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1、一、函数与极限21、集合的概念22、常量与变量32、函数43、函数的简单性态44、反函数55、复合函数66、初等函数67、双曲函数及反双曲函数78、数列的极限89、 寸也白勺910、函数极限的运算规则11一、函数与极限1、集合的概念般地我们把研究对象统称为元素，把些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的.我们通常用大字拉丁字母A、B、C、表示集合，用小写拉丁字母a、b、c表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A,记作：aWA,否则就说a不属于A,
2、记作：aeA。(1)、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N(2)、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N*。(3)、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。(4)、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。(5)、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。集合的表示方法、列举法：把集合的元素列举出来，并用“”括起来表示集合、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。集合间的基本关系(1)、子集：一般地，对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A CB (或B OA).相等：如何集合A是集合B
3、的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全样，因此集合A与集合B相等，记作A=B。、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合 B的真子集。(4)、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作0,并规定，空集是任何集合的子集。(5)、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：、任何一个集合是它本身的子集。即A CA、对于集合A、B、C,如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本运算(1)、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的
4、元素组成的集合称为A与B的并集。记作A UB.(在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。)即 AUB=xlxeA,或 xCB,(2)、交集：一般地，由所有属于集合A旦属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A C1B。即 ACIB=(xlxeA,且 xWB)。(3)、补集:全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U.补集：对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U 的补集。简称为集合A的补集，记作CuA。即 CuA=xlxeu,且 x 任 A。集合中元素的个数、有限集：我们把含有有限个
5、元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。、用card来表示有限集中元素的个数。例如A=a,b,c).则card(A)=3。(3)、一般地，时任意两个集合A、B,有card(A)+card(B)=card(A U B)+card(A n B)我的问题：1、学校里开运动会，设人=xlx是参加一百米跑的同学, B=xlx是参加二百米跑的同学), C =xlx是参加四百米跑的同学).学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，请你用集合的运算说明这项规定，并解糅以下集合运算的含义。(I)、AUB：(2)、AAB.2、在平面直角坐标系中,集合C=(x,y)ly=x表示直线丫=*,从这
