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1、文登考研数学一线性代数一习题集及其答案第一章行列式填空题1 .四阶行列式中带有负号且包含al2和a21的项为.解.al2a21a33a44中行标的排列为1234,逆序为0;列标排列为2134,逆序为1.该项符号为“一”，所以答案为al2a21a33a44.2 .排列ili2,in可经次对换后变为排列inin-l,i2il.解.排列ili2”in可经过1+2+(n-1)= n(n-l)/2次对换后变成排列inin-3 .在五阶行列式中(1)(15423)(23145)al2a53a41a24a35=al2a53a41a24a35.解.15423的逆序为5,23145的逆序为2,所以该项的符号为一
2、.4.在函数2xf(x) xl x2 lx中，x3的系数是. xl3解.x的系数只要考察2x x x2x 2x34x2.所以x3前的系数为2.abO5.设a, b为实数，则当a=,且b二时，baO 0.101ab baO(a2 b2)0.所以 a = b =0.解. ba 1016.在 n 阶行列式 D =|aij|中，当 i rl (B) r rl (C) r = rl (D) r 与 rl 的关系依 C 而定解.B Am nCn n, r (C) n,所以r r (AC) r (A) r (C) n rl又因为A BC,于是rl r (BC) r (B) r (C) n r所以rl r.(
3、C)是答案.9 .设A、B都是n阶非零矩阵，且AB =0,则A和B的秩(A)必有一个等于零(B)都小于n (C)一个小于n,一个等于n (D)都等于n1解.若r(A) n,则A存在.由AB。，得B 0,矛盾.所以r(A) n.同理r(B) n.(B)是答案.111三.计算证明题1 103101.设 A121, B 225.求：i. AB-BA ii. A2-B2iii. BTAT3413428464619229解.AB BA 17173,A B 151518169326135617BTAT 513511222.求下列矩阵的逆矩阵11111111 ii. i. cos sin sin cos 0
4、01111111100100010052 iii.0010000100 iv.21121000000011解.i.mi woo mi ii i i oioo ooio oo 221111020211110001022011111000010100002211000220100110100101000022011000002200111010000101001100000022001000000411100sincos1011000sincos01得到:1011000010010011100001cos ii.100sin.由矩阵分块求逆公式:sincoscosiii.0 B010A 01 AB
5、01所以Asin cos 0001.01001001001liv.由矩阵分块求逆公式:122501得到：AT3.已知三阶矩阵A满足A i 2(2,2,1)T,3(2,AO 0B00000,A 000sinA00B000由矩阵分块求逆公式:i i(i 1,2,3).1,2)T.试求矩阵A.00122146解.由本题的条件知：A22124326212210122100221010200121122100063210036201122120120213200101301102320120033223103120333323010291291001999299122146997902 A 243221
6、353226999023232919923231004. k取什么值时，A00解.A|0 kOkO111100100100100OkO 010111001010 OkO011101100100010 OkO 001Iki100所以 A 10k0Ik15 .设A是n阶方阵，且有自然数叫使(E + A)m=0,则A可逆.m m解.因为(E A)mciAicii 1113291929所以 A( ci ImimAi 1) E.所以 A 可逆.6 .设B为可逆矩阵，A是与B同阶方阵，且满足A2+ AB + B2=0,证明A和A + B 都是可逆矩阵.解.因为A AB B 0,所以A (A B) B2.因
7、为B可逆，所以| B2|( l)nB|20所以|A(A B)|B2|0.所以A, A B都可逆.7 .若A, B都是n阶方阵，且E + AB可逆，则E + BA也可逆，且(EBA)1EB(EAB)1A解.(EBA)(EB(EAB)1A)EBA(EBA)B(E AB)1A=EBA(BBAB)(EAB)AEBAB(EAB)(EAB)A=EBABAE所以(E BA)11122 E B(E AB)1A.-8.设A, B都是n阶方阵，已知|B|0, AE可逆，且(AE)l =(B-E)T,求证A可逆.一解.因为(AE)1=(B-E)T,所以(AE)(BE)T = E所以 A(B E) B E E, A(
