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1、-第 1 页导数习题及答案导数习题及答案解析解析-第 2 页一、选择题一、选择题1.(2010 年广东卷.文)函数xexxf)3()(的单调递增区间是()A.)2,(B.(0,3)C.(1,4)D.),2(答案D解析()(3)(3)(2)xxxfxxexexe,令()0fx,解得2x,故选 D2.（2010 全国卷理）已知直线 y=x+1 与曲线yln()xa相切，则的值为()A.1B.2C.-1D.-2答案B解:设切点00(,)P xy，则0000ln1,()yxayx,又001|1x xyxa00010,12xayxa .故答案选 B3.（2010 安徽卷理）已知函数()f x在 R 上满
2、足2()2(2)88f xfxxx，则曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程是()A.21yxB.yxC.32yxD.23yx 答案A解析由2()2(2)88f xfxxx得几何2(2)2()(2)8(2)8fxf xxx，即22()(2)44f xfxxx，2()f xx/()2fxx，切线方程12(1)yx，即210 xy 选 A4.（2010 江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线3yx和21594yaxx都相切，则a等于()A1或25-64B1或214C74或25-64D74或7答案A解析设过(1,0)的直线与3yx相切于点300(,)x x，所以切线方程为即230032y
3、x xx，又(1,0)在切线上，则00 x 或032x ，-第 3 页当00 x 时，由0y 与21594yaxx相切可得2564a ，当032x 时，由272744yx与21594yaxx相切可得1a ，所以选A.5.（2010 江西卷理）设函数2()()f xg xx，曲线()yg x在点(1,(1)g处的切线方程为21yx，则曲线()yf x在点(1,(1)f处切线的斜率为()A4B14C2D12答案A解析由已知(1)2g，而()()2fxg xx，所以(1)(1)2 14fg 故选 A力。6.（2009 全国卷理）曲线21xyx在点1,1处的切线方程为()A.20 xyB.20 xyC
4、.450 xyD.450 xy答案B解解111222121|1(21)(21)xxxxxyxx ,故切线方程为1(1)yx ,即20 xy故选故选 B.7.（2009 湖南卷文）若函数()yf x的导函数在区间,a b上是增函数，则函数()yf x在区间,a b上的图象可能是()ABCD解析因为函数()yf x的导函数()yfx在区间,a b上是增函数，即在区间,a b上各点处的斜率k是递增的，由图易知选 A.注意 C 中yk 为常数噢.8.（2009 辽宁卷理）若1x满足 2x+2x=5,2x满足 2x+22log(x1)=5,1x+2x()A.52B.3C.72D.4ababaoxoxyb
5、aoxyoxyby-第 4 页答案C解析由题意11225xx 所以11252xx,121log(52)xx即 21212log(52)xx令 2x172t,代入上式得 72t2log2(2t2)22log2(t1)52t2log2(t1)与式比较得 tx2于是 2x172x29.（2009 天津卷理）设函数1()ln(0),3f xxx x则()yf x()A 在区间1(,1),(1,)ee内均有零点。B 在区间1(,1),(1,)ee内均无零点。C 在区间1(,1)e内有零点，在区间(1,)e内无零点。D 在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e内有零点。【考点定位】本小考查导数的应用，
6、基础题。解析由题得xxxxf33131)(，令0)(xf得3 x；令0)(xf得30 x；0)(xf得3 x，故知函数)(xf在区间)3,0(上为减函数，在区间),3(为增函数，在点3 x处有极小值03ln1 ；又 0131)1(,013,31)1(eefeeff，故选择 D。二、填空题二、填空题10.（2009 辽宁卷文）若函数2()1xaf xx在1x 处取极值，则a 解析f(x)222(1)()(1)x xxaxf(1)34a0a3答案311.若曲线 2f xaxInx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是.解析解析解析由题意该函数的定义域0 x，由 12fxaxx。因为存在垂直于y
7、轴-第 5 页的切线，故此时斜率为0，问题转化为0 x 范围内导函数 12fxaxx存在零点。解法 1（图像法）再将之转化为 2g xax 与 1h xx存在交点。当0a 不符合题意，当0a 时，如图 1，数形结合可得显然没有交点，当0a 如图 2，此时正好有一个交点，故有0a 应填,0或是|0a a。解法 2（分离变量法）上述也可等价于方程120axx在0,内有解，显然可得21,02ax 12.（2009 江苏卷）函数32()15336f xxxx的单调减区间为.解析考查利用导数判断函数的单调性。由(11)(1)0 xx得单调减区间为(1,11)。亦可填写闭区间或半开半闭区间。13.（200