6、个角度看,集合D=(x,y)l方程组：2x-y=l,x+4y=5表示什么？集合C、D之间有什么关系？请分别用集合语言和几何语言说明这种关系。3、已知集合A=xll近xW3), B=xl(x-l)(x-a)=0)o试判断B是不是A的子集？是否存在实数a使A =B成立？4,对于有限集合A、B、C,能不能找出这三个集合中元素个数与交集、并集元素个数之间的关系呢？5、无限集合人=1,2,3,4, n,), B=2,4,6,8,2n.),你能设计一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？2、常量与变量、变量的定义：我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称
7、之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量、注：在过程中还有种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。、变量的表示：如果变最的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。区间的名称区间的满足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示闭区间aWxWba, ba,bIbX开区间axb(a, b)(a, b)Aa半开区间aVxWb 或aWxVb(a, b或a, b)(a, b.一-A(*bxa,b)44ab7以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：a,+8)：表示
8、不小于a的实数的全体，也可记为：ax+8：(-8, b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-8xb；(-8,+8)：表示全体实数，也可记为：-8X0.满足不等式I x-a |8的实数x的全体称为点a的6邻域，点a称为此邻域的中心，6称为此邻域的半径。2、函数、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定个数值时，量y按照定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y 叫做函数值(或因变量)，变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母f、F表示y与x之间
9、的对应法则即函数关系，它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数.(2)、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成耍素为：定义域、对应关系和值域。由了值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。、域函数的表示方法a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y:=r2b)：发格法：将系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关
10、系的方法即是表格法.例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示门变鼠，纵坐标表示因变最。例：直角坐标系中，半径为人圆心在原点的圆用图示法表示为：Ay3、函数的简单性态(1)、函数的有界性：如果对属于某一区间/的所有x值总有| f(x)| WM成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。注：个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数例题：函数COSX在(-8,+8)内是有界的.(2),函数的单调性：如果函数/(X)在区间(a, b)内随着x增大
11、而增大，即：对于(a, b)内任意两点七及xz,当时，有了()7(X2),则称函数/(X)在区间(a, b)内是单调增加的。如果函数/(X)在区间(a, b)内随着x增大而减小，即：对于(a, b)内任意两点心及xz,当mla):不论x为何值,y总为正数； b):当x=0时,尸1.对数函数y = log a x（a0, awl）i%、a1/l时,在区间(0,1)的值为负；在区间(-,+8)的值为正：在定义域内单调增.嘉函数为任意实数*J =/尸X 产一11这里只画出部分函数图形的一部分。令 a=m/na）:当m为偶数n为奇数时,y是偶函数；b）:当叫n都是奇数时,y是奇函数;c）:当m奇n偶时
12、,y在（-8,0）无意义.角函数尸=而登正弦函数）这里只写出了正弦函数4y = sin xZ7-a）:正弦函数是以2 n为周期的周期函数b）:正弦函数是奇函数且趣X1一-11反角函数y = arcsinx （反正弦函数）这里只写出了反正弦函数a）:由于此函数为多值函数,因此我们此函数值限制在丸/2, n/2,并称其为反正弦函数的主值.*|01| L11I 1 r 、初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.例题：y =2+1n+3+ sm 8x）是初等函数7、双曲函数及反双曲函数（1）、双曲函数：在应用中我们经常遇到的双
