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1、-第 1 页安徽省安庆市2018届高三二模考试数学试题（理）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合1|xxA，集合11|xxB，则BA（）AB1|xxC10|xxD0|xx2已知复数z满足：(2+i)=1-iz，其中i是虚数单位，则z的共轭复数为（）A1 3-i5 5B13+i55C1-i3D1+i33ABC三内角CBA,的对边分别为cba,则“ba”是“BA2cos2cos”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D即不充分也不必要条件4如图，四边形OABC是边长为 2 的正方形，曲线段DE所在的曲
2、线方程为1xy，现向该正方形内抛掷 1 枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（）A42ln23B42ln21C42ln25D42ln215阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的x值为（）A0B1C16D326某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A12B16C332D247函数|log|1|1)(xxxxfa（10 a）的图象的大致形状是（）8已知函数)sin()(xxf（2|,0）图象相邻两条对称轴之间的距离为2，将函数)(xfy 的图象向左平移3个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数)(xfy 的图象（）A.关于点(,0)12对称B.关于点(-,0)12对称-第 2
3、 页C.关于直线=12x对称D.关于直线12x对称9在ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数和，使得ACABBM，则（）A21B21C2D210在锐角ABC中，BA2，则ACAB的取值范围是（）A)3,1(B)3,1(C)3,2(D)2,1(11已知实数yx,满足xyxyxy32)1(32，则1xy的最大值为（）A52B92C136D2112已知函数)0(4)(xxxxf，P是)(xfy 图象上任意一点，过点P作直线xy 和y轴的垂线，垂足分别为BA,，又过点P作曲线)(xfy 的切线，交直线xy 和y轴于点HG,.给出下列四个结论：|PBPA 是定值；PBPA是定值
4、；|OHOG（O是坐标原点）是定值；PHPG是定值.其中正确的是（）ABCD二、填空题：每题 4 分，满分 20 分.13如果nxx)13(的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中41x的系数是.14 设抛物线yx42的焦点为F，点BA,在抛物线上，且满足FBAF，若23|AF，则的值为.15已知由样本数据点集合.,2,1|),(niyxii求得的回归直线方程为5.05.1xy，且3x.现发现两个数据点)1.2,1.1(和)9.7,9.4(误差较大，去除后重新求得的回归直线l的-第 3 页斜率为 1.2，那么，当2x时，y的估计值为.16 祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的
5、儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型.设某双曲线型冷却塔是曲线12222byax)0,0(ba与直线0 x，0y和by 所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得，如图所示.试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为.三、解答题：本大题共 7 题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知公差不为 0 的等差数列na的首项21a，且1,1,1421aaa成等比数列.（1）求数列na的
6、通项公式；（2）设11nnnaab，*N n，nS是数列nb的前n项和，求使193nS成立的最大的正整数n.18如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线AC将ACD折起，使得点D在平面ABC上的射影恰好落在边AB上.（1）求证：平面ACD平面BCD；（2）当2ADAB时，求二面角BACD的余弦值.19某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2：1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同.（1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车
7、存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过n（*N n）次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以表示，求的分布列和数学期望.-第 4 页20已知直线1l：xy33，2l：xy33，动点BA,分别在直线1l，2l上移动，32|AB，M是线段AB的中点.（1）求点M的轨迹E的方程；（2）设不经过坐标原点O且斜率为k的直线l交轨迹E于点QP,，点R满足OQOPOR，若点R在轨迹E上，求四边形OPRQ的面积.21 已知函数xbaxx