8、9 江苏卷）在平面直角坐标系xoy中，点 P 在曲线3:103C yxx上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为.解析考查导数的几何意义和计算能力。231022yxx ，又点 P 在第二象限内，2x 点 P 的坐标为（-2，15）答案:（-2，15）【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.14.（2009 福建卷理）若曲线3()lnf xaxx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是_.答案(,0)解析由题意可知21()2fxaxx，又因为存在垂直于y轴的
9、切线，所以231120(0)(,0)2axaxaxx 。15.(2009 陕西卷理)设曲线1*()nyxnN在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为nx,令lgnnax，则1299aaa的值为.答案答案-216.（2009 四川卷文）设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射:,f VV aV，记a的象为()f a。若映射:f VV满足：对所有abV、及任意实数,都有-第 6 页()()()fabf af b，则f称为平面M上的线性变换。现有下列命题：设f是平面M上的线性变换，abV、，则()()()f abf af b若e是平面M上的单位向量，对,()aVf aae设，则f是平面M上
10、的线性变换；对,()aVf aa 设，则f是平面M上的线性变换；设f是平面M上的线性变换，aV，则对任意实数k均有()()f kakf a。其中的真命题是（写出所有真命题的编号）答案答案解析解析：令1，则)()()(bfafbaf故是真命题同理，：令0,k，则)()(akfkaf故是真命题：aaf)(，则有bbf)()()()()()()(bfafbababaf是线性变换，故是真命题：由eaaf)(，则有ebbf)(e是单位向量，e0，故是假命题【备考提示【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。17.（2009
11、宁夏海南卷文）曲线21xyxex在点（0,1）处的切线方程为。答案31yx解析2xxxeey，斜率 k200e3，所以，y13x，即31yx三、解答题三、解答题1（本题满分 12 分）已知函数dxbacbxaxxf)23()(23的图象如图所示（I）求dc,的值；（II）若函数)(xf在2x处的切线方程为0113 yx，求函数)(xf的解析式；（III）在（II）的条件下，函数)(xfy 与mxxfy5)(31的图象有三个不同的交点，求m的取值范围解：函数)(xf的导函数为bacbxaxxf2323)(2（2 分）（I）由图可知函数)(xf的图象过点（0，3），且0)1(f得03023233c
12、dbacbad（4 分）-第 7 页（II）依题意3)2(f且5)2(f解得6,1ba所以396)(23xxxxf（8 分）（III）9123)(2xxxf可转化为：mxxxxxx534396223有三个不等实根，即：mxxxxg8723与x轴有三个交点；x32,32432，4，4 xg+0-0+xg增极大值减极小值增 mgmg164,276832（10 分）当且仅当 01640276832mgmg且时，有三个交点，故而，276816m为所求（12 分）2（本小题满分 12 分）已知函数)(3ln)(Raaxxaxf（I）求函数)(xf的单调区间；（II）函数)(xf的图象在4x处切线的斜率为
13、,23若函数2)(31)(23mxfxxxg在区间（1，3）上不是单调函数，求 m 的取值范围解：（I）)0()1()(xxxaxf（2 分）当,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为时xfa当;1,0,1)(,0减区间为的单调增区间为时xfa当 a=1 时，)(xf不是单调函数（5 分）（II）32ln2)(,22343)4(xxxfaaf得2)4()(,2)22(31)(223xmxxgxxmxxg（6 分）.0)3(,0)1(gg（8 分）,319,3mm（10 分）)3,319(m（12分）3（本小题满分 14 分）已知函数cbxaxxxf23)(的图象经过坐标原点，且在1x处取得极
