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1、第一章行列式从1987年全国统考以来，行列式的题以填空、选择为主，题量不多，且偏重于计算.对于落到行列式的考题，大致为三种类型，一是数字型行列式的计算，一是抽象型行列式的计算，还有就是行列式值的判定（特别是行列式是否为零？）在这些考题中不仅考查行列式的概念、性质及计算，还涉及到矩阵、向量、方程组、特征值二次型等知识点.一、数字型行列式的计算=b,其中1.（08.6分）设n元线性方程组Ax 2a 1 a22a 1 a22a A=.证明行列式同=（+ l）a.评注：本题关于三对角线行列式的计算通常用递推法.（96年数四考题中出现过）例如，本题按第一列展开，有Dn =2皿 T Di得。-吗t =aD
2、“_a2Dn_2= a(D.,-gD,2)从而 Dn -aDn_1= a(Dn_t -aDn_2)= a2(叫,-3)=2(.D2-aDx)=an那么 Dn = aD“_i +a= a(D,_2+ a)+ a= a2Dn_t + a= anl+(n l)a=(n+)an2.(97, 4, 3分)设阶矩阵011 A=.11111101111011 .:,则同=11011110评注：除去用行列式的性质及展开公式计算外，你能利用特征值更简便地求出行列式|A|的值吗？综述对于数字型行列式的计算主要是按行、列展开公式，但在展开之前往往先运用行列式的性质对其作恒等变形.以期某行或某列有较多的零元素，这时再
3、展开可减轻计算量.同时,也要注意一些特殊公式，如上（下）三角、范德蒙行列式、拉普拉斯展开式的运用.虽然单独命题的计算题并不多，但在特征值问题中有较多口E-A|型行列式的计算，在线性相关矩阵可逆、个未知数个方程的齐次方程组、二次型的正定等问题中都会涉及到行列式的计算，因此对行列式的计算要重视，不要因小失大.二、抽象型行列式的计算1.(00,3分)若4阶矩阵4与3相似，矩阵A的特征值为1，-则行列式2345团-卜.-22 .(06,4分)设矩阵A =2，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足区4=8+2E ,则忸|=-3 .(08,4分)设3阶矩阵A的特征值为1,2,2, E为3阶单位矩阵，则,才|一 E卜
4、.要会计算这些题(1)(03,4,3分)若必必,夕1，42都是4维列向量，且4阶行列式|必&,。3，阂=加，|以2，42，阂=，则4阶行列式跖。2，。3,后+闻=(1) m + ni (2)一(加+)；(3) n-m；(4) tn n.评注：作为抽象型行列式，本题主要考查行列式的性质.210(2)(04,，,4分)设矩阵4=120，矩阵B满足A84*=284*+ E,其中A*为4的2 I L伴随矩阵，E是单位矩阵，则网=.评注：本题没有必要解出8=(A -2E)tA,注意|姑|=女闺，不要出错.1(3)(05,-,4分)设均为3维列向量，记矩阵4=(4,&2，&3),B =(!+a2+a3,a
5、t +2a2+43,1+3a2+9a3),如果同=1,那么网=.评注：本题还涉及到范德蒙行列式.另外，本题用行列式性质恒等变形也是可行的，例如.|5|=|1+a2+ai ax +2a2+4a3 ax +3a2+9a,|=a1+ a2+ a3 a2+3a3 a2+5a3|=at +a2+a3 a2+3a32a3|=2|a+a2+a3 a2+3a3 a3|=2|1+a2 a2 a3|=2|a1 a2 a3|综述对于抽象型行列式的计算，可能考查行列式性质的理解、运用，可能涉及矩阵的运算，也可能用特征值、相似等处理(如第2题).这一类题目往往综合性强，涉及知识点多.因此,考生复习时要注意知识的衔接与转
