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1、1.计算下列行列式:(1)(2)COSX-sinxsinx cosx解:(1)=7X5-1X4=31；0=1；x + y-i-z x + y+ z x + y + z=(x + y+ z)0(4)2 cosx10习题1.1y =(x + y + zyz=x3x-z2cosx2 cosx112 cosx12 cosxl-4cos2 x012 cosx-2 cos x2 cosx-x3=-2x3-2y3=8 cosl-4cos2 x2 cosx-2cosx12 cosxx 4cosx o=x(x + y)y + yx(x + y)+ yx(x + y)-(x + y)2(x + y)2.用行列式方
2、法求解下列线性方程组:(1)3x + y =-15x +2y =8(2)2%j - x24-3x3=14x)+2x24-5x3=4 o解:(1) D =1, A =-1S=10,Z)2=3-158=29,AA Q D， I D、X =万=9,2=方=-1,毛=方=-6。3 .求下列各排列的逆序数：(1) 34215；(2)13-(2/7-1)(2n)(2n-2)-2o解：(l)t=2+2+l=5(2)t =1+2+1)+(2)+2+1=(“-1)4 .写出四阶行列式中含有因子。|闷23的项。解：%加2p2a34p,=P3P4是2,4的全排列，即24,42,故（-1严324）%43a32444，
3、（一1）吟小3%425.证明00-0 an0。2“w(w+3)D =(-02 anain-an-2anl%2-!-11a“2 a“z am按行列式定义即可证明（略）。习题1.21.试证明行列式性质4。ai2ain证：D =0ka“ka,2an2.计算下列行列式:(1)1000-1-10-1-101231798545=17x9x=0412412021202120120241240-72-401110520105200-152-200-1520117011701170-7227-2043.计算阶行列式:20003000nI11D =111(1) D =n-l + a1In-l + aa1n-l +
4、 a 1*,an-+ a11111-a111111111a110a-00=(n-l + a)11a1=(7?+ a-l)00a 10111 a00047-1解:=(w-l + a)(a-l)M o第行的-L倍都加到第1n(2)把第2行的-;倍，第3行的-1倍,行上去，。可化成下列行列式11-二ooo：=21=n12001030100习题1.31.计算下列行列式:o。二2i-1 1 11 -1 101-11 -1 1ahb b b bah abb aha0aa2 (a + 1)2 (a + 2)2 g + 3)2b2 (Rif (6 + 2)2 3 + 3)2 c2 (c + 1)2 (c +
5、2)2 (c + 3)2 d2 (d + iy (d + 2 3 + 3)21-1111 -1 101-11川 1 -1D=2-1 -3 =2x(-产 =20 2 -1 -32 -10=a a-b a - babhh00a-b00a-b00b - aa-h0a-ba b b bbah abb abaha-ba-bh ba-b 00 0=-q(a-bp _“q_6)3 =_( + 6)(6)3 ；0 a h aa0a bh a0 aa ba 02a+ b2a+ b2a+ b2a+ ba 0 a bh a 0 aclbcl0=(2(7 4-/?)1111a0a bha0aCl b a 01aba0
6、一Cla - bb - a00b00b-aa-b一Q=(2 + b)=(2i + b)(-b)-cib-ab-a-a=-b2(2a + b)(2a-b)；(4) Da2 a2 + 2a +1 b2 +2b + i c2 c2 + 2c+ 1 d2 /+21a24-4a+4 a2+6a +9/+4b +4+6b +9/+4c +4/+6。+9/+4d +4/+6d +9a22a + l4a+46a+97a2a + l26b226+14b+466+9b-26+126=0 oc22c + l4c+46c 4-9c22c + l26d224+14d+46d +9d224+1262.计算下列行列式:12