8、B E) B由B|0知B,(B)存在.所以 A(B E)(B)TT 1 IT 1TTTT E.所以 A 可逆.9.设A, B, A + B为n阶正交矩阵，试证：(A + B)1= Al + Bl.解.因为A, B, A + B为正交矩阵，所以(A B)(A B),A A, B B所以(A B) IT IT IT 1(A B)T AT BT A 1 B 110 .设A, B都是n阶方阵，试证明：AEEB |AB E|.E AB0解.因为 E所以E E A AE E 0E EB 00EBE ABAEEBBE ABBOEEE AAE00n2EEAEEB BEO (1)1( l)n AB E|因为(l
9、)n ( l)n,所以2| AB E|1211 .设A为主对角线元素均为零的四阶实对称可逆矩阵，E为四阶单位矩阵00 B 0000000000(k 0,10) k001i.试计算IE+ABI,并指出A中元素满足什么条件时，E + AB可逆；-ii.当E + AB可逆时，试证明(E + AB)1A为对称矩阵.0 al2解.i. A al3 al40 aAB 12a34a4400000000OkO0001OOka130ka23000ka34lal4a24la340al40a240a340a440al3 al4al20a23a24al20a23a24al3a230a34al3a230a34al4 a
10、24110E AB 00|E AB| 1 kla2 341a341 2 a34(A 1B) 1 B为实对称矩阵，所所以当0kal31ka23010ka341al4 la24时，E + AB可逆.ii.(E AB)A A(E AB)因为A, B为实对称矩阵，所以A 以(E + AB)-1A为对称矩阵.解.使用数学归纳法.0100(1 knO000010 22 0230A=k01A20101A3233kk1)n(n(k 1)l)nA= n n 1k (1(113. A是n阶方阵,1 (10 222)001假设A二0 kk k(11)kk1131010k) k l(kk1)1) n 2 00 nn0
11、0nnnn所以10满足Am = E,其中m是正整数,E为n阶单位矩阵.今将A中n2个元素aij用其代数余子式Ai j代替，得m到的矩阵记为AO.证明AO E.解.因为Am二E,所以|A| 1,所以A可逆.mAO (A*)T |A|A 1T |A| (AT) 1m 所以 AO |A (AT) lm |A|m(Am)T 1 |A|mE 1 E10014.设矩阵A 101010i .证明：n 3时，A Aii .求 A100. nn 2 A2E（E为三阶单位矩阵）100100100解.i. A 101101 110010010101100100100A3110101201101010110100A
12、A2101010所以Ak33 2100001110110101A2100 假设A100A010201A3lkA21)2 AkA3A AkA A2A=A A2E14所以Aii. AlOOnnA2A98A2 E A962A22E50A2 49E50005050050050490010004905010210049500115.当 A1,所以解.A|13132时,32AA6 = E.1A*求 All. 1 22|A| 31 611121因为AE, A AA EAB2B)B,与(A-B)2 = A + B,试证：AB = (A B) (A B) (A B) (A B)16.已知A, B是n阶方阵，且满
13、足A2= A, BA =0.解.因为（A-B）2= A + B,所以（A2222于是 A BA AB B A BA AB B,所以 AB BA 3(A B)2 A B, A2 AB BA B2 A B因为 A2= A, B2= B,所以2AB =0,所以 AB BA 0.第三章向量填空题1 .设1(2,1,0,5),2(4,2,3,0),3(1,0, l,k),4(1,0,2,1),则k =时，1,2,3,4线性相关.解.考察行列式2 411281811120010003120312031210kl50kl510kl83k 201016k3=13k +5=0.k 5132 .设1(2,1,3,
14、0),2(1,2,0,2),3(0,5,3,4),4( l,3,t,0),则t =时，1,2,3,4线性相关.15解.考察行列式21010001555125355533t3303t3t3t4240240424020t 603020t 30600.所以对任何t,1,2,3,4线性相关.3 .当卜=时，向量=(1, k,5)能由向量1(2,3,2),2(2,1,1),线性表示.解.考察行列式112k 310,得k=8.当k=-8时，三个向量的行列式为0,于是，1,2线性相关.显然1,2线性无关，521所以可用1,2线性表示.4.已知1 (1, 1,2,2, 1),秩(1,2,3,2 (0, 2,
15、1, 5,4) = .10), 3 (2,0,3, 解.将1,2,1,3), 4 (1, 1,0,4,3,4表示成矩阵1),则2110 1201302125 141 13 10021100000021100220011205520112211001100112011250112102.所以 r (1,2,3,4)=325211764041290,则秩(A)=.5.设A1131613242211764041290解.A1131613242229014041117613161324229012084017011550525130840161 0000所以 r (A)=3.2 91500129015