6、换，如果内在联系把握得好，解题时的思路就灵活.这一类题目计算量一般不会太大.三、行列式是否为零的判断1、(98,3分)齐次方程组+x2+ A2x3=0 X+ Ax2+x3=0xt+x2+ Ax3=0的系数矩阵为A.若存在三阶矩阵BWO使得AB=O,则(A)2=-2,且冏=0.(B)2=-2,且.AO.(01=1,且|e|=o.(D)i=i,且同co.作为选择题，只需在4=-2与4=1中选择一个，因而可以用特殊值代入法.评注：对于条件AB=O应当有两个思路：一是B的列向量是齐次方程组Ax =0的解；二是秩的信息即r(A)+ r(fi)n时，必有行列式A叫H0.(B)当mn时，必有行列式=(C )
7、当nm时，必有行列式(D)当nm时，必有行列式=若人=(,。2,a,)是阶矩阵，那么行列式|A|=0=矩阵A不可逆=秩 r(A)n=Ax = O有非零解00是矩阵A的特征值=A的列(行)向量线性相关.因此，判断行列式是否为零的问题，常用的思路有：用秩：用齐次方程组是否有非零解;用特征值有能否为零：反证法也是重要的；.因为行列式是一个数，若|川=一|山，则亦能得出|川=0的结论.这里所涉及的思路与方法可以平行的转移到矩阵A是否可逆的判定中去.第二章矩阵矩阵是线性代数的核心.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.考研题中矩阵的题目有20多个.且绝大多教是填空题，约占线性代教总题量的28%.伴随
8、矩阵与秋逆是出题最多的考点，矩阵的运算、矩阵方程、矩阵的秩及初等矩阵等知识点都应当认真仔细地复习一、矩阵运算到这确结论，但烦琐.这些题要做好2-2(1)(9743分)设A =0/3, B为三阶非零矩阵，且AB=0,则，=.3-11(2)(954,3分)设维向量a =(g,0,0,),矩阵 A = E-aTa, B = E +2aTa,其中 E为阶单位矩阵，则AB=.(A)0(B)-E (C) E (D) E + aT评注：当a是行向量时，。丁是一个数，而aa是阶矩阵.-0-10(3)(04,4,4分)设4=100, B = PAP,其中P为3阶可逆矩阵，则00-1B2OM-2A2=.综述要熟练
9、、准确掌握矩阵运算.对于矩阵运算要注意它与数字运箕的区别，不要混淆.特别地，如何处理AB=0?在概念与方法上要搞清楚.如何求A?当r(A)= l时，要会分解A二、伴随矩阵1001、(95,3分)设4=220, A*是A的伴随矩阵，则(A)T =345A评注：要知道关系式(与厂：5-丁二在已知矩阵A的情况下，只要求出行列式|A|的值，也就可以求出(A)*或(A-，*.2、(96,3分)设阶矩阵A非奇异(22), A*是A的伴随矩阵，贝U(A)(A*)*=MrZ(B)(A*)*=|AZ(C)(A*)*=|A2 A(D)(A*)*=|A2 A评注：由a*(a*)*=|ae,左乘A有(AA*)(A*)
10、*=|A*4,即(|A| E)(A*)*=A亦知应选(C).若A不可逆，上述关系仍成立，你能证明吗？3、(05,4分)设矩阵4=(%如满足A*=,其中A*为A的伴随矩阵，H为A的转置矩阵.若a”,%2，%3为三个相等的正数，则为(A)坐(B)3(C)!(D)J533评注：A*= A7在往年数学一、数学四的考题中都出现过，至于|A|=1的推导还可利用AA：=AE,于是A4，=|A|E.然后两边取行列式来论证.本题进一步可知矩阵A是正交矩阵.要会处理分块矩阵的伴随矩阵5、(02,4,3分)设A8C。*=为阶矩阵，4*,6*分别为4,8对应的伴随矩阵，分块矩阵。=4,则C的伴随矩阵C*=0 BAA*
11、00IM 8*(B)0|A|A*|a|b* oo bXBA 0(C)(D)11.,0AB综述伴随矩阵是常考题目之一.首先应理解伴随矩阵的概念，要掌握基本关东式:AAf =A*A =AE,并能将其作各种恒等变形推导出伴随矩阵的各种关系式.诸如：(2)若 A 可逆，则 A*=|A|AT,(4尸=()*=717 An,如果 r(A)=(3)r(A)=1,如果 r(A)=-l0,如果r(4)若A可逆，且Aa =4a,(5)(W=LA*,(A*)*=|A2a,(A*)T=(A，)*a b d -h 另外，若A是2阶矩阵，则=.了解此关系式对于2阶矩阵求逆是c d _-c a简便的.三、可逆矩阵1、(97