7、3n- n122-21-10-00222-202-200(1) D“=；（2）a =223-20002-n0222 n000n-n0102001+ x(1:；(4) D=0001000000(3) D,=n-000I Il + x211 l + xn(n +1) z 八/、八、(-1) z 八，=(-1)(-2)(2-)(l-n)=-(n +1)!；(2)第2列的(T)倍分别加到其他各列上去，得-12002000200210。“=021-0=-lx .=-2x(/?-2)!；:20.n-2020 n-2(3)先按最后一行展开，得0001.00,1,20.(1)(一2)Dn=nx(-)n+.=n
8、x(-irlx(-l)lw Y Z(/7-l)!一1000n2-n+4=(1)2！；( + 1)23 n-n20-I0 00D“ =022 ,- 00000 2-n0000 - -1-n解：(1)从第2列开始，各列统统加到第1列上去，得_12 ( +1).02002-n0n-1 -n(4)将。，增加一行、一列，得到+1阶行列式:1-1-1-1014- X1112=01+x21011l + x1i+Y-i-1-ii=40x,0000x2,00001-1-11X)01o%100-100n =(1+ Z)x(a臼o (设生。2q产0)。/=i %习题L41.用克莱姆法则解线性方程组:Xj -2x2+
9、3x3-4x4=4,2_J再4-a,x2+afx3+ q -=1,玉+。2+。枭3+”+片-5“=1,1 I 1 M/ Uj 9j=l,2,，n)o1-2344-23-401-11-31-11=16,R =130113010-731-3-7343-41-24-4-3-1101-31101=3x16,3=1311=-3310-7-31解：D =16x8,6x16,1010X+。/2+%3+= lo-31= 6,x4 = = 0 ；X 1, x? = X3 x“ 0 o1-2301-12=1300-732 .问力取何值时，下列方程组有唯一解？/lx,+ x2+ x3=1,$+ Ax2+x3= A,
10、X1+ x2+2x3=22o2 1解：D= 1 21 11111111=(2+2)121=(A +2)0 A-l211A00=(/I+2)(2-I)2故当；I =2且7 Hl时,方程组有唯-解。3 .九取何值时，下列方程组有非零解？2xt +工2+马=0，X1+=0,%,+2Mx2+ W =。2解：D-14 1=12 101121M 1=_J =-/z(2-l) o0当；I #1,且MW 0时，方程组有唯一解（零解）,当;1=1或=0时，D=0,方程组有无穷多解。4 .求下列行列式的值:(1) D =234982716811+3必451625641252566251+看为11+玉匕%aana(
11、t 1aab(-1)(a-l产a 1a(a - ri)na n)n a aab1n(3)R =1+2%I +-1+2匕,；(4)R =生-41+当必1+ XJ21+ XJ”ab。“一打an - bn1 + a,212 +叼,aa2-an A 0 ；1 23na 12n-(6)D“ =a a1 n-2；(7)a aa 1012 n 2 n 101n-3 n-2(8) Dn =n-2一 3一401n-n 2n-310nn1123 n234 , w + lD. =:n + l + 2 ,- 2n-2_ 22解：D=232433233345525354=2x3x4x5x22223332331 14 5
12、42 5243 53=2x3x4x5x(3-2)(4-2)(5-2)(4-3)(5-3)(5-4)=1440e+1)(2) Dll+l=ax(-l)1 1a I a n(a-I)-1 (a(a-l)w (a-n)n= 4X(-1) 2 (-1) =ax 兀(z /)1 jin+1 + X必 4 = (1”(x-X|)必1 + XJ 1 + 须%（2-演）必（一占）歹2(4)2 =4-瓦a2 -bbb b._b bbbn-b,n(n+)n(n+)2(1x2x-xh)x1x2x-x(/?-1)x11+王为1+ x必(%-王)/仁一 xjx,o()必(x“tJx,若将其按第一行展开，当22时，所有代