13、曲函数是：（用表格来描述）函数的名称函数的发达式函数的图形函数的性质双曲正弦, e - g shx=2yy=sl/a）：其定义域为：（-8,+8）；b）：是奇函数：c）：在定义域内是单调增z双曲余弦chx=2Viy y=chx /a）：其定义域为：（-8,+8）； b）：是偶函数：c）:其图像过点（0,1）;X-我们再来看一下双曲函数与三角函数的区别：双曲函数的性质三角函数的性质shO = O,chO=1,纺0=0sin 0= O,cos 0=1, tan 0=0shx与thx是奇函数，chx是偶函数sinx与tanx是奇函数，cosx是偶函数ch2x-sh2x =1sin 2 x + cos
14、2 x =1它们都不是周期函数都是周期函数双曲函数也有和差公式：sh(xy)= shxchy chxshych(x y)= chxchy shxshy.x_y)=x的 Xhthxthy(2)、反双曲函数：双曲函数的反函数称为反双曲函数.a)：反双曲正弦函数S力x = ln(x+1)其定义域为:(-8,+8)；b):反双曲余弦函数皿版= ln(x+FI)其定义域为：1,+8)；,1,1+ xartnx =Inc)：反双曲正切函数21-x 其定义域为：(-1.+1)；8、数列的极限我们先来回忆一下初等数学中学习的数列的概念。(1),数列：若按照一定的法则，有第一个数5,第二个数a“，依次排列下去，
15、使得任何一个正整数n对应着一个确定的数a”那末，我们称这列有次序的数a“a”为数列.数列中的每一个数叫做数列的项.第n项a.叫做数列的一般项或通项.注：我们也可以把数列a,看作自变量为正整数n的函数，B|J：&J),它的定义域是全体正整数(2)、极限：极限的概念是求实际问题的精确解答而产生的.例：我们可通过作圆的内接正多边形，近似求出圆的面积。设有圆，首先作圆内接正六边形，把它的面积记为A,；再作圆的内接正十二边形，其面积记为A“再作圆的内接正二十四边形，其面积记为依次循下去（般把内接正6X2,边形的面积记为A.）可得系列内接正多边形的面积：A,川，A., An.它们就构成一列有序数列。我们可
16、以发现，当内接正多边形的边数无限增加时，An也无限接近某一确定的数值（圆的面积），这个确定的数值在数学上被称为数列A” Az, A3, An,当n-8（读作n趋近于无穷大）的极限。注：上面这个例子就是我国古代数学家刘徽（公元三世纪）的割圆术。（3）、数列的极限：一般地，对于数列1*2来说，若存在任意给定的正数e （不论其多么小），总存在正整数N,使得对于nN时的切X不等式I*一归都成立，那末就称常数a是数列X*的极限，或者称数列*收敛于a .记作：蚓演=或47a ”注：此定义中的正数e只有任意给定，不等式I*一0代才能表达出X*与a无限接近的意思。旦定义中的正整数N与任意给定的正数e是有关的，
17、它是随着e的给定而选定的。、数列的极限的几何解释：在此我们可能不易理解这个概念，卜面我们再给出它的一个几何解释，以使我们能理解它“数列a极限为a的一个几何解释：将常数a及数列，1，”，芯1#”在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的e邻域即开区间（a-e , a+e）,如下图所示：2e瑞:二a*1 Xn+1 Xn+3%I+2 x2 x3 x因不等式k*一水3与不等式+等价，故当nN时，所有的点醺都落在开区间（a-e . a+e）内，而只有有限个（至多只有N个）在此区间以外.注：至于如何求数列的极限，我们在以后会学习到，这里我们不作讨论.（5）、数列的有界性：对于数列X*,若存在着正数
18、M,使得切X”都满足不等式| WM,则称数列X*是仃界的，若正数M不存在，则可说数列入*是无界的。定理：若数列X*收敛，那末数列n一定有界。注：有界的数列不一定收敛，即：数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.例：数列1,-1,1,-1,（-1）,是有界的，但它是发散的。9、函数的极限前面我们学习了数列的极限，已经知道数列可看作类特殊的函数，即自变量取18内的正整数，若自变量不再限于正整数的顺序，而是连续变化的，就成了函数。卜面我们来学习函数的极限.函数的极值有两种情况：a）：自变量无限增大；b）：自变量无限接近某定点xo,如果在这时，函数值无限接近于某常数A,就叫做函数存在极值。我们已
19、知道函数的极值的情况，那么函数的极限如何呢？下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念！（1）、函数的极限（分两种情况）a）:力变量趋向无穷大时函数的极限定义：设函数y=/（X）,若对于任意给定的正数e （不论其多么小），总存在着正数X,使得对于适合不等式卜”的一切X,所对应的函数值/a）都满足不等式|/（乃一代v= f（xlim/（x）= nx-l/（z）=例：函数那末常数A就叫做函数V时的极限，记作：下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比下:数列的极限的定义函数的极限的定义存在数列=/5）与常数A,任给-正数e 0,总可找到一正整数N,对于nN的所有“都满足10,总可找到一正数X