12、,6分)设A为阶非奇异矩阵，a为维列向量，b为常数,记分块矩阵E 0AA其中A*是A的伴随矩阵，E为阶单位矩阵.(1)计算并化简PQ.(2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是aATawb.评注本题考查分块矩阵的运算.要把握住小块矩阵的左右位置.要看清aAa是1阶矩阵，是一个数.2、(03,4分)设维向量a =(a,0,0,a)T, aE A（或E+A）可逆.要会单位矩阵恒等变换的技巧（1）（92,4,3分）设A8, A + B,+小|均为阶可逆矩阵，则（41+田|尸等于(A)A_|+B-| (B)A + 8(C) A(A+B-yB(D),(A + B)-注意，一般情况下（A + B）T hAT+
13、b-i不要与转置的性质相混淆.(2)(00,2,3分)设 A =-120003-40005-60007,E为4阶单位矩阵，且B =（E+A）T（E-A）,则(E+8)T =.练习题-040000(1、0(1)(94,2,3分)设 A=:,其中q wO, i =则000%一为000A-1=（1）（01,1,3分）设矩阵4满足A2+ A-4E =0,其中E为单位矩阵，则（A-E）=.评注：用定义法求逆，数学一还有相当的考生不会这种方法，正确率约为57%,这是值得考生思考的.原因究竟是什么？综述可逆是矩阵中的一个重要知识点，在考研中出现频率较高，在矩阵方程的求解中也会涉及到求逆问题.首先，应理解逆矩
14、阵的概念，掌握逆矩阵的性质；其次，要正确熟练地求出逆矩阵；还要掌握可逆的充分必要条件，会证可逆.要熟悉k证明矩阵4可逆的方法很多，核心问题是行列式Ml（如第5题）.还可用定义法,可用反证法.当然也可用特征值或齐次方程组等，方法是灵活的.求逆矩阵的基本方法：定义法，伴随矩阵法（47=百4）,初等行变换法(灰(E:A-1).特殊情况可用分块矩阵的技巧（如第5题）.四、初等变换8、(01,3分)设aa2a2。2243。23。14。24,B =。14%44323a2。2241a2，32。34“34033。32。31C。43a44_。44“43“42a4_-0001-1000-01000010片-，P2
15、=00100I0010000001其中A可逆，则8T等于(A)42%山)月*8；（D）5评注：本题考查初等矩阵的两个定理，一个是行变换、列变换左乘、右乘初等矩阵的关系，一个是初等矩阵逆矩阵的公式，复习初等矩阵时应搞清这两个基本定理.9,（04,4分）设阶矩阵A与8等价.则必有(A)当 |A| = a(awO)时，忸 |=a ；(B)当 |A| = a(aW0)时，倒=一0(C)当|A|wO 时，忸| = 0；（D）当|川=0时，忸| = 0（D）10、（06,4分）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得8,再将B的第1列的-1倍加到第2列得C,记尸=(A) C = P-AP；(B)C = P
16、APT；(C) C = PTAPi (D) C = PAPT .本题考查初等矩阵左乘右乘问题及初等矩阵逆矩阵的公式.理工类还这样考（1）（04,4分）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得8,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q为010010010-01 r(A)100；(B)101:(C)100;(D)100101001011001评注：对于矩阵的初等变换要会用初等矩阵来描述，还要熟悉初等矩阵逆矩阵的三个公式.(2)(05,4分)设A为(/22)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, A*,B*分别为A, B的伴随矩阵，则(A)交换A*的第1列与第2列得B*.(