13、数余子式全为0。因此，当22时,D“=0；当=1时，&=1+ xy；=2时，Dn =（*2一演）（必一必）。a-by b2-bb,b=0；当=1时，Dn -ax=2时，Dn =aba-a26、=（q -。2）3优）。巧00一0a00000a20,0a2200a.0(5)2=003二jt1 i-an一a”一+4anan一/+%+一一14/n-1; ifn ;、=%an-l+4+ Z=ata2*qi+zmo/=1 Ui/=1 uj-a11i-aaa a0-a1101- a1I(6) D=00-a1=001a 1aaa1a001 Q若将其按第一列展开，当22时，所有代数余子式全为0。因此，当22时,
14、D,a a a1111111-a 0001711=(j)+/”1a 00001-10-a 01-a=(l-a)n+a(-l)+，00=(l-a)n+a2(-l)n+，(1产广2=(_i)g _0”_。(7)第2列的(T)倍加到第3歹U，同时把第1列的(T)倍加到第2歹U，其余各列不变，得111 n(8)将第行的(-1)倍加到第+1行上去依-1, n-2,-3,，3,2),得= (-l)x(-l)(n-1)+1x(W-l)=(-ir+,x(w-i)x2n-200 200 0 02n-201111101112-2221-111 n 2 n-3 1w 3 n320n-1 n 2-1-1-1-2-n0
15、n -00100001n10100021-2200202n-3n-43-020 n一2 n-32-n002-3 n-n- n-21-770002 nn-100)1101200000002000020000020n00020n-lD“二5.用递推法计算行列式D =ncos。1012 cos 仞1012 cos co000000o解：Dn =2 cos coDn_=2 cos coDn_-上式为关于。Cc1_Dn.的002 COS 6910012 cosCOS 69100012 COS 69100012 cos co 000002 cos co00000129差分方程，其特征方程为/-2cos()
16、十1=0,特征根为1= coso +isiriG,故。=C)cos neo 4- C2 sin neo o 又 D?=2 cos2 eo-l = cos 2ty ,得C2=0, Cj =1,从而 D,= cos neo。1 1 -12x x 12x31 2 x。的展开式中，f的系数等于复习题1X1 .设 Z)=；x解：将D按第一列展开,D = x-X1IX1I2x112xXX3一1X3+123+12X2XX23X1XX12得四项求和2x21只有第一项能出现其系数是2。第一项含金,系数一2；第二、三项不含 X3；第四项含x3,其系数2。故。中的系数为2+2=0。2 .计算阶行列式Xaa aabx
17、2a aabb心 aabbb* X n-abbb -, bD .=x a a aab x 2 a aab b x 3 aaDn 一h b b x,aw-lb b b ba+(x-q)a a a axx aa a0hx2 a a ab x2a a0bb x3 a ab b x. a0一+bb b x. a nb bb Li 0bh b b ah hh b xn 解:Xihbax2b(xn-a)Dn_.Xy-ba - ba b a - b10x2-ba - b a - b100R-b - a-b1000, Xn-b100001+(x“-a)2T aIl (x，一+(x.-a)%，同理可得&= Z口
18、(x,- a)+(x- b) Dn_,/=!/=1（x，0）口卜，q）当a工6时，从上述两式可以解得。”=a - b只须对上式令bf a即可得n 、1 + a a) o/=! Xj - a J j=3 .计算+1阶行列式（q,4均不等于零，i = l,2,，）n%n- iax b jn-2t 2i bI, b；D +i =n2n-l v2 b2n-li 2a 2 b 2,-3na”+in- ja +l D w+1n-,2a ”+l0 w+i .解：口向=尾%1 bja、1b2/a2(6i/i)2-(%/%)2皿哈(仇/%)（范德蒙行列式）1加/%+1(b“+J%)2.(如/%)=n na” a