20、,对于适合卜已的一切x,都满足/一Ks,函数丁一/（）当X8时的极限为A,记：lim /（x）=-4XT9y一6#从上表我们发现了什么？试思考之b）:自变量趋向有限值时函数的极限。我们先来看一个例子.X-1,当x-H时函数值的变化趋势如何？函数在x=l处无定义.我们知道对实数来讲，在数轴上任何一个有限的范围内，都有无穷多个点，为此我们把xl时函数值的变化趋势用表列出,如下图：X 0.9。990.9991100110111f(x)|-1.91.991.999 hl 2.0012.012.1-从中我们可以看出X-1时，/(x)-2.而且只要x与l有多接近，/(X)就与2有多接近.或说：只要/(X)
21、与2只差一个微量e ,就一定可以找到一个6,当上一16时满足I-2|6定义：设函数,(X)在某点x。的某个去心邻域内有定义，且存在数A,如果对任意给定的e (不论其多么小)，总存在正数6,当0上一而|8时，1/(工)一l0：b):写出不等式火)一Le ：c):解不等式能否得出去心邻域0卜一而0,总能找出6,当0卜一而|6时，卜一Le成立，因此 lim /(x)=-410、函数极限的运算规则前面已经学习了数列极限的运算规则，我们知道数列可作为类特殊的函数，故函数极限的运算规则与数列极限的运算规则相似。、函数极限的运算规则若已知 Xf Xo(或 Xf 8)时，/(X)T A g(X) B .lim
22、 (J(x)g(x)= AB lim /(x)- g(x)= AB贝人XT%XTX0lim =-,(50)XT% g(x)Blim匕(力=枕/为常数)=工海,(次为正整数)推论：XTMXTXq在求函数的极限时，利用上述规则就可把个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极限。3/+x-l例心3/+X-1吧3x +吧x-吧13+1-1_3Il 4x?+/一 x +3 lim 4x3+lim x2-lun x+lim 3-4+1-1+37解答：ntIxtI xtI xtI3/一4,+2例题I 求”ts7;?+5x2-3此题如果像上题那样求解，则会发现此函数的极限不存在.我们通过观察可以发现此分式的分子和
23、分母都没仃极限，像这种情况怎么办呢？下面我们把它解出来。3/-4?+2工3-：+13i7x3+5x2-3-97+2_27解答：x x3注：通过此例题我们可以发现：当分式的分子和分母都没有极限时就不能运用商的极限的运算规则了，应先把分式的分子分母转化为存在极限的情形，然后运用规则求之。函数极限的存在准则学习函数极限的存在准则之前，我们先来学习下左、右的概念。我们先来看一个例子：1, x0sgn =0,x=0例：符号函数为 U，x对于这个分段函数,x从左趋于o和从右趋于0时函数极限是不相同的.为此我们定义了左、右极限的概念。定义：如果x仅从左侧（xx。）趋近X。时，函数/（X）与常量A无限接近，则
24、称A为函数/（X）当X T X。时lim+/（x）= A的右极限.记：r.”。注：只有当xx时，函数/（X）的左、右极限存在且相等，方称/（*）在X-X。时有极限函数极限的存在准则准则一：对于点X。的某邻域内的切x,x.点本身可以除外(或绝对值大于某正数的切x)有g(X),(x)y(x),且照lim /(x)那末存在，且等于a注；此准则也就是夹逼准则.准则二：单调有界的函数必有极限.注：有极限的函数不一定单调有界两个重要的极限lim(l+-)x =e一：9 x注：其中e为无理数,它的值为：e=2.718281828459045.sin Xlim=1二：10 X注：在此我们对这两个重要极限不加以
25、证明.注：我们要牢记这两个重要极限，在今后的解题中会经常用到它们.lima-)*例题：求*T9X-X t =解答：令2,则x=-2t,因为X8,故t*8,O111lim(l-)x =lim(l +-)=lim(14-)=lim(l +-yr2=2贝|J*T9X 19 tt 19 t注：解此类型的题时，一定要注意代换后的变量的趋向情况，象X8时，若用t代换1/x,则t-O.无穷大鼠和无穷小鼠无穷大量我们先来看个例：已知函数 X X,当x0时，可知(700,我们把这种情况称为/(X)趋向无穷大.为此我们可定义如F：设有函数y=/(x),在x=x。的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数M一个任意大的
26、数)，总可找到正数6,当0卜-两区3时，成立，则称函数当X T X。时为无穷大量。lim f （x）= oo记为：七（表示为无穷大量，实际它是没有极限的）同样我们可以给出当X-8时，/（X）无限趋大的定义：设有函数y=/（X）,当x充分大时有定义，对于任意给定的正数m一个任意大的数），总可以找到正数必，当卜已时，成立，则称函 lim /（x）= oo数当Xf 8时是无穷大量，记为：XT9无穷小量以零为极限的变量称为无穷小量.定义：设有函数,（X）,对于任意给定的正数e （不论它多么小），总存在正数6（或正数粉，使得对于适合不等式（卜一为卜（或1伞外的一切x,所对应的函数值满足不等式火,则称函数
