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1、中科院2005年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 试题名称:信号与系统、已知当输入信号为訳，）时,某连续时间lti因果系统的输出信号为、。）,和y（n 的波形如图A-1所示。试用时域方法求:（共26分）1 .该系统的单位阶跃响应S（,并概画出S（的波形;（12分）2.在系统输入为图A-2所示的内（时的输出信号（，并概画出必（的波形。（14分）贝一 0.5y - 1 = T （耳-k-2xn-k-l）二、由差分方程*=o和非零起始条件y一ii = i表示的离散时间因果系统,当系统输入= 时,试用递推算法求:（共16 分）2 .该系统的零状态响应y（至少计算出前6个序列值）：co分）3 .该系统
2、的零输入响应（至少计算出前4个序列值）：（6分） sin2（103r-l） z_ ,6、x（t） = cos（2 乃 xl06r）三、已知连续时间信号2万0-10、）毫安,若它是能量信号,试求其能谱密度和它在单位电阻上消耗的能量:若它是功率信号,则求其功率谱密度函数和它 在单位电阻上消耗的平均功率。（共14分）四、已知到】是周期为4的周期序列,且已知8点序列M】 =灯,Qnl,的8点 DFT 系数为:X（0） = X（2） = X（4） = X（6） = l,X（及）=0,其他。试求:（共 24 分） 1.周期序列刘】，并概画出它的序列图形:（12分） = （ jysin加/2）4 .该周期序
3、列划】通过单位冲激响应为 的数字滤波器后的输出出】,并概画出它的序列图形:（12分）五、已知是最高频率为4KHz的连续时间带限信号,（共24分）1 .若对熊进行平顶抽样获得的已抽样信号（如图A-3所示,试由（恢复出的图A-32 .你在1小题求得的重构滤波器为什么不可实现?为实现无失真恢复原信号,需对抽样频率和重构滤波器频率响应”厶（）作怎样的修改?（8分）六、如图A-4的信号流图所示的数字滤波器,试求:（共22分）1 .它的系统函数”仁）及其收敛域,并画出它用个阶全通滤波器和一个4阶FIR滤波 器的级联实现的方框图或信号流图:（12分）2 .概画出该数字滤波器的幅频响应回。 （或）|）。（10
4、分）X(z)o.l图A-4I h（t）dt = 1.5 七、某连续时间实的因果LTI系统的零、极点见图A-5,并已知，-,其中力（为该系统的单位冲激响应。试求:（共24分）1 .它是什么类型的系统（全通或最小相移系统）,并求（应为实函数）；（14分）2 .写出它的线性实系数微分方程表示;（2分）3 .它的逆系统的単位冲激响应（，该逆系统是可以实现的（即既因果又稳定）的吗?（8 分）-O-*-3 -2 -1图A-5参考答案、解1 .按照卷积积分的微分性质,有:y） = x）*）显然，并由y（波形微分得到y （波形如图a-6所示,即 y（O = （t）- 1） （f - 2）+（f - 3）=瞬（
5、。8（t- 2） *師）-8（t- 2）即:厶（=（ 1）因此,单位阶跃响应为:5（0 =力“）* ） = ） - （t - 1） * （=t（t） -（/- l）（f -1）S（n的波形如图A-7所示。图A-6图A-8dt2 .由1.小题已求得：h（t） = （t）-（t-l）t则有,该TI系统当输入（D时的输出信号口为:xx (r)dr * 6(f) - 6( 1)%（，）=岫*项（。=甯（加=1=凡(一%(，-1)其中%(=由图 1.2 可得到:x=(sin)(-e(t -1) = sin 7tte(t) + sin n(t - Y)c(t -1)丁0(=sin 7TTe(r)dt -s
6、in 7TT(T -l)dr = Jsin Tvrdr 6,(r)-=(1-COS7U)(t) + 1 - cos n(t-1)括1)71M(f) (1 COS )(/)1 coszr(z 2)(， 2) (1 COS )(/) 2)7171将先(n代入得所求系统输出为:%（D的波形如图A-8所示。二、解:1 .零状态响应y&用的方程可以化为:几.0.5y,vn 1 = xn xn 1 xn -2 xn 3 xn 4 2xn 5,即 = 0.5y_J l + xn xn 1 xn 2 xn 3 xn 4 2 元 5 且有几/=0, 应7（-）因为:2 ,根据傅立叶变换的对称性,有。（1）0 2