19、 124.设。=:M-u ”1,21 1z=ia”,求证：D = D+D 2+ D, a n-,n1（左=1,2,，）为将。中第4列元素换成演,2,x”i，l后所得的新行列式。证明：将。增加一行和一列得到下列+1阶行列式，此行列式显然为0。11.111|12ain再a n-1,167 n-1,2a n-,nXn-11-11将此行列式按第一行展开，得（-1广4=0, k=显然九=（-1尸2，（-1广4*=（-1户2（左=12,），（-产&“旬=。，故。这2。4=15.已知四阶行列式。=I 31 I235134624472,试求4n+42与43+4(4的值。其中4y是。的第4行元素的代数余子式(/
20、=1,2,3,4)o解：D =13 I1235I3462447210002一 33一1-5314-83-2-3 -533-1 -1-83一 2由于 aiAj + a,lAjl +6:4” + ai4AJ4分别取力，得+。42442 +343 +344 = 6再取 i=2, y=4,得 a2)J4l + a22A42 + a23A43 + a24A44 = 0。/寸。41，“42，”43，444，2 ” “22，”23，024 彳”，才441 + 442 + 2443 + 2/44 = - 63/41+3/42+4443+4444=0解得 4+ 4 =12,4 + 4-9o6 .计算”阶行列式D
21、”1 + X”1 + X：1 + X：解：将。,，增加一行、-列得到下列+1阶行列式，此行列式显然与原行列式相等，所以-1-1-1I1 + X)1 + X 21 1 + X：1 + X； ， , ,1 +月x2-1 X,2I1 + x：1 +芍1 + X；1,21-1-1-1苞芯X：=2d n （x，F）-tl（x,T）n （x，F） i=l iji,n/=!IW jin项-naf n（x,f）。7 .设o,b,c,d是不全为零的实数，试证明下列方程组只有零解:a/+b2+。工3+工4=0 bxax2+d x3cx40 cx-dx2-ax3-bx4=0 dx1-cx2bx3ax4=0证明：方程
22、组的系数行列式abedb a d cD =,c -d -a bd c b -a显然，0满足。2=。=(/+62+。2+/2)0,根据克莱姆法则，此方程组只有零解。yy。Xyoo =（7）%+歹（-1户axTx y y z x y8 .计算行列式Q=z z x z z zx y y z-x x-y 0解：Dn =0 z-x x-y000 x-y=（x-y）Dn_l+y（Z|a/(i = l,2,证明：0x0；(2)如果%Z|%|(i = l，2,),证明：*0 o证明：(1)假设。=0,则由克莱姆法则的推论知，由D构成的齐次线性方程组卜仔+”=4内+ a“x“=0有非零解.。(七,X2,工”)设
23、r是该解中满足|x= m产闻的正整数，则a再=0, Z4Xj =-仆工,Z同H NKIM ,=1j=iy=*j*rjr同应就%同.7=1 1 = 1, = c = 1, x = 2, j/ = 4, z = 6or7=1j*rj*r与题设矛盾，故。HO;(2)显然，%0,从而=%Z|%|，由知，。*0。评习题2.11.一个阶方阵4,既是上三角矩阵又是下三角矩阵，问4是什么类型的矩阵？答：4是对角矩阵。a a-b a-b-c 12.设4= 123,B= x-1、456J 4y,z的值。解：根据矩阵相等的定义，有a = 1,a-b = 2, a-b-c = 3,23、-2 z-3 o 若4= B
24、,试求a,b,c,x,56,x2-x4=3,3.设有线性方程组卜+3=4,试写出该方程组的系数矩阵和增广矩阵。2x,- x2=0,0解：系数矩阵、增广矩阵分别为4= 11 o -r0 1 0-130 1 0,A =10 10 4-1 0 0,、2 -1 0 0 0(2习题2.2T1.设4= 344、2 , B = I ,0 1 I 011110220%解：AB= 5、21310716、10 ,BA =1212299238832、88 2,23212988129883232,B =,试求(4+8)2, A2+2AB+B2fL明以及4*。解：(A + B)2 =50 5050 50A1 +2AB
