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1、-第 1 页线性代数考试线性代数考试(A)参考答案及评释参考答案及评释-第 1 页华南农业大学期末考试试卷（华南农业大学期末考试试卷（A A 卷）卷）2005 学年第一学期学年第一学期考试科目：考试科目：线性代数线性代数考试类型：考试类型：闭卷闭卷考试时间：考试时间：120 分钟分钟学号学号姓名姓名年级专业年级专业题号题号一一二二三三四四五五六六七七总分总分得分得分评阅人评阅人这是题文这是题文 这是参考答案这是参考答案这是评释填空题填空题.（每小题（每小题 3 3 分，共分，共 3030 分）分）1.若行列式 D 各行元素之和等于 0，则该行列式等于0.各行加到第一行上去,则第一行全为零2.设
2、A为 2005 阶矩阵，且满足TAA，则A 0.P98 奇数阶实反对称阵的行列式为零3.非齐次线性方程组AXb有解的充要条件是 R AR A.P64 定理 2.7 非齐次线性方程组有解的充要条件4.设A为 4 阶方阵，且A的行列式12A，则2A 2.重要关系AAA E(P34 定理 1.9);1nAA(p44 题 1.18)5.设1,1,5,3,9,2,3,5,TT 则与的距离为9.6.设A为正交矩阵，则1ATA,A 1.由正交矩阵的定义TA AE立即得到1TAA且1TA AAAE7.三阶可逆矩阵A的特征值分别为 2，4，6，则1A的特征值分别为1 1 1,2 4 6.若是A的特征值,则1是1
3、A的特征值,因为110 xx xxAA x.参考答案参考答案-第 2 页参考 P87 定理 4.4:A的特征值是 .8如果222123123121323,2246f x x xxxtxx xx xx x是正定的，则t的取值范围是5t.11212323tA1231121110,10,123501223tt p100 定理 5.69.设A为n阶方阵，且2AA，则12AE12AE.由2AA推出22 AEAEE10.在 MATLAB 软件中 rank(A)表示求矩阵 A 的秩.English!English!二、单选题（每题二、单选题（每题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）1.n元齐次线性方程
4、组0,AX 秩,R Ar rn则有基础解系且基础解系含（D）个解向量.（A）n（B）r（C）rn（D）nrP62 line 5:基础解系含nr个解向量2.设四阶方阵A的秩为 2，则其伴随矩阵A的秩为（D）（A）1（B）2（C）3（D）0.A的余子式(3 阶子式)全为零.*A是零矩阵.3.设A是n阶方阵，满足2AE，则（B）（A）A的行列式为 1（B）,AE AE不同时可逆.（C）A的伴随矩阵*AA（D）A的特征值全是 14.设n阶方阵,A B C满足ABCE，其中E是n阶单位阵，则必有（C）（A）ACBE(B)CBAE(C)BCAE(D)BACEA BCEBC AE.p7 性质 1.2,p35
5、 定理 1.10-第 3 页5.在 MATLAB 中求 A 的逆矩阵是（C）（A）det(A)(B)rank(A)(C)inv(A)(D)rref(A)三、计算题（每题三、计算题（每题 6 6 分，共分，共 1212 分）分）1.1111111111111111xxxx或者141231234142332,3,43334111111111111111100001111110001011111001001111000100000100010010001000100001010001000000irriccccrrrrrrrrxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx.2.给定向量组121,1,1,1
6、,1,1,1,1,TT32,1,2,1T，41,1,1,1,T求1234,的一个最大无关组和向量组的秩.可见1234,3R ，124,是一个最大无关组。列向量作行变换,行向量作列变换四、设1122123122,3,验证：123,线性相关.（8 8 分）分）解：设有一组数123,k k k使得1122330,kkk则若12,线性相关时，显然123,k k k不全为零，则123,线性相关.若12,线性无关时，可得到1231232030kkkkkk，23R A，方程有无穷多解，123,k k k不全为零，则123,也线性相关.这个证明中,“(若12,线性相关时，)显然123,k kk不全为零”这点是
7、需要说明的,不该用“显然”含混过去.事实上可以不考虑12,线性的相关性,只需要说明方程组1231232030kkkkkk有非零解.例如可取1234,5,3kkk,而有1231212124534 25330.-第 4 页证法二:123,可由较少向量线性表示,从而是线性相关的.(p56 引理 2.1).引理引理 2.1 设向量组12,s 可由向量组12,r 线性表示.如果sr,则12,s 线性相关.五、已知122212221A，求1A及1*A（1010 分）分）解：解：213122122122212036270,221063rrrrAA 可逆.利用初等行变换，可见112212129221A由于1A
8、AAA AA EAA，所以1*122121227221A.开头的求270 A这一步是多此一举.对|A E作行初等变换时,若A不可逆;大矩阵的左半部将出现某一行全为零的情形,这说明A是降秩的.六、设线性方程组1232123123424xxxxxxxxx 当等于何值时，（1）无解；（2）方程组有惟一解；（3）有无穷多解，并求出此时方程组的通解.（1212 分）分）解：对方程组的增广矩阵作初等变换可见1.当1 时，3,2R AR A方程组无解；2当1 且4 时，3R AR A，方程组有唯一解；3当4，23R AR A，方程组有无穷多解。有2141211441144103002280114011400
9、0000000000rrr -第 5 页对应的方程组为132334xxxx，令30 x，得到非齐次方程组的特解为040 ，令31x 时，对应的齐次方程组的基础解系为311，则得到通解为,XkkR.七、求一个正交变换XPY，把下列二次型化为标准形22212312323,4233f x x xxx xxx（1313 分）分）解：易知二次型的矩阵为400031013A，则A的特征值为1234,2.当124时，230000004011000,011011rrAE 即23xx取1310,01xx ，得到基础解系为12100,101 ，再单位化有120110,2012 .当32时，322002002011011,011000rrAE 令31x，得 到 基 础 解 系 为-第 6 页3011，再单位化有201212，于是12310011,02211022P 是一个正交矩阵，且满足1442TP APP AP，所以取正交变换XPY，得到