7、很（-0） = 2砥（0）s3 n,七2。令=4x 10、则有4）x 1 Sa（2）x 10）=2咫5。（）即.103sa（2%xl03 D 0晟i（j） = -s4,rxl03（y）因此,2 .由傅立叶变换的时移性质,得X?(网点(。“再根据傅立叶变换的调制性质,有乂(刃)=丄乂2(jO)万瞬(0 + 2、106)+ (0_2万106) 2 = 1x2(jy)*J(y + 2xl06) + J(4y-2xl06)= -X2/(o + 2x106)+X2j(-2x106)因此,x(j的幅度频谱为0.5,0,陶2%xlO?|X(| = |x2j(ty+2xl06)| + |x2j(y-2xl06
8、)|)IX2 （a）| = |X） （ ，砌=J gxg 初= 又因为:x（的幅度频谱以砌如图A-9所示。图A-9在单位电阻上消耗的能量为:E=（ 口、砌M除期四、解:1.先利用IDFT求xl，047 :即1 , jkn 1J7lfl同=：Xx(攵)e 8 = X1 + (-1) + (j)n + (-7) = 1 + (-1) + 2cos8 火=o802xn = v 计算得到:0.5, n = 0,4,0n70, n H 0,4刘是灯汨以周期为8的周期延拓,它的序列图形如图A-10所示。图 A-10刘】=則“一8/=汎44即I=-oo2 /=-co或者,由于宜川是周期为4的周期序列,8点序
9、列河=司，47,包含了灯的 两个完整的周期。根据DFT的性质，4点序列龙。.1=刘。 43 的4点DFT系数为: X。伏）= 0.5X（2A） = 0.5,0 W3,其中X（）,7,就是已知的8点DFT系数， 再利用4点序列的序列值:/ = 5=0,1 W K 3。到是/用以4的周期延拓, 其序列图形如图A-10所示。2.解:先求离散时间LTI系统的频率响应（）令:,他=sin（加/2 皿同）=0,m|Q| tt/2 働嬢）和力=（用”J百（e爲）,则有根据频域卷积性质和频移江的频移性质，则有H （。）= （1/2乃）金僧）* Re囚）演。I）.H）的图形如图A-12所示。 因此,至川的DFS
10、系数为:文 =1/8,上=0,1,2,3,谱线间隔为q =）/2刘】通过方（。）后的输出耳也是周期为4的周期序列,它的DFS系数为 Jl/32,=1,3,5,* 1/16I=2,6,10,谱线间隔为。=乃/2由DFS的合成公式或DTFT反变换,输岀序列出为yn = eJm + 丄= + /2） = （-1） + cos（）1632162它的序列图形如图A-13所示。1/8 l/8t 1/8 y ITTJ I * J - 4 L * J 0 1 * J 丁 18/4 12 I * 1 In -1/16 -1/16 -1/16图 A-13 五、解:1.图A-3的平顶抽样信号可表示为 CO00(5-
11、1)(5-2)xp (t) = x(t) d(t - nT) = Z x(nT)3(t - nT) O (/) n=oon=co其中fl, fT/2hQ(t)=0, tT/2是零阶保持系统的单位冲激响应。（。的波形如图A-14所示。由于带限信号。）的最高 频率为4kHZ,抽样间隔T=125微秒,即抽样频率为8kHZ,故上述抽样是临界抽样。若令:凶）X（汝）=0,网8Xi。（假设如图八14所示）和如（巨-Xp（j图 A-14 图中 0M =7/T = 8ix10根据傅立叶变换的频域卷积性质和时域卷积性质,则有X0（%）=；X （加）* P（加）/ （加）12乃J（5-3）,.P）=片.火T）其中
12、，夕（加）和。（分别是单位周期冲激串“一和（5-2）式表示的零阶保持系统。的傅立叶变换,且有p（加）=Z（）1 k=cr1T coT -Jo（。）=：S（ ）e 4其中e 4是线性相移因子。”。（）的实部如图A-14所示,把他们代入（5-3）式,得到Xp（jt Xj-A-SaAe/ k=-g/24（5.4）。）的实部如图a“5所示。如果要从n恢复出X”），只要把人。（川少变成X（/0）即可。由图A-14和图A-15,以及（5-4）式可知,为了 X（/0）= Xp（j）Jj0）,重构滤波器厶（&）应为“厶(。)=774), 0,间工 =8 x 1037,其中,(5-5)所求荊构滤波器H JJ的幅