16、15000155000401540006 .已知(1,0,1,2)T,(0,1,0,2),矩阵 A =,则秩(A)=.020400001002000020010100010102所以 r (A)=1.1 (1,2, 3, 4), 2 (2, 3, 44) = 2,则 t = .7 .已知向量(1,2,3,122,3,4)解.A =(1,3 4234534564 3410152362100342300所以当t =7时，r (A)=2.二.单项选择题1 .设向量组1,2,3线性无关，则下列向量组线性相关的是(A)1+2,2 +3,3+1(B)1,1+2,1+2+3(C)1-2,2-3,3 -1(D
17、)1+2,22+3,33+1解.由kl(12)k2(23) k3(31)0得(kl k3)1(k2kl)2(k3k2)30因为向量组1,2,3线性无关，所以得关于kl,k2, k3的方程组kl k30kl k20k k 03210110.所以kl,k2,k3有非零解，所以12,2-3,3-1线性1kl,k2, k3的系数行列式为1101相关.(C)是答案.2 .设矩阵AmXn的秩为R(A)= m n, Em为m阶单位矩阵，下列结论正确的是(A) A 的任意m个列向量必线性无关(B) A的任意一个m阶子式不等于零(0若矩阵B满足BA =0,则B =0(D) A通过行初等变换，必可以化为(Em,0
18、)的形式解.(A),(B)都错在“任意”；(D)不正确是因为只通过行初等变换不一定能将A变成(Em,0)的形式；(C)是正确答案.理由如下：因为 BA =0,所以0 r(BA) r(B) r(A) m r(B) m m r(B).所以 r(B)=0.于是B =0.3 .设向量组(I):1(all,a21,a31)T,2(al2, a22, a32)T,3(al3, a23, a33)T;设向量组(ID：1(all,a21,a31,a41)T,2(al2, a22, a32, a42)T,3(al3, a23, a33,a43)T,则(A)(I)相关(ID相关(B)(I)无关(II)无关(0(I
19、I)无关(I)无关(B)(I)无关(ID无关解.由定理：若原向量组线性无关，则由原向量组加长后的向量组也线性无关.所以(B)是答案.4 .设，1,2线性相关，2,3线性无关，则(A)1,2,3线性相关(B)1,2,3线性无关(01可用，2,3线性表示(D)可用1,2线性表示解.因为，1,2线性相关，所以，1,2,3线性相关.又因为，2,3线性无关，所以1可用，2,3线性表示.(C)是答案.5 .设A, B是n阶方阵，且秩(A)=秩e)，则(A)秩(A-B)=0(B)秩(A + B)=2秩(A)(0秩(A-B)=2秩(A)(D)秩(A + B)秩(A)+秩(B)解.(A)取 A B 且|A 0,
20、|B|0则 A-B 0,则 r(A-B)0.排除(A);(B)取 A =-B0,则秩(A + B)秩(A).有如下定理：秩(A + B) 秩(A)2 秩(A); (C)取A = B +秩0,则秩(AB)2(B).所以(D)是答案.三.计算证明题1.设有三维向量11,2 k,2k 1121,1 k 11k问k取何值时i. 可由1,2,3线性表示，且表达式唯一;ii. 可由1,2,3线性表示，但表达式不唯一;iii. 不能由1,2,3线性表示.k解.lllkl 2k22k 2k(k 1)112i . k 0且k 1时，1,2,3线性无关，四个三维向量一定线性相关，所以可由1,2,3线性表示，由克莱
21、姆法则知表达式唯一；ii .当k =1时111 1111 0所以所以可由，11110000.系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为2.线性表示，但12311210010表示不惟一;iii .当k 0时011 1101 0 0111010101010101 oil 10111.系数矩阵的秩等于2,增广矩阵011 0112011200001的秩为3,所以所以不能由1,2,3线性表示.2.设向量组1,2,3线性相关，向量组2,3,4线性无关，问18i. 1能否由2,3线性表出？证明你的结论；ii. 4能否由1,2,3线性表出？证明你的结论解.i.1不一定能由2,3线性表出.反例：不能由2,3线性表出；iii
22、. 4不一定能由1,2,3线性表出.反例：1(1,1)T,2(1,0)T,3(2,0)T.向量组1,2,3线性相关，但11(2,0,0)T,2(l,0,0)T,3(0,1,0)T,4(0,0,1)T.1,2,3线性相关，2,3,4线性无关,4不能由1,2,3线性表出.3.已知m个向量1,2, m线性相关，但其中任意ml个都线性无关，证明：i.如果存在等式kl 1+ k22+,+ km m =0则这些系数kl, k2,km或者全为零，或者全不为零;ii.如果存在两个等式kl 1+ k22+,+ km m =0111+122+,+ Im m =0其中110,则 kklk2 m.11121m解.i.