17、B)交换A*的第1行与第2行得B*(C)交换A*的第1列与第2列得-B*.(D)交换A*的第1行与第2行得-8*评注：本题考查初等矩阵的两个定理：一个是左乘右乘问题，一个是初等矩阵逆矩阵的公式.同时注意求伴随矩阵有两种思路：一是用定义法，一是用可逆矩阵来转换(a*=|a|at).(3)(97,1,5分)设A为阶可逆矩阵，将A的第i行和第/行对换后得到的矩阵记为8,证明B可逆.评注：本题考查初等矩阵的性质，要知道初等变换与初等矩阵左右乘的关系以及初等矩的阵逆矩阵.经初等变换矩阵的秩不变，易知r(A)= r(B)=，也可证明8可逆.五、矩阵方程10011.(98,3分)设矩阵A ,8满足A*84=
18、2BA-8E,其中A=0-20, E为单位001矩阵，A*为4的伴随矩阵，则6=.要会解这样的矩阵方程(05,4,4分)设矩阵A , B,。均为阶矩阵，E为阶单位矩阵，若8=正+48, C = C + CA,则8-C=.(A)E；(B)-E；(C)A；(D)-A.练习题(1).(00,1,6分)设矩阵A的伴随矩阵1000*0100A =10100-308且ABA-=8AT+3E,其中E是4阶单位矩阵，求矩阵B.评注：本题已知矩阵A*,因此对应当继续恒等变形向已知条件靠拢，用式来求B较好.若由得8=3(A E)t,然后用A =|川(4*尸先求出A,再求(4 E)t.最后亦可求出B,但这样计算量较
19、大.1-20则A=(2).(99,4,3分)已知= A，其中3=210002评注：求(8-E尸时，方法有多种，若熟悉分块100 B及2阶矩阵求逆法就可直接写出(B-综述解矩阵方程时首先要作符号运算，再根据矩阵运算法则、性质把方程化简(特别要注意矩阵的乘法没有交换律)，可能出现的简化方法有以下三种形式：AXB, XA = B, AXB = C.接着应判断矩阵A是否可逆，若A可逆，则前两个方程分别化为对于第3个方程，若4,8均可逆，则可化为X = A CB .当把X描述清楚后，再带入已知数据作数值运算就可求出X.随着时间的推移，当前矩阵方程的化简部分比早年要复杂，已知条件也可能由A转换为与A有某种
20、关联的矩阵，到目前为止还没有考过矩阵A不可逆的情形.试问，若A不可逆，你如何解AX = B?六、矩阵的秩12.(95,3分)设矩阵4“*的秩r(A)= m3)阶矩阵,I a aa 1 aA = a a a a aaa ,若A的秩为一 1,则。必为11(A)l；(B)：(C)-l(D)-nn-评注：A是实对称矩阵，你能简捷看出A的特征值是1+(-1)。,1一。/一。,1一。吗？秩r(A)=?(有三种情况！)ki i r14.(01,3分)设矩阵A =1k 11,秩r(A)=3,贝iJZ=111 k 111 kabb15.(01,3分)设三阶矩阵A =b a b，若4的伴随矩阵的秩等于1，则必有b
21、 h a(A) a =力或。+2=0；(B)。= b 或。+2 H 0；(C) a W 且。+28=0；(D) a W 力且。+2b W 0010o-16.(07,4分)设矩阵，A =000010()1,则的秩为_0000练习题(08,1,10分)设a,夕为3维列向量，矩阵a = aa+阴I其中a7,/分别是a,夕的转置，证明(I)秩 r(A)2；(II)若a,1线性相关，则r(A)2.综述要正确理解矩阵秩的概念，若r(A)= r,则A中有/阶子式不为0.而r+1阶子式必全为0.在这里要分清“有一个”与“每一个，当r(A)=/时，A中能否有，一1阶子式为0?能否有r +1阶子式不为0?你如何描
22、述r(A)r?要搞清矩阵的秩与向量组秩之间的关系，在线性相关的判断与证明中这种转换是重耍的(参看第三章有关内容).经初等变换矩阵的秩不变，这是求秩的最重要的方法.有时可以把定义法与初等变换法相结合来分析推导矩阵的秩.矩阵的秩的重要公式：(1) r(A)= r(A7)(2) r(M)= r(A), k 0.(3) r(A + B) r(A)+ r(B)(4) r(AB) min(r(A), r(B).(5)若 A 可逆，r(AB)= r(B), r(BA)=r(B).(6)若A8=0, A是mx矩阵，则r(A)+r(8)W.(7)若4口3,则 r(A)= r(B).第三章向量向量既是重点又是难点