13、频特性的“砌和相频特性处（如图A-15所示。2.由1.小题求得的所求重构滤波器”J是不可实现的，理由如下:1）厶（&）的过渡带等于0.其单位冲激响应）* ，, ,即它是个连续时间非因 果滤波器;2）它的相频特性外（）意味着超前2,也无法做到。为了从图A-3所示的平顶抽样信 号Xp）中实现无失真恢复原信号，针对上述两点理由，需要做两个修改:1）采用过抽样,给重构滤波器留出保护带,比如抽样率增加到lOKHz；2）重构滤波器厶（修改为,a 65,所以,对应的系统频率响应为:储（）=心）=2五y2ejv(a)四阶F1R港波器,、, sinQ2sinQ （l-2z-1）69（Q） = -（arctan+
14、 arctan）其中:2-cosQ 2cos。 1。因此,阶系统函数l-0.5z”是阶全通函数。（1 + 27+2-+2+27）是4阶臼!滤波器的系统函数,两者相乘即为两个滤波器级联,其级联实现方框图见图A-I6。距） 图 A-162 .由1.小题求得的系统函数可写为:（Z）= 0|（Z）2（Z） l-2z-1其中,o=O.l； “l-0.5z_,它是个全通系统,极点p = 85,零点Z = 2：和2（Z）= （l + zT +Z 2+Z“+Z 4）,它是FIR滤波器。因此,数字滤波器频率响应为: （）= （）（）,该数字滤波器幅频响应为:|）| = |卜|）卜|2 Q 叫其中,| =。,|）
15、| = 2。滤波器的单位冲激响应力2M为h2n = 3n + 6n-l + 6n-2 + Sn-3 + 6n-4 = n-en-5为用序列图形见图A-17,其频率响应为:式。）= 1 + eJ。+ e。+ 网1 )sin(5Q/2) _.2n-1产e 2 G|“2（）卜频响应为:叫亜（5Q/一J-J-2 -e 2) sin(5Q/2) sin(Q/2)2)叩 + 4 + 9 ）+1 Oy（=5 乎 + 25 + 35 厶）+ 15x（.） dt3 dr dtdt3 dt1 dt3 .该系统的逆系统之系统函数”IG）及其收敛域为._ _ + 45 + 9s + 10 _r s + 2s + 7
16、HAs） = 0.2= 0.2l +：（s + 1）2（s + 3）（5 +1）2（5+ 3） , Re5-1并进步展开为部分分式,即,、 C 0.40.20.4H As） = 0.2 +7 +1（5 + 1）2 5 + 1 s + 3, Re5-1这是个因果稳定的系统函数,对上述部分分式进行反拉氏变换求得4 （?） = 0.26（ + 0.2e（t） + 0.2te（t）- OAe3,（t）因此，该逆系统是既稳定,又可以因果实现的系统。中科院2006年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 试题名称:信号与系统、试求解下列小题:（每小题10分，共60分）4立+ 2y（f）= x（r）1 .已知一
17、个以微分方程dt - 表示的连续时间因果LTI系统，当其输入信号为X） = （ 2）时,试必须用时域方法求该系统的输出y”）,并概画出X”）和M）的 波形。H（jco） = Z 2 .某稳定的连续时间LTI系统的频率响应为G+ 1 ,试求其单位阶跃响（。xn/2l n = 2l yn= -1那么,$（。的拉氏变换即为-e S）= 5（5 + 1） , Re（5）0 对5（s）部分分式展开,即 -ee 111 -1 -51-1 .35 （s 丿=7r =e e 4e es（s + l） s s + 1 s 5 + 1） =丄 。一1）丄0-2（。丄 小一” 一）。丄因为:S ,S ；5 4-1
18、,5 4-1系统的单位阶跃响应s（为50=1-1）3 .解:先用DFT公式,或4点DF!的矩阵计算式,即X（=!- =2M =2+（+（J,=0,=0, k = 0,l,2,3zn /| /V z*ivX X X XX=02101X（3）=21 1 11 - j - 11 -1 1I j -IDFT 为:X（0）= 4r 1 = xn/2, n = 2l =由于0, 2/）因此,f（Q）=X（2Q）（其中貿。）和以。）分别 是和H的离散时间傅立叶变换（DTFT），再依据DFT与DTFT之间的关系，可以求 得）的8点DFT为:r（o） = x（o） = 4, r（i） = x（i）=25=x=o
