：作用力为F,杆1和杆2的材料和截面积均相同，即有Ei=E2，Ai=A2,两杆的拉压许用应力分别为和。J，试求两杆的横截面积。图2-5(1)静力关系。研究杆BCD,受力图如图2-5(b)所示，得SMb =0, F|/+ F22/-F22= O乙可得 72F1+4F2=4F(a)2个未知数1个方程，为一次超静定。(2)几何关系。画杆BCD的变形图，如图2-5(c)所示，得几何方程为= 2
21、 He = 22 M(b)(3)物理关系。A/ f2i代入式(b),得里=2源EA2 EA解得Fz=4Fi(c)联立求解式(a)和式(c),得厂4F =16FFi =-,r2=72+16夜+16杆1为压杆，杆2为拉杆，可建立两杆的强度条件为=京=4F（72 + 16）,由上式解得Al 2 rzj（+16）d16F（女+面为保证安全，两杆的横截面积应为A = max(Ai Ag)【例2-6】组合杆由两种材料组成，如图2-6(a)所示。已知拉力为F,两种材料的弹性模量为Ei和E2,截面积分别为和A”截面形心到底边的距离分别为yi和丫2。若在拉伸变形过程中，组合杆两端面保持平行移动，试分别求各种材料
22、所受到的轴力Fi和F2,应力。1和。2，以及拉力作用点的位置e。图2-6解(1)静力关系。研究组合杆右段图2-6(b)的平衡EFX=O, Fi +F2=F(a)EM=0, Fi yi+F? y2=F e (b)3个未知数2个方程，为一次超静定。(2)几何关系。杆端面平行移动，则有E1=E2=E(3)物理关系。将物理关系代入几何方程可得B 玲EAE2 A2(c)联立求解式(a)和式(c)得Fi =可得应力表达式为EiF_ E2F0】-Ei A】+E2 A2久一匕41 E2A2由式（b）可解得拉力作用点的位置=EiAi+E212 y2Ei A】+ E2 A2【例2-7许用应力。=160MPa的钢丝
23、绳沿铅垂方向绷紧在A、B两点之间，如图2-7所示，绳内预应力为。o=lOOMPa。已知：绳长l=lm,弹性模量E=200GPa,截面积A=lcm2,在h=0.4m处加一个向下的载荷F。试求：（1）许用载荷旧以及点C的位移Ac；（2）若要提高许用载荷，施力点C应取在何处？旧可以提高到多少？.A n 2B . u77t7/图2-7解（1）求许用载荷F以及点C的位移Ac。由于钢丝绳内已有预应力，假设：外力F所产生的应力与预应力叠加的结果不为压应力,则可将钢丝绳视为弹性杆求解。外力F在钢丝绳AB段和BC段内产生的轴力为AC段的应力为6=4+易=。+得=00 X I。，+ mx 樱:温&=16。X IM
24、（b）可解得F10X103=10kN由此，可求得BC段内应力叠加的结果为ff2 =a +为拉应力, 移为易=的一笫=100 X 一：曾=60MPaA LAIm X1X10Fli = 0. 6 X 10 X IO? x 0. 4 EA 1 X 200 X 109 X 1 X 10=0.12 X 10-3m = 0. 12mm( | )因而前面的假设成立。可取许用载荷旧=10kN。在此外力作用下，点C的位（2）确定外载荷F的作用点及许用载荷的最大值旧max。由式（b）可见，要提高许可载荷，应减小12,同时，由式（a）可知，b变小会使BC 段内的压应力增加，与预拉应力叠加后有可能产生压应力。因此，应
25、使BC段的轴力不低于零以及AB段的应力恰好达到许用值这两个条件同时满足，即Fee = ffoA - yF =01 I2 F _ j Z - Zi F _1呢=0。+74=的+r不-联立求解以上两式，可得F = AW =1 X KT4 X 160 X 106=16kN/电！=10 X 10625m团一160。bZm即在距钢丝绳上端0.625m处可施加最大的许可载荷为16kNo【例2-8】桁架由杆AB和杆BC组成，如图2-8（a）所示。已知两杆的横截面积均为 A=20mm2,长度均为l=300mm,=30, F=5kN。两杆材料相同，应力一应变曲线如图（b）所示，弹性模量为折线变化。试求点B的铅垂
26、位移Ab。图2-8解从桁架的对称性可知两杆的轴力相等，设为FN,由节点B的平衡方程可得Fy =02FNsin30 F =0FN = F =5 kN当轴力FN=120X20=2.4kN时，材料的弹性模量将会改变，可将加载过程分为两段来分析。第一段：各杆轴力为Fn=O2.4kN,各杆伸长为Z1=0.18mmFniZ =2.4 X 及 x 300帝200 X 103 X 20点B向下的铅垂位移为bi =sin30=2 X 0.18 = 0. 36mm第二段：各杆轴力为Fn=2.45.0kN,各杆伸长为Fnz/ = (5-2. 4) X1O3X3OOEA 100 X 103 X 20=0. 39mm点
27、B向下的铅垂位移为a?sin302 X 0. 39 = 0. 78mm点B向下的总铅垂位移为b = 即 + & = L 14mm 一【例2-9如图2-9 (a)所示的三角形支架，AC为50X50X5的等边角钢，AB为10号槽钢。已知。=120MPa,求许用载荷F。(a)图2-9例2-9图解 (1)计算轴力设斜杆为1杆，水平杆为2杆，用截面法取节点A为研究对象，受力图如图2-8(b) 所示。一尸工=0, N,cos30+ N2=02 Fy =0, Ni sin30 F =0解得FNk石打=2FN2= M cos30=/3 F(2)根据斜杆AC的强度条件，求许可载荷查型钢表得斜杆AC的面积为A1=
28、2cmX4.8cm=9.6cmzN国o肉Fi 4*I =4 X 120X106X9.6X10-4=57,6X1OS(N)=57.6(kN)uCt(3)根据水平杆AB的强度条件，求许可载荷查型钢表得水平杆AB的面积为A2=2cm X 12.74cm=25.48cm2n2私=1钢板被冲剪时，剪切面是钢板内被冲头冲出的圆柱体的侧面，如图3-1(b)所示。冲孔所需要的冲剪力为Q_ F、400 X103360X10sX3.4X10-21.04(cm)图3-1例3-1图【例3-2】图3-2中的接头由两块钢板用4个直径相同的钢钾钉搭接而成。已知荷载F=80kN,板宽b=80mm,板厚t=10mm,钾钉直径d
29、=16mm,许用剪应力t =i00MPa,许用挤压应力o bs=300MPa,许用拉应力。=160MPa。试校核接头的强度。图3-2例3-2图【解】(1)钾钉的剪切强度校核分析表明，当各钾钉的材料、直径均相同，且外力作用线通过钾钉群剪切面的形心时,可认为各钾钉剪切面上的剪力相等。因此，图3-2所示各钾钉剪切面上的剪力均为q=Z =22121c=2xio4(N)44相应的切应力为r= A =4 X 067=9-95X 107(Pa)=99.5(MPa)rA nd 3.14 X 0.016(2)钾钉的挤压应力校核由钾钉的受力情况可以看出，每个钟钉所受挤压力等于剪切面上的剪力Q,因此最大挤压应力为%=今=3=6.0黑3O16= L