27、/（X）当X 7%（或X8）时为无穷小量.lim /（x）=011m /（z）= o记作：i （或29）注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一常量。无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.关于无穷小量的两个定理定理一：如果函数/（X）在X 7 X。（或x8）时有极限A,蜷/（X）一= a（x）是当X 7%（或 X-8）时的无穷小量，反之亦成立。定理二：无穷小量的有利运算定理a）:有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；b）：有限个无穷小量的积仍是无穷小量；c）:常数与无穷小量的积也是无穷
28、小量.无穷小鼠的比较通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小量的商会是怎样的呢？好！接卜来我们就来解决这个问题，这就是我们要学的两个无穷小量的比较。定义：设a , B都是瓦时的无穷小量，且P在X。的去心领域内不为零，lim =0a）：如果J,则称a是B的高阶无穷小或B是0的低阶无穷小；lim -= c 工0b）：如果J尸 ，则称a和B是同阶无穷小：lim =1C）:如果1即尸，则称e和P是等价无穷小，记作：a SB （a与B等价）例：因为i3x 3,所以当x-0时，x与3x是同阶无穷小；lim =0因为,所以当x-0时，X?是3x的高阶无穷小；r si
29、n x ,um =1因为1 X ,所以当x0时，sinx与x是等价无穷小.等价无穷小的性质a. aaInn lim = lun 设as,s夕且夕存在，则夕注：这个性质表明：求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替，因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题。r sin axlim例题：1.求 lOtanbxsin ax ax alim= lim =-解答：当 x-*0时，sinaAr0ax tanbxbx,故：tanbr tan x - sin xlim例题：2.求tan 3xtan x - sin x tan x(l - cos x) r 式51lim5= lim5= lim
30、 -=一解答.1。tan33%1。 tan33x 3(3x)3541 cos x =2sin 22()2=注：222注：从这个例题中我们可以发现，作无穷小变换时，要代换式中的某一项，不能只代换某个因子。函数的一重要性质一连续性在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念一增量设变量X从它的一个初值XI变到终值加，终值与初值的差X2-XI就叫做变量X的增量，记为：Zx HP：X=X2-X|增量x可正可负.我们再来看一个例子：函数V 一/()在点X0的邻域内有定义，当自变量X在领域内从Xo
31、变到Xo+Zbc 时，函数y相应地从/(的)变到了(而,其对应的增最为：=+Ax）-/（x0）T这个关系式的儿何解释如下图：，。；+*现在我们可对连续性的概念这样描述：如果当Zx趋向于零时，函数y对应的增量Zy也趋向于零，即：蚣一 ，那末就称函数V =/（）在点X。处连续.函数连续性的定义：设函数y=/（x）在点心的某个邻域内有定义，如果有xtm 称函数丁=/（x）在点X。处连续，且称X为函数的丁一/（）的连续点.下面我们结合着函数左、右极限的概念再来学习一下函数左、右连续的概念：设函数/（X）在区间（a, b内有定义，如果左极限I，-。存在且等于/，即 J，那末我们就称函数/在点b左连续.设
32、函数/（X）在区间e功内有定义，如果右极限乂存在且等于，BU：1sJ （a）,那末我们就称函数/（X）在点a右连续.一个函数在开区间（a, b）内每点连续,则为在（a, b）连续，若又在a点右连续，b点左连续，则在闭区间a, b连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。注：一个函数若在定义域内某点左、右都连续，则称函数在此点连续，否则在此点不连续.注：连续函数图形是条连续而不间断的曲线。通过上.面的学习我们已经知道函数的连续性了，同时我们可以想到若函数在某一点要是不连续会出现什么情形呢？接着我们就来学习这个问题：函数的间断点函数的间断点定义：我们把不满足函数连续性的点称之为间断点.它包括三