14、大值（I）求实数a的取值范围；（II）若方程9)32()(2axf恰好有两个不同的根，求)(xf的解析式；（III）对于（II）中的函数)(xf，对任意R、，求证：81|)sin2()sin2(|ff解：（I）,23)(,00)0(2baxxxfcf320)1(abf-第 8 页由33210)(axxxf或，因为当1x时取得极大值，所以31332aa，所以)3,(:的取值范围是a；（4分）（II）由下表：x)1,(1)332,1(a332 a),332(a)(xf+0-0-)(xf递增极大值2a递减极小值2)32(276aa递增依题意得：9)32()32(27622aaa，解得：9a所以函数)
15、(xf的解析式是：xxxxf159)(23（10分）（III）对任意的实数,都有,2sin22,2sin22在区间-2，2有：230368)2(,7)1(,7430368)2(fff函数2,2)(在区间xf上的最大值与最小值的差等于81，所以81|)sin2()sin2(|ff（14分）4（本小题满分 12 分）已知常数0a，e为自然对数的底数，函数xexfx)(，xaxxgln)(2（I）写出)(xf的单调递增区间，并证明aea；（II）讨论函数)(xgy 在区间),1(ae上零点的个数解：（I）01)(xexf，得)(xf的单调递增区间是),0(，（2 分）0a，1)0()(faf，aae
16、a1，即aea（4 分）（II）xaxaxxaxxg)22)(22(22)(，由0)(xg，得22ax，列表x)22,0(a22a),22(a)(xg-0+)(xg单调递减极小值单调递增当22ax 时，函数)(xgy 取极小值)2ln1(2)22(aaag，无极大值（6分）由（I）aea，22aaeeaa，22aea，22aea01)1(g，0)()(22aeaeaeegaaaa（8 分）（i）当122a，即20 a时，函数)(xgy 在区间),1(ae不存在零点（ii）当122a，即2a时-第 9 页若0)2ln1(2aa，即ea22时，函数)(xgy 在区间),1(ae不存在零点若0)2l
17、n1(2aa，即ea2时，函数)(xgy 在区间),1(ae存在一个零点ex；若0)2ln1(2aa，即ea2时，函数)(xgy 在区间),1(ae存在两个零点；综上所述，)(xgy 在(1,)ae上，我们有结论：当02ae时，函数()f x无零点；当2ae时，函数()f x有一个零点；当2ae时，函数()f x有两个零点（12分）5（本小题满分 14 分）已知函数()ln(1)(1)1f xxk x（I）当1k 时，求函数()f x的最大值；（II）若函数()f x没有零点，求实数k的取值范围；解：（I）当1k 时，2()1xfxx)(xf定义域为（1，+），令()0,2fxx得，（2 分）
18、当(1,2),x时()0fx，当(2,),x 时()0fx，()(1,2)f x 在内是增函数，(2,)在上是减函数当2x 时，()f x取最大值(2)0f（4 分）（II）当0k 时，函数ln(1)yx图象与函数(1)1yk x图象有公共点，函数()f x有零点，不合要求；（8 分）当0k 时，1()11()111kk xkkxkfxkxxx（6 分）令1()0,kfxxk得，1(1,),()0,kxfxk时1(1,),()0 xfxk时，1()(1,1)f xk在内是增函数，11,)k在上是减函数，()f x的最大值是1(1)lnfkk，函数()f x没有零点，ln0k，1k，因此，若函数
19、()f x没有零点，则实数k的取值范围(1,)k（10 分）6（本小题满分 12 分）已知2x 是函数2()(23)xf xxaxae的一个极值点（718.2e）（I）求实数a的值；（II）求函数()f x在 3,23x的最大值和最小值解：（I）由2()(23)xf xxaxae可得22()(2)(23)(2)3xxxfxxa exaxaexa xae（4 分）2x 是函数()f x的一个极值点，(2)0f 2(5)0ae，解得5a （6 分）（II）由0)1)(2()(xexxxf，得)(xf在)1,(递增，在),2(递增，由0)(xf，得)(xf在在)2,1(递减-第 10 页2)2(ef
20、是()f x在 3,23x的最小值；（8 分）()f x在 3,23x的最大值是3)3(ef（12 分）7（本小题满分 14 分）已知函数)0,(,ln)2(4)(2aRaxaxxxf（I）当 a=18 时，求函数)(xf的单调区间；（II）求函数)(xf在区间,2ee上的最小值解：（）xxxxfln164)(2，xxxxxxf)4)(2(21642)(2 分由0)(xf得0)4)(2(xx，解得4x或2x注意到0 x，所以函数)(xf的单调递增区间是（4，+）由0)(xf得0)4)(2(xx，解得-2x4，注意到0 x，所以函数)(xf的单调递减区间是4,0(.综上所述，函数)(xf的单调增
21、区间是（4，+），单调减区间是4,0(6 分（）在,2eex时，xaxxxfln)2(4)(2所以xaxxxaxxf242242)(2，设axxxg242)(2当0a时，有=16+4208)2(aa，此时0)(xg，所以0)(xf，)(xf在,2ee上单调递增，所以aeeefxf24)()(2min8 分当0a时，=08)2(2416aa，令0)(xf，即02422axx，解得221ax或221ax；令0)(xf，即02422axx，解得221a221ax.若221a2e，即a22)1(2e时，)(xf在区间,2ee单调递减，所以aeeefxf244)()(242min.若2221eae，即2