19、, r（3）= x（3）= 2, y（4）= x（o） = 4, r（5）= x（l） = 2, K（6）= X（2）= 0, K（7）=X（3）=24 .解:的序列图形如图A一5所示。X 0 12 3 48图A-51216由上图,x可改写为:疝=(如巾4D*Z4-8H*=0,其Z变换X(z为X(z)=(I %=(1一丁丁+ 丁,忖 1。xn = V (- 1 E 4k或者,直接对人。求Z变换,得到x(z)=(-1) -7rE卜z-4=-&+ =7-：+、卜1k=o1- zl-Z k=QQ-Z N + Z 丿(z l)(z +1), |Z| ) 1很显然,Z = 0是X(z)的5阶零点;z =
20、 l是x(z)阶极点、z = e2*+D“4(%=丄2,3) 是X(z)的两对共飘极点,其零极点如图a-6所示。图A-65 .解:根据题意,要设计的补偿系统就是该实际测量系统(因果LTI系统)的逆系统。为 此，先求该实际测量系统的系统函数”卜)，它的$(n的拉氏变换S(s)为S(s)=1/7 s 5 + (l/r) ss + (1 / r), Re(5) 0该实际测量系统的系统函数为:/(5)= 5 X s(5)= r ,X1 Re(5)- -ss + (l/r)J, t要求的补偿系统的系统函数为:/($)=卜+(/7),收敛域为有限S平面。其频率响应为:Hj (j )=rja)+ (l/r)
21、 = l + jcor或单位冲激响应为:k) = 。) +(6 .解:设图A1输入端节点的输出为M(z),则有M=X(z) -0.51M + 0.25z-3M ,即M(Z)=rr X (z)1 + 0.5z-2-0.25z-3(1.6-1)由输出端节点可得:y(z) = M (z) - 0.25z_3A/ (z) = (1-o.25z-3 )M(z)(L6.2)将式(1.6-1)代入式(1.6-2)得(1.6-3)l + 0.5z -0.25z由式(1.6-3)可得:(l + 0.5z-0.25z-3)y(z) = (1-0.25 3)x(z)该因果数字滤波器的系统函数差分方程为:y + 0.
22、5-2- 0.25yn _ 3 = x-0.25xn - 3其后推方程为:= x- 0.25*一3- 0.5y -2 + 0.25yn -3代入已知的有始输入M的序列值,且假定起始时刻为时刻，求得乂的前5个序列值 分别为:y0 = 4, 1 = 1,貝 2 = 2-0.5x4 = 0y 3 = 0 0.25 x 4 0.5 x 1 + 0.25 x 4 = 0.54 =-4-0.25x1-0.5x0 + 0.25x1 = -4由于系统是因果LTI系统,所以对于输入可以认为是从开始,也可以认为是从大于0的某 个时刻开始,但是,前5个序列值应该是不变的。二、解:X (s)=sin(gf) 021
23、.方法1:因为:S ,由s +可)可得因此，系统函数为:1 /I S-T(l + e )S +7T(s) =Y(s) 疫1 + e-sX(S) S2+7T2 1-COS(%)( 因为:) 0二=。l-e ,因此，根据时域卷积性质和拉斯变换的时移性质,可得系统的单位冲激响应为h(t)=1 cos(m) * Z 隆。 2) +5(1 - 2n -1)n=0=cos(，-2)-2)+ cos。2l)(r-2 1) n=0=nCOS- 2) 一 - 2 1)/1=0(。的波形如图A-7所示。方法2： M。、y(。和的波形如图A-8所示。(a)(b)(c)图A-8先求系统的单位阶跃响应f),再对$(。微
24、分得到其单位冲激响应。由于 y(r) = sin 7ae(t)+sin-1) (f -1) = sin- e(t -1),由上图的 加)可得00,(/)= V x(/ - 2k)。 ,根据LTI系统的性质,对应输出$(为:S(=Z y(f - 2= Sin 7it(t-2k)-(t-2k-1)k=Qk=Q(=乃 cosmst -2k)-2k - 1)出 k=o的波形如图A-7所示。-es7iX(s)=yj(5)= X(S)H(5)=-2 .因为s ,因此,$2+乃2,对其取拉斯反变换,得%(=sin(加)。G)的波形如图a-9所示。三、解:1.差分方程可以写成:加+ 朮12=巾1*X 1404
25、 2 丿对上面方程两边取Z变换,得到因此,系统函数为:l-2z-(z) =雄)X(z)收敛域为：忖,2其零极点如图A-10所示。2 .因为收敛域包含单位圆,因此该滤波器稳定。该系统相当于个阶全通滤波器w（z） =与一个一阶高通滤波器at)j一-1 + -Z-h (ejn = 22 的级联,因此,它是个高通滤波器。其中,尸厶 包+ 8cos-(C/2),因此,该系统的幅频响应为:|(=Hiap(ejn)H,(ejn)= 2I57r = o求零状态响应(:对它而言,系统就成为如下微分方程表示的因果LTI系统:+=x(l)atx(r) = (sin 2rWr) X(5)=对上式取单边拉氏变换,并考虑