8、xfln)(2，曲线)(xfy 在点)1(,1(f处的切线方程为xy2.（1）求a和b实数的值；（2）设)()()(2RmmxxxfxF，)0(,2121xxxx分别是函数)(xF的两个零点，求证0)(21xxF.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22选修 4-4：坐标系与参数方程已知在极坐标系中，点(2,)6A，2(2 3,)3B，C是线段AB的中点，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是sin22cos2yx（为参数）.（1）求点C的直角坐标，并求曲线的普通方程；（2）设直线l过点C交曲线于
9、QP,两点，求CQCP的值.23选修 4-5：不等式选讲已知|12|)(xxxf，不等式2)(xf的解集是M.（1）求集合M；（2）设Mba,，证明：|1|2baab.【参考答案】一、选择题1D【解析】因为1101Bxx xxx或，所0ABx x.故选 D.-第 5 页2B【解析】.(2i)1 iz 1 i(1 i)(2i)2i5z13i55，所以z的共轭复数为13i55.故选 B.3.C【解析】根据二倍角公式、正弦定理可得22cos2cos21 2sin1 2sinABAB 22sinsinsinsinABABab.故选 C.4.A【解析】根据条件可知，122E，阴影部分的面积为221122
10、1112d2ln2 2ln2ln32ln222xxxx，所以，豆子落在阴影部分的概率为42ln23.故选 A.5.B【解析】0110 xtk，；228xtk，；1636xtk，；144xtk，.故选B.6.B【解析】该几何体的直观图如图所示，其体积为12 2 222 2 2162 （3cm）.故选B.7.C【解析】log11()loglog101log0.aaaaxxxf xxxxxxx ，故选 C.8.A【解析】由函数()yf x图象相邻两条对称轴之间的距离为2可知其周期为，所以22，所以()sin 2f xx.将函数()yf x的图象向左平移3个单位后，得到函数sin 23yx图象.因为得
11、到的图象关于y轴对称，-第 6 页所以232k，zk，即6k，Zk.又2，所以6，所以()sin 26f xx，其图象关于点012，对称.故选A.9.B【解析】因为点D在边BC上，所以存在Rt，使得BDtBCt ACAB .因为M是线段AD的中点，所以111112222BMBABDABtACtABtABtAC 又BMABAC ，所以112t，12t，所以12.故选 B.10.D【解析】sinsin(-3)=sinsinABCBACBB2sin33-4sinsinBBB.因为ABC是锐角三角形，所以02022022BBBB，得64B211sin()42B，.所以234sin(12)ABBAC，.
12、故选D.11.C【解析】作可行域，如图阴影部分所示.1yx表示可行域内的点x y，与点1 0，连线的斜率.易知1 14 2A，1 12 3B，9 34 2C，.当直线1yk x与曲线yx相切时，12k，切点为1 1，所以切点位于点A、C之间.因此根据图形可知，1yx的最大值为12.故选 C.12C-第 7 页【解析】设4P mmm，则4|2 22mmmPAPBm，为定值，所以正确；因为四边形OAPB四点共圆，所以0135APB，又由知22|PBPA，所以2)22(22PBPA，为定值，故正确；因为24()1fxx，所以过点4P mmm，的曲线()yf x的切线方程为2441yxmmmm，所以2
13、2Gmm，80Hm，所以8|2 2|16 2|OGOHmm，为定值，故正确；.22224441682PG PHmmmmmmmmmmm ，不是定值，故不正确,故选C.二、填空题13.-189【解析】令1x，得展开式中各项系数之和为2n.由2128n，得7n，所以展开式的通项为7 37217(1)3CrrrrrTx.由7 342r，得5r，展开式中41x的系数是57 557(1)3C189.14.12【解析】设11A xy，22B xy，.因为抛物线x2=4y的焦点为(0,1)F，准线为1y ，所以由32AF，得1312y ，所以112y，x12=4y1=2.-第 8 页由AFFB 得121211
14、xxyy，即211211111.2xxyy ，因为 x22=4y2，所以)121(4)1(21x.解得1=2或1（舍）.15.3.8【解析】将3x代入5.05.1xy得5y.所以样本中心点为(3 5)，由数据点(1.1,2.1)和(4.9,7.9)知：1.14.932，2.1 7.952，故去除这两个数据点后，样本中心点不变.设新的回归直线方程为1.2yxb，将样本中心点坐标代入得：1.4b，所以，当2x 时，y的估计值为3.8.16.243a b【解析】设点00A xy，则00aByyb，所以圆环的面积为2200axyb.因为2200221xyab，所以2222002a yxab，所以圆环的
15、面积为22222002a yaayabb.根据祖暅原理可知，该双曲线型冷却塔挖出一个以渐近线为母线的圆锥后的几何的体积等于底面半径为a、高为b的圆柱的体积，所以冷却塔的体积为：2221433a ba ba b.三、解答题17解：（）设数列 na的公差为d，则2(1)nand，*Nn.由11a，21a，41a 成等比数列，得2214111aaa，即233 33dd，得0d（舍去）或3d.所以数列 na的通项公式为31nan，*Nn.（）因为11111131 323 3132nnnba annnn，-第 9 页所以1 111 111111 113 253 583 31323 2322 32nnSn