22、22)1(2)1(2eae时间，)(xf在区间221,ae 上单调递减，在区间,221 2ea上单调递增，所以min)(xf)221(af)221ln()2(322aaaa.若221ae，即a022)1(e时，)(xf在区间,2ee单调递增，所以aeeefxf24)()(2min综上所述，当a222)1(e时，aeaxf244)(24min；-第 11 页当222)1(2)1(2eae时，)221ln()2(322)(minaaaaxf；当a2)1(2e时，aeexf24)(2min14 分8（本小题满分 12 分）已知函数()(6)lnf xx xax在(2,)x上不具有单调性（I）求实数a
23、的取值范围；（II）若()fx是()f x的导函数，设22()()6g xfxx，试证明：对任意两个不相等正数12xx、，不等式121238|()()|27g xg xxx恒成立解：（I）226()26axxafxxxx，（2 分）()f x在(2,)x上不具有单调性，在(2,)x上()fx有正也有负也有 0，即二次函数226yxxa在(2,)x上有零点（4 分）226yxxa是对称轴是32x，开口向上的抛物线，22 26 20ya 的实数a的取值范围(,4)（6 分）（II）由（I）22()2ag xxxx，方法 1：2222()()62(0)ag xfxxxxxx，4a，323233444
24、244()22axxg xxxxxx，（8 分）设2344()2h xxx，3448124(23)()xh xxxx()h x在3(0,)2是减函数，在3(,)2增函数，当32x 时，()h x取最小值3827从而()g x3827，38()027g xx，函数38()27yg xx是增函数，12xx、是两个不相等正数，不妨设12xx，则22113838()()2727g xxg xx1212()()g xg xxx3827，即121238|()()|27g xg xxx（12 分）方法 2：11(,()M x g x、22(,()N x g x是曲线()yg x上任意两相异点，1222312
25、1212122()422()xxaax xx xx xx x 31212442()x xx x（8 分）设121,0ttx x，令32()244MNku ttt，()4(32)u ttt，由()0u t，得2,3t 由()0u t得20,3t()u t在)32,0(上是减函数，在),32(上是增函数，)(tu在32t处取极小值2738，38()27u t，所以1212()()g xg xxx3827即121238|()()|27g xg xxx（12 分）-第 12 页9（本小题满分 12 分）已知函数.1,ln)1(21)(2axaaxxxf（I）讨论函数)(xf的单调性；（II）证明：若.
26、1)()(,),0(,521212121xxxfxfxxxxa有则对任意（1）)(xf的定义域为),0(，xaxxxaaxxxaaxxf)1)(1(11)(22 分（i）若2,11aa即，则.)1()(2xxxf故)(xf在),0(单调增加（ii）若.0)(,)1,1(,21,1,11xfaxaaa时则当故而)1,1()(,0)(,),1()1,0(axfxfxax在故时及当单调减少，在（0，a-1），),1(单调增加（iii）若),1(),1,0(,)1,1()(,2,11aaxfaa在单调减少在同理可得即单调增加（II）考虑函数xxfxg)()(.ln)1(212xxaaxx由.)11(1
27、)1(121)1()(2aaxaxxaaxxg由于单调增加在即故),0()(,0)(,5xgxgaa，从而当021 xx时有故1)()(2121xxxfxf，当210 xx 时，有1)()()()(12122121xxxfxfxxxfxf10（本小题满分 14 分）已知函数21()ln,()(1),12f xxaxg xaxa（I）若函数(),()f xg x在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；（II）若(1,(2.71828)aee，设()()()F xf xg x，求证：当12,1,x xa时，不等式12|()()|1F xF x成立解：（I）(),()1af
28、xxg xax，（2 分）函数(),()f xg x在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同，当1,3x时，2(1)()()()0axafxg xx恒成立，（4 分）即2(1)()0axa恒成立，21aax 在1,3x时恒成立，或21aax 在1,3x时恒成立，91x ，1a 或9a （6 分）（II）21()ln,(1)2F xxaxax，()(1)()(1)axa xF xxaxx()F x定义域是(0,)，(1,ae，即1a()F x在(0,1)是增函数，在(1,)a实际减函数，在(,)a 是增函数-第 13 页当1x 时，()F x取极大值1(1)2MFa ，当xa时，()F x取