23、假设kl 1 + k22+ km m =0,如果某个ki =0.则kl 1+ ki 1 i 1+ ki+1 i+1+ km m =0因为任意ml个都线性无关，所以kl, k2,ki-l, ki+1, km都等于0,即这些系数kl, k2,km或者全为零，或者全不为零；ii.因为110,所以11,12,1m全不为零.所以11122 m m.1111代入第一式得：kl(1122 m m) k22 km m 01111即(112kl k2)2( mkl km) m 01111112kl k20, mkl km 01111所以即 kklk2 m 11121m4.设向量组1,2,3线性无关，问常数a,
24、b, c满足什么条件a 1-2, b 23, c 31线性相关.解.假设kl(a12)k2(b 23) k3(c 31)0得(klak3)1(k2b kl)2(k3c k2)30akl k30因为1,2,3线性无关，得方程组kl bk20k ck 03219a当行列式1Ob 1100时，kl,k2k3有非零解.所以 abc 1时，a 1-2, b 2-3, c 3-1线性相关.c5 .设A是n阶矩阵，若存在正整数k,使线性方程组Akx =0有解向量，且Aki0,证明：向量组，A , Aki是线性无关的.解.假设 a0 alA ak lAk 10.二边乘以 A aOAk 10, aO 0由alA
25、 ak lAk 10.二边乘以 A alAk 10, al 0最后可得 ak lAk 10, ak 10所以向量组，A , Aki是线性无关.6 .求下列向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表示.k 1得k 1得1 . ii.1 (1,2,1,3),2(4,1,5,6),3(1,3,4,7),4(2,1,2,3).2 (1,1,2,4),2(0,3,1,2),3(3,0,7,14),4(1,2,2,0),5(2,1,5,10).2 123140909018121013419102022333141213解.解.i.1 543671000所以4191020023301,2
26、,3是极大线性无关组.由4 kl 1 k22k33得方程组kl 4k2 k32319k2 k33解得 kl k3, k2222k 33所以4132132322lii.240312 30 2117252140101000031231311024210310201323110312421322010000100311001042100所以1,2,4是极大线性无关组.由5 kl 1 k22k34得方程组kl k32k21解得 kl 2, k21, kk30304k30所以521204由3 kl 1 k22 k34得方程组kl k33k21k 解得 kl 3, k21, k300x2 y2xy y2E
27、,试证明：214k30所以331204xyy7.已知三阶矩阵Ayxy ,讨论秩yyx (A)的情形.解.i. x y 0, r(A)0ii. x 0, y 0或 x 0, y 0, r (A)3iii. x y 0, r(A)1iv. x y 0, r (A)3iv. x 0, y 0, x yxyy xyy2y2 xyy2y2 A yxy xyxyx2yyxxyxyx2Oxy y2x2 y200Ox yy00x(x 2y)所以，当 x 2y 时，r(A)2;当 x 2y 时，r(A)38 .设三阶矩阵A满足A2=E(E为单位矩阵)，但Ayy X yy yx y (秩(AE)1)(秩(A +
28、E)1)=(解.由第十一题知r(A E) r(A E)3又因为 A E,所以 r(A E)0, r(A E)0所以r(A E), r(A E)中有一个为1所以(秩(AE)-1)(秩(A + E)-l)=09 .设A为n阶方阵，且A2= A,证明：若A的秩为r,则AE的秩为n-r,其中E是 n阶单位矩阵.解.因为A2= A,所以A(A E)0所以0 r(A(A E) r(A) r(A E) n所以 r(A) r(A E) n又因为 r (A) r (A E) r (A) r (E A) r (A E A) r (E) n所以 r(A) r(A E) n.所以 r(A E) n r10 .设A为n
29、阶方阵，证明：如果A2= E,则秩(A + E)+秩(AE)= n.解.因为A2= E,所以0(A E)(A E)所以0 r(A E)(A E)r(AE)r(AE)n所以 r(A E) r(A E) n又因为 r(A E) r(A E)r(AE)r(EA)r(AE E A) r(2E) n所以 r(A E) r(A E) n.第四章线性方程组.填空题1 .在齐次线性方程组AmXnx =0中，若秩(A)=1且1,2,r是它的一个基础解系，则r =;当k =时，此方程组只有零解.解.r n k,当k n时，方程组只有零解.2 .若n元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为r,则当时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解.解.假设该方程组为AmXnx = b,矩阵的秩r(A) r.当r n,方程组有惟一解；当r n,方程组有无穷多解.xl kx2 x303.齐次线性方程组2x1 x2 x30只有零解，则k应满足的