16、nnn.由319nS，即32 3219nn，得12n.所以使319nS 成立的最大的正整数11n.18解：（I）设点D在平面ABC上的射影为点E，连接DE，则DE 平面ABC，所以DEBC.因为四边形ABCD是矩形，所以ABBC，所以BC 平面ABD，所以BCAD.又ADCD，所以AD 平面BCD，而AD 平面ACD，所以平面ACD 平面BCD.（II）方法 1：在矩形ABCD中，过点D作AC的垂线，垂足为M，连结ME.因为DE 平面ABCDEAC，又 DMDE=D，所以AC 平面DMEEMAC，所以DME为二面角DACB的平面角.设ADa，则2ABa.在ADC中，易求出55aAM，2 55a
17、DM.在AEM中，15tan210EMaBACEMAM，所以1cos4EMDMEDM.方法 2：以点B为原点，线段BC所在的直线为x轴，线段AB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设ADa，则2ABa，所以020Aa，00Ca，.由（I）知ADBD，又2ABAD，所以30DBA，60DAB，那么1cos2AEADDABa，32BEABAEa，3sin2DEADDABa，所以33022Daa，所以13022ADaa，20ACaa，.-第 10 页设平面ACD的一个法向量为mxyz，则00m ADm AC ，即1302220.ayazaxay，取1y，则2x，33z ，所以3123m，
18、.因为平面ABC的一个法向量为00 1n，所以222313cos43123m nm nm n ，.所以求二面角DACB的余弦值为14.19解：(I)因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为31，用X表示“抽取的 5 辆单车中蓝颜色单车的个数”，则X服从二项分布，即X），（315B，所以抽取的 5 辆单车中有 2 辆是蓝颜色单车的概率32252180C33243 P.(II)的可能取值为：0，1，2，n.所以的分布列为：0121nnP3131322213312133n 23n的数学期望为：2312 12121212123(1)3 33333333nnEnn ，(1)231122121212121
19、2(2)(1)3333333333nnnEnnn .(2)(1)(2)得：-第 11 页所以2223nE.20.解：（I）根据条件可设3Amm，3Bnn，由2 3AB，得:223()()12mnmn.设M xy，则3()22mnxmny，得232.xmnmny，将和代入223()()12mnmn中并化简得：2219xy.所以点M的轨迹E的方程为2219xy.（II）设直线l的方程为ykxm，),(11yxP，),(22yxQ，00R xy，.将ykxm代入2219xy，整理得0)1(918)91(222mkmxxk.则122181 9kmxxk，222191)1(9kmxx.因为OROPOQ
20、，则有：0122181 9kmxxxk，012221 9myyyk.因为00R xy，在椭圆上，1912991182222kmkkm，化简得：22419mk.所以mkxx2921，22214)1(9mmxx，因为4)(1(|212212xxxxkPQ4)1(94)29)(1(2222mmmkk又点O到PQ的距离为21|kmh.由OROPOQ ，可知四边形OPRQ为平行四边形，21解：（I）由2()lnf xxaxbx，得(1)1fa，-第 12 页()2bfxxax(1)2fab，所以曲线()yf x在点处1(1)f，的切线方程 211yabxa（*）.将方程（*）与2yx比较，得 22210
21、.ababa，解得1a，1b .（II）222()()ln1lnF xf xxmxxxxxmxmxx.因为1x，2x12xx分别是函数()F x的两个零点，所以11221ln01ln0mxxmxx，两式相减，得 12121lnln0mxxxx，所以1212lnln1xxmxx.因为1()1F xmx，所以.1212121212lnln111xxFx xmxxx xx x.要证120Fx x，即证121212lnln10 xxxxx x.因120 xx，故又只要证121121222112lnln0ln0 xxxxxxxxxxx x.令120 1xtx，则即证明12ln0ttt.令1()2lntt
22、tt，01t，则222121()10ttttt.这说明函数()t在区间0 1，上单调递减，所以()(1)0t，即12ln0ttt 成立.由上述分析可知120Fx x成立.22.解：（）将点A，B的极坐标化为直角坐标，得A(3 1)，和B(3 3)，.所以点C的直角坐标为(0 2)，.将2cos22sinxy ，消去参数，得22(2)4xy，即为曲线的普通方程.-第 13 页（）解法一：直线l的参数方程为cos2sinxtyt，（t为参数，为直线l的倾斜角）代入22(2)4xy，整理得：28 sin120tt.设点P、Q对应的参数值分别为1t、2t.则12t21t，解法二：过点作圆1O：22(2)4xy的切线，切点为T，连接1OT，因为点由平面几何知识得：所以|12CP CQCP CQ .23.解：（）当12x 时，()211f xxxx .由()2f x，得1x，所以112x.当12x 时，()2131f xxxx .由()2f x，得1x ，所以112x.综上，|11Mxx.（）因为a，bM，所以1a，1b，即1a，1b.所以211ababababab 110abab，所以21abab.