29、极小值21()ln2mF aaaaa，（8 分）12,1,x xa，12|()()|F xF xMmMm（10 分）设211()ln22G aMmaaa，则()ln1G aaa，()ln1G aaa在(1,ae是增函数，()(1)0G aG211()ln22G aaaa在(1,ae也是增函数（12 分）()()G aG e，即2211(1)()1222eG aee，而22211(1)(3 1)1112222eee ，()1G aMm当12,1,x xa时，不等式12|()()|1F xF x成立（14 分）11（本小题满分 12 分）设曲线C：()lnf xxex（2.71828e），()fx
30、表示()f x导函数（I）求函数()f x的极值；（II）对于曲线C上的不同两点11(,)A x y，22(,)B xy，12xx，求证：存在唯一的0 x12(,)x x，使直线AB的斜率等于0()fx解：（I）11()0exfxexx，得1xe当x变化时，()fx与()f x变化情况如下表：x1(0,)e1e1(,)e()fx0()f x单调递增极大值单调递减当1xe时，()f x取得极大值1()2fe，没有极小值；（4 分）（II）（方法 1）0()ABfxk，2121021lnln()1xxe xxexxx，21201ln0 xxxxx即20211ln()0 xxxxx，设2211()l
31、n()xg xxxxx211211()ln()xg xxxxx，1/211()ln10 xxg xx，1()g x是1x的增函数，222211()ln()xg xxxxx，2/221()ln10 xxg xx，2()g x是2x的增函数，函数2211()ln()xg xxxxx在12(,)x x内有零点0 x，（10 分）又22111,ln0 xxxx，函数2211()ln()xg xxxxx在12(,)x x是增函数，函数2121()lnxxxg xxx在12(,)x x内有唯一零点0 x，命题成立（12 分）-第 14 页（方法 2）0()ABfxk，2121021lnln()1xxe x
32、xexxx，即020112lnln0 xxxxxx，012(,)xx x，且0 x唯一设2112()lnlng xxxxxxx，则1121112()lnlng xxxxxxx，再设22()lnlnh xxxxxxx，20 xx，2()lnln0h xxx22()lnlnh xxxxxxx在20 xx是增函数112()()()0g xh xh x，同理2()0g x方程2112lnln0 xxxxxx在012(,)xx x有解（10 分）一次函数在12(,)x x2112()(lnln)g xxx xxx是增函数方程2112lnln0 xxxxxx在012(,)xx x有唯一解，命题成立（12
33、分）注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线C不存在拐点，不给分12（本小题满分 14 分）定义),0(,)1(),(yxxyxFy，（I）令函数22()(3,log(24)f xFxx，写出函数()f x的定义域；（II）令函数322()(1,log(1)g xFxaxbx的图象为曲线 C，若存在实数 b 使得曲线 C 在)14(00 xx处有斜率为8 的切线，求实数a的取值范围；（III）当,*x yN且xy时，求证(,)(,)F x yF y x解：（I）22log(24)0 xx，即2241xx（2 分）得函数()f x的定义域是(1,3)，（4分）（II）22322()(1,log(1
34、)1,g xFxaxbxxaxbx设曲线00(41)Cxx 在处有斜率为8 的切线，又由题设,23)(,0)1(log2232baxxxgbxaxx存在实数 b 使得1114823020300020bxaxxxbaxx有解，（6 分）由得,238020axxb代入得082020axx，200028041xaxx 由有解，（8分）方法 1：0082()()axx，因为041x ，所以0082()8,10)()xx，当10a 时，存在实数b，使得曲线 C 在)14(00 xx处有斜率为8 的切线（10 分）方法 2：得08)1()1(208)4()4(222aa或，1010,10.aaa或（10 分）方法 3：是222(4)(4)802(1)(1)80aa 的补集，即10a（10 分）（III）令2)1ln(1)(,1,)1ln()(xxxxxhxxxxh由-第 15 页又令,0),1ln(1)(xxxxxp0)1(11)1(1)(22xxxxxp，),0)(在xp单调递减.（12）分),1)(在xh单调递减，).,(),(,xyFyxFyxNyx时且当（14 分）