26、到:+4,则有零状态响应y (s) = _=f旦吗+些(的拉氏变换像函数为:(5 + 252+4)U2+4 s2+4 s + 2丿sin0 . cos30Do 2因为:S-+裕,S +/ ,s + a,并利用拉斯变换的时移性质,可得系统的零状态响应为:”，(=即 2 -1)(f -1) - ; cos 2 -1减-1)+ ； *2( -1)系统全响应加)=% (+ %(为:y(t) = 0.25 sin2(Z-l)f(f-l)-cos2(r -l)f(r-l)+ e-2(%(f -1) + e2e(t)其中,暂态响应0和稳态响应*(分别为: -0.252(“) -1)+e2(yls (r) =
27、 0.25 sin2(/-l)-l)-cos2(r-l)f(/-1)五、解:1 .由该因果滤波器的零极点图,可以写出它的系统函数为:H=k(Z + 力,j)=女号=k(l + z-2) |J0ZZ,1其中,为常数。由于收敛域包含单位圆,因此,系统的频率响应为：“2。. 1H ()=H (z =k / ej2n+l,“、1H ()=_ = & = 2k已知丿=1,因此，、e丿2a,求得常数女=-0.5,由此，滤波器的系统函数为：”&)=-0.5(l + z),忖其频率响应为：(e)= (zLm =|cos(Q)0很显然，该滤波器是FIR滤波器,且是带阻滤波器。2 .周期为4的周期信号升的表达式为
28、：xn=工2( 4女)+ (- 4k - 1) + 8n-4k- 3)k二可以用两种方法求得叶的离散傅立叶级数的系数文,且为：1-jnk J -jk-丿J*1JIX. =-Yx(n)e 2 =-(2 + e 2 +e 2 ) = -2 + 2cos(-Jl)4占442因此,其个周期内的系数分别为：1 = 0.5, X2 = O, X3=O.53 .由该源波器零极点图可知：在频率。=2和。=3)/2处，频率响应为零，即方(乃/2)=0(3乃/2) = 0;而在频率Q =。处,频率响应为。(0)=-1,因此,滤波器当升输入时的输出乂只有直流分量,即乂=一1。六、解:/ _ sin?（4万x ICP
29、, _ sin（4乃x 10）入 sin（4乃x 10）1 .输入信号:mto= 4xl03 Sa（4 乃 x 10）x 4 x 103 Sa（4 乃 x 1 3 gr） = 。（）由于2 .根据傅立叶变换的对称性，有。（=2砥=（一）= 2阳1（3）2,令:=8乃Xi。3,则有8乃x 1 O Sa（4兀x 1。0。2阳、 即4x 103Sa（4x 1030（）1, |! 4 xl（）3 0, | （4乃、131-22万=丄2万0,+ 8%xlO:+ 8;rxlO:如图A-13（a）所示。设w = 4乃xl（）3,利用傅立叶变换的频域卷积性质和微积分性质, 以及“0）=（0）=（0）,可求得x
30、（t）的频谱X（）为:x （，3）=1 g2“ （）* g2” （）=：（ + 卬）-（卬）* （3 + 卬）-（0 一 川） 2乃2万e（o + w）-（a）- w）-l *（a）+ w）-（a）- w）了 r（69 + w） rco - w） * 5（ + 卬）（一w）r（co 4- 2w）- 2r（）+ “ 一 2w）= （+ 2卬）（4- 2w） - 2（）+ （- 2卬）（ 2卬） 2乃| （81x10,一810 8 乃 xl（）3频谱图形如图A13 （b）所示。由于抽样间隔T = lOTs, CD = 27TXQ4rad/s,且信号（”为:尤/,（=*（P”）， ,X p （jy） = X （jco） * P（jco）因此,x的频谱为:2乃尸（j）=2乃Z b（2）xlO4） = 2xl04 5（-27rxi4）=00二-00又因为:Xp（jco）=04 XX02乃Xi。）因此,=f,其图形如图A14所示。号。）4x1。-2xl04-87FX1030阮xl427rxi3 2x104图 A-14W）的频谱丫（历）=Xp（ja）H BP（jco） t又由于即（加）的下限截止角频率为: g = 2x5000 = xlO4rarfIs ,卜限截上角频率为.叫=