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1、数字信号处理教程课后习题答案目录第一章离散时间信号与系统第二章 Z变换第三章离散傅立叶变换第四章快速傅立叶变换第五章数字滤波器的基本结构第六章无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法第七章有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器的设计方法第八章数字信号处理中有限字长效应第一章离散时间信号与系统1 .直接计算下面两个序列的卷积和y(n) = x()*h(n)、a, 0 n N0，其他/ 、 J p 。，。 nx ()= j 0, g a Bm 3、1b。y(n) = x(n) * h(n) = 22%(/n)A(n m)(1)当 ()时y(n) = 0当oW4o+N-l时，部分重叠y(n)
2、 =，x(m)(-j?)m=n0=/=条七(m=n0P m=nQ(1)x()= 8 ()一(2)x()= R 式 n)如此题所示，因而要分段求解。:二,、u ； C、(3)x()= o ( - 2)(4)x()= 2w(-m-1)hn = 7?5(n) /?()= &() ()= 0.5&() h(n) = 0.5 u()y(n) =(n +1 - n0) , (a =,)2 .已知线性移不变系统的输入为x),系统的单位抽样响应 为h(n),试求系统的输出并画图。分析:=aB-p O n+l-N-n0(a h 尸)当一趴鳍置一?尸y(n) = x(m)h(n -m) aa+ _ 0。,a 工m
3、-n-N+y()= Na”。， (a = )如果是因果序列y()可表示成y()= y(0), y，y(2),例如小题(2)为y()=l, 2, 3, 3, 2, 1);3()* x()= x(), 3(n - m)*x(n) = x(n m);卷积和求解时，的分段处理。解:(1) y(n) = x(n) *h(n) = R5(n)(2)歹() = x() *() = 1,2,3,321(3) y(n) = 3(n - 2) * 0.5 &() = 0.5n-2 R3(n - 2)(4) x(n) = 2nu(-n -1) /z() = 0.5u(n)二11当 20 y(n)= Yo.5n-m2
4、n, =-2-nm=oo34当 一1 y(n)= 0.5一2加=二2/H = -0033 .已知h(n) = anu(-n-l) , 0al ,通过直接计算卷积和的办法，试确定 单位抽样响应为()的线性移不变系统的阶跃响应。解： x(n) = u(n)h(n) = anu-n - 1) , 0 a 一1时 y(n)= Ya,n = - a4 .判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的，试确定其周期：(a ) x(n) = A cos( n -)7813八卷一星)(b) x(n) = A sin( y n n ) (c) x(n) = e 6分析：序列为 x(n) = A cos( conn
5、 + )或x()= Asin(coQn + -)时，不一定是周期序列, 当21I CD o =整数，则周期为2乃/ 69 0;当红= ,(有理数尸、。为互素的整数)则周期为Q； % Q当2%/0=无理数，则x()不是周期序列。解：(a)x()=/cos(学 一看) 782%/a)0 = 21/爷=号.是周期的，周期为14。(b)x()= A sin(5加)24/阳)予2乃小)(C”.续周朝祢周期肾女F)+ /sm(不一%)n . . n=-cos 一一 /sin -7662乃/=12乃 T是无理数5.设系统即国跚%:y(n) = ay(n - 1) + x(n)其中x()为输入，y()为输出。
6、当边界条件选为(1)歹(0) = 0义-1) = 0试判断系统是否是线性的?是否是移不变的?分析：已知边界条件，如果没有限定序列类型(例如因果序列、反因果序列等), 则递推求解必须向两个方向进行(n 2 0及n0处递推，y1(l) = ayl(0) + xl(l) = 0%(2)=) +(2) = 0%()=研(-1) + X ()= 0y (n) = 0 , /? 0源向 0处递推， 按 y2(n) = ay2 (n - 1) + x2(n)J2(,)= y2(0) + x2(l) = l 为=。为+七=。 I I% () = ay2(n-Y) + x2(n) = ar. y2(n) = a
7、)向 0处递推尔1)=%(0) +3。) = 1 y3(2) = ay3(l) + x3(2) = a % (3)=%(2) + %=/ I I I% ()=。乃( - 1) + 必()=an-1 ，丁3()=。-1,N1)向“0处递推%(-1) = %(0)一%(0)= -%(一2)=箝3(T)一 巧(- 1) = -a-2 I I Iy3(n) = -y3(n + l)-x3(n + l)=一。”,72 (%)k=nmn-my(n-m)= (左)即 Tx(n - a) w y(n - m)系统不是移不变的。解：(3)Tx()= x(n - n0)T ox ()+ bx 2 ()=ax.Cn
8、 - n0) + bx 2(n - m0)=aTX(n) + bTx2(n)8.以下序列是系统的单位抽样响应加)，试说明系统是否是(1)因果的，(2)稳定的？-y ()(2)n(3)(4)3(一)(5)0.3()(6)0.3(一一1)(7)8 5 + 4)分析：Yh(n)=M oo注意：0! =1,已知LSI系统的单位抽样响应，可用-来判断稳定性，用h (n) =0, n0来判断因果性。解：(1)当 0时，力()=0, 是因果的。E I 6() 1=白+ 土+ =8,/.不稳定。(2)当 0时,A(n) = 0,是因果的。 1 1=1 +1 +.2*1 3*2*1.,1 1 1o 1 + 1
9、+ + - d+=32 4 8:,稳定。(3)当 0时，()=0,是因果的。8I h(n) | = 3 4- 31 + 32 +.=oo n=-co 不稳定。(4)当 0时，()中0, 是非因果的。82Zl()|= 3 + 3-1 +3-2 + . = - H 00J.稳定。(5)当” 0D寸，A(n) = 0,.系统是因果的。8If)21 A(/j) 1 = 0.3 +0.31 +0.32 +. = =-7系统是稳定的。(6)当0时，()w0 系统是非因果的。00|人()| = 0.37 +0.3- + =8 n=co二系统不稳定。(7)当 0时，h(n)* 0系统是非因果的。f ()1=
10、1n = -oo系统稳定。9 .列出下图系统的差分方程,并按初始条件y()= 0 , n 0,求输入为x()= () 时的输出序列歹()，并画图表示。分析：“信号与系统”课中已学过双边Z变换，此题先写出H(z)然后利用Z反变换 (利用移位定理)在时域递推求解；也可直接求出序列域的差分方程再递推求 解注意输入为u(n)。解：系统的等效信号流图为:则由梅逊公式可得:这 = =-X(z)4 4y(n) - y(n -1) = 4x()+ 4x( - 1) y() = y(n - 1) + x(n) + x(n -1) y(0) = p(T) + x(0) + x(-l) = l(l)=|y(0) +
11、 x(l) + x(0) = 2 + 1义2) = a+ x+ x= 2(1 + ) +)2X3) = 1y(2) + x(3) + x(2)= 2(“ + +)+ )3y(n) = !( - 1) 4- x() + x( -1)= 2(1+ + .+ )1) + )=专 U()10 .设有一系统，其输入输出关系由以下差分方程确定 y() - g y(-1) = x() + g x( -1)设系统是因果性的。试求：(a)该系统的单位抽样响应；(b)由(a)的结果，利用卷积和求输入双)=6.%()的响应。分析：小题(a)可用迭代法求解小题(