33、种情形：a）：“X）在x0无定义；b） ：在xx=t3nx在2处没有定义，所以点2是函数y =的间断点，因lim tan x =oo兀ITX =F,我们就称2为函数丁=13nx的无穷间断点；.11y = sin 例2：函数 X在点x=0处没有定义：故当x0时，函数值在-1与+1之间变动无限多次，我,11y = sin -们就称点x=0叫做函数X的振荡间断点；x-l,x0/(x)=0lim /(x)=-1 lim /(x)=1例3：函数 I 当X-0时，左极限,右极限,从这我们可以看出函数左、右极限虽然都存在，但不相等，故函数在点x=O是不存在极限。我们还可以发现在点x=O时，函数值产生跳跃现象
34、，为此我们把这种间断点称为跳跃间断点；我们把上述三种间断点用几何图形表示出来如下：函数/(X)的第一类间断点：不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.可去间断点若X。是函数J的间断点，但极限XT%存在，那末X。是函数J的第一类间断点.此时函刖X) f()/(x0)= Inn /(x)数不连续原因是：J W不存在或者是存在但我们令 I*。 ，则可使函数/(X)在点X。处连续，故这种间断点X。称为可去间断点。连续函数的性质及初等函数的连续性连续函数的性质函数的和、积、商的连续性我们通过函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，可得出以卜.结论：a）:有限个在某点连续的函数的和是个在该点连续
35、的函数；b）:有限个在某点连续的函数的乘积是个在该点连续的函数；c）：两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数（分母在该点不为零）;反函数的连续性若函数丁=/0）在某区间上单调增（或单调减）且连续，那末它的反函数芯二也在对应的区间上单调增（单调减）且连续例：函数y-s1nx在闭区间22上单调增且连续，故它的反函数y-csin X在闭区间1,口上也是单调增且连续的.复合函数的连续性lim0（x）= af（y设函数”-时的极限存在且等于a,即：*T%.而函数一 J O在点u=av-开水加lim九（切=/连续，那末复合函数丁一当XX时的极限也存在且等于J B人即：*T*。lim cos（l +
36、 x），例题8求lim cos（l+= cosflim （1+ x）*= cose解答：io 、to注：函数丁= cos（l+x）*可看作1y = cosu与=（1+ x）”复合而成,且函数=cosu在点u=e 连续，因此可得出上述结论。设函数=0（X）在点x=x0连续,且而函数=/（）在点U=Uo连续，那末复合函数y力。（切在点X=Xo也是连续的初等函数的连续性通过前面我们所学的概念和性质，我们可得出以下结论：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的；一切初等函数在其定义域内也都是连续的.闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数则是在其连续区间的左端点右连续，右端点左连续.对于闭区间上的连续函
37、数仃几条重要的性质，下面我们来学习一下：最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。（在此不作证明）例：函数y=sinx在闭区间0,2汨上连续，则在点x=“/2处，它的函数值为1,且大于闭区间0,2n上其它各点出的函数值；则在点x=3n/2处，它的函数值为T,且小于闭区间0,2 n上其它各点出的函数值0介值定理在闭区间I:连续的函数一定取得介于区间两端点的函数值间的任何值。即：/（a）= aj电=B，U在a、P之间，则在a, b间一定有一个，使/O =推论：在闭区间连续的函数必取得介于最大值最小值之间的任何值。二、导数与微分导数的概念在学习到数的概念之前，我们先来讨论下物理学中
38、变速直线运动的瞬时速度的问题。例：设质点沿X轴运动时，其位置x是时间t的函数，求质点在%的瞬时速度？我们知道时间从t有增量at时，质点的位置有增量=,这就是质点在时间段at的位移。因此，在此/（4+4）-/备）段时间内质点的平均速度为：.若质点是匀速运动的则这就是在t。的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在口时的瞬时速度。我们认为当时间段At无限地接近于。时，此平均速度会无限地接近于质点to时的瞬时速度，即：质点在to时的瞬时速度+M -/（4）1瓜 lim = lim = MT M&为此就产生了导数的定义，如下：导数的定义：设函数y =/（X）在点X。的某一邻域内有定义，当自变量x在X。处有增量xG+ax也在该邻域内）时，相应地函数有增量=/（飞-,若Ay与之比当x-O时极限存在，则称这个极限值为=x）在x0处的导数。记为：引f还可记为：dJi ,丁（两）函数/（X）在点X。处存在导数简称函数/（）在点X。处可导，否则不可导。若函数/（X）在区间（a, b）内每点都可导，就称函数,（X）在区间（a, b）内可导。这时函数=/8）对于区间（a,b