23、.由于维向量的抽象性以及在逻辑推理上的较高要求，导致同学们在学习理上会有一定困难.从以往考试来看，首先应理解向量的线性组合，掌握求线性表出的方法；其次(也是重点)要理解线性相关、线性无笑等概念，要掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法，这一类考题出现频率较高；第三，要理解向量组的极大线性无关组的概念，掌握其求法，要理解向量组秩的概念，会求向量组的秩：第四，要了解内积的概念，掌握施密特正交化方法.一、向量的线性表出1 .(99,3分)设向量/可由向量组,线性表示，但不能由向量组：,线性表示，记向量组(II)：,a,“T，/，贝iJ(A)不能由线性表示，也不能由(H)线性表示.(B)a”,
24、不能由线性表示，但可由(H)线性表示.(C)a“,可由(1)线性表示，也可由(0)线性表示.(D)a,“可由线性表示，但不可由(H)线性表示.2 .(00,8分)设向量组4=(a,2,10)T ,4=(-2,1,5)7,=(-l,l,4)r ,/3=(l,b,c)T ,试问：当a,4c满足什么条件时，0,(1)/可由4,。2，。3线性表出，且表示惟一？(2)/不能由q,%线性表出？(3)/可由%,4,令线性表出，且表示不惟一？并求一般表达式.批注：本题也可直接对增广矩阵作初等行变换，有 c,211:1a -2-1:1211102+-1+-；-ab-12221054: c 八八1sL001:5b
25、-c然后可讨论解的三种情况，请读者完成.3 .(04,13分)设囚=(1,2,0双，的=(1,。+2,3。)丁，%=(-1,b 2,a +2b)，,夕=(1,3,-31，试讨论当a,b为何值时，(I )一不能由%,4，%线性表示;(H)/可由囚,仁2，因惟一线性表出，并求出表达式；(IH)/可由线性表出，但表达式不惟一，并求出表达式.请独立完成下面的考题(1)(03,4,13分)设向量组(I)： ax =(1,0,2)r , a2=(1,1,3)r,%=(1,-1,。+21和向量组(H)：以=(l,2,a +3)T,尾=(2,l,a +6)r, J33=(2,l,a+4)T.试问：当。为何值时
26、,向量组(I)与(II)等价？当a为何值时，向量组(I)与(II)不等价？(2)(0529分)确定常数a,使向量组q，a2=(l,a,l)r , a,=(。，1，1尸可由向量组片=(l,l,a)，尾=(一24)何=(-2,a,a)r线性表示，但向量组片,尾，自不能由向量组与,4,线性表示.(3)(97,1,7分)设向量组4,线性相关，向量组。2，。3，04线性无关，问：(1)%能否由。2，。3线性表出？证明你的结论.(2)%能否由，。2，。3线性表出？证明你的结论.批注：对于&乌+&二2+=，若知%。0,那么移项处理亦知名可由。2，&3线性表出，故(1)的证明也可以为：因为q。2，火线性相关，
27、故存在不全为零的数K，2，%，使得k(Xi + k2a2+=0因为若4=0,则左2,勺不全为零，使&2+勺4=0，于是a2,a,夕的坐标成比例三个向量a,y线性相关na,4,丁共面.知道线性相关、线性无关的几何意义在相关概念的理解上是会有帮助的.8.(02.4分)设0,生,a,均为维向量，下列结论不正确的是(A)若对于任意一组不全为零的数4,6/，尤，都有乌+&a?+&a户0,则9,区线性无关.(B)若名,。2,线性相关，则对于任意一组不全为零的数配火2,，L，有 kl(xi + k、a, HF =0.(C)/,a?,线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为S .(D)出,a?,%线性无关的必要