25、+ B2 =715102285、20 13,4565355522 1510 7|5J| = 52|J| = -5O,叫5H5 1015 20= -50,|JB| =820513=4,或4 -2-3 1证明：根据矩阵相乘的条件，可设4 = (%)mxk|/却=Ml IM =(-2)X (-2)=4,/*=3.若矩阵48,C,满足条件4C = C8,试证明：48必为方阵；问C如何?由ZC = C8,得m=%,=/,即48为方阵，而C不一定为方阵。4 .设a=(q a2a.,如果4 =做，试求矩阵力的所有元素之和。b.解：A = Pa =b2(ibi%A%b2a2bnaj4的所有元素之和为/=15
26、.如果48 = 84,则4与8可交换。试求所有与可交换的矩阵。可交换，即1 1、o I,故与/I,01、可交换的矩阵为,其中a,b为任意实数。6 .设 4 = 0、00、2 ,试求Z（为非负整数）。解：记 =0,00、21；E + B,9则公=0,0/T0 ,4=8- = Bn=O,从而/=(E +8)=E +B+(；-%27 .试证明：对任意矩阵4，/恒为对称矩阵。证明：因为(4ry=(y=z，所以4f为对称矩阵。8 .设4为对称矩阵，8为反对称矩阵，试证明：(1)4为对称矩阵；(2)48-历1为对称矩阵；(3)48为反对称矩阵，当且仅当48=84。证明：由题意知，A7= A , BT =-
27、B o(1)因为(/2)=(/)2=彳，所以彳为对称矩阵：(2) 13AB-BA=ABBA= BTAT - ATBT = AB-BA ,所以 NB- BA为对称矩阵；(3) AB 为反对称矩阵=(4=-AB = BtAt =-AB =-BA =-AB AB -BA ,得证。习题2.3aw1 ix. 4 =。21必1a213422。230243233/47假设矩阵8是由4分别经过下列初等变换得到的，试求矩阵8。先交换矩阵4的第一、三行，然后将第二列的2倍加于第三列;(2)用3乘矩阵4的第一列，而后将第一行的(-1)倍加于第二行。32433+2432。34解：(1) B= a2X a22%3+2%
28、2%4；Ml a2。”+2。23aaI2al3a4、(2) B =3%i 3。?2223324143 .试求一个方阵Q,使得4*4。等于对4“经过下面的初等变换所得到的矩阵:首先用-2乘矩阵/的第三列，然后将第一列的(-1)倍加于第二列，最后交换矩阵的第一、第三列。解：根据定理1.1,所求三阶方阵。等于将三阶单位矩阵做题中初等列变换后的矩阵，即0-11、0=010、一200,解：2I-i0-231-I25、I12-1-203-1I21、5I,1(-2)+口 )0-2414.将下列矩阵行初等变换成简化阶梯矩阵:2342I2015、123321-2-11；(2)2-1-4543-1321,7、35
29、-153(-2-11、(-2-1令1小 y01120112(-030433,0015)( -2(T 0 1+410 00 6(10 0 00 -32文)0 10-31 5 ,、0 0 1 523-42P12332(2)2-1-45-43、35-153,12332、0-1-10-4-312332、23-421(-2)/|+r2、(-5)/2+*3-1-45-435-153,12330-1-10-4(-(-2、-32)q+/j 3)4+%(-1)/20-5-51-10-1、0-1-10-4-3,(一1)0+。00-1-10、000014o(-1)/312332、011043001-10-14、00000;(-10)八+令1203344、010104143001-10-14、00000,(-2)/2+n(-3)/j+riq00-175-242、010104143001-10-14、0000o 12-1100、5.设=34-2010,试求矩阵4的简化阶梯矩阵R。如果令8表、5-41001,示4/6的前三列组成的三阶方阵，。表示R的后三列组成的三阶方阵，试计算BC和CBo解：4*6= 2-11-21-3-14 6 -50 0、 (1 00 -2 110 f 0-21-3101) 00-116- 70、0 b00-2 10fl 0 0-2