28、条件是其中任意两个向量线性无关.评注：反本题考查向量组线性相关、线性无关的概念及其等价说法，作为理解概念请回顾第4题.9 .(05.4分)设4,4是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为4,a?，则4,4al + a2)线性无关的充分必要条件是(a)4h。；(B)4 ho：4= o；(D)4=o10 .(05.4分)设行向量组(2,1,1,1),(2,1,a, a),(3,2,1, a),(4,3,2,1)线性相关,且 a w 1,则 a =.11 .(06.4分)设%,4,均为“维列向量，A是矩阵，下列选项正确的是(A)若4, a2，,4线性相关，则一%,A%,此线性相关.(B)若，
29、生线性相关,则，人见线性无关.(C)若药,仁2,4线性无关，则,Aa、线性相关.(D)若囚,生线性无关,则A%, A%,此线性无关.评注：要学会秩的方法判断线性相关性.12 .(07.4分)设ava2,a3线性无关，则下列向量组线性相关的是(A)a,-a2. a2-a3, ay-a(B)a,+ a2, a2+a3, a3+a(C) a,-2a2, a2-2a3, ay -2ax ；(D)4+2aa2+2a3,%+2%13 .(08.10分)设A为3阶矩阵，%,a2为A的分别属于特征值-1,1的特征向量，向量4a3=.(I )证明/,&2，二3线性无关.(11)令尸=(%，生)，求 P-AP.证
30、明向量组线性无关(1) .(93.1.6分)设A是 xm矩阵，8是nzx”矩阵，其中E是阶单位矩阵,若AB = E,证明B的列向量线性无关.评注：【证法一】用定义法，【证法二】用秩.这是两个重要思路，值得很好体会.(2) .(01.4.8分)设.以(i = l，2,r;r加时必有非零解(C)当机时仅有零解(D)当用时必有非零解2 .(02,8分)设齐次线性方程组1axi + bx2 HF bxn =0bx、+ ax-, H1- bxn =0*bx、+ bx4F axn =0其中。WO/。，n2,试讨论a,。为何值时，方程组仅有零解，有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全
31、部解.评注：把第行的1倍加至第，行，由1至-1；然后把每行的一8倍均加至第行.3 .(03,13分)已知齐次线性方程组(q +/?)%(-I-a2x2+ a3x3+=0axxx +(a2+ b)x2+ a3x3 H F anxn =0 ax+ a2x2+(%+ b)x3 HF anxn =0ax+ a2x2+ a3x3 HF (an + b)xn =0其中试讨论4,4,和6满足何种关系时=0(1)方程组仅有零解；(2)方程组有，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.评注：本题行列式|A|的计算方法特别多，不知你还会那些？你能用特征值的方法和理论求出同的值吗？先把第1行的-1倍依次加至其余各行
32、，然后是把i行的一4倍加至第1行(i =2,)，再将第1行移到最后一行.4.(04,4分)设阶矩阵A的伴随矩阵A* H0,若。或是非齐次线性方程组Ax = b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax =0的基础解系.(1)不存在(2)仅含一个非零解向量(3)含有两个线性无关的解向量(4)含有三个线性无关的解向量综述总体上看这一部分考得不十分理想，看来在基础解系的理解与把握上还有问题.复习时应当理解齐次线性方程组的基础解系与通解的概念，要掌握齐次线性方程组的基础解系与通解的求法，否则在特征向量的求解上还要出问题.-r(A)这个数有两层含义，它既表示齐次线性方程组Ar =0的基础解系中有-r(A)个解向量，又表示每个解中有-r(A)个自由变量，搞清这个数会减少一些无谓的失误，目前考生在基础解系上解答得并不理想，希望引起重视.从2002年，2003年考题来看,对矩阵初等变换的要求明显比往年要高二、非齐次线性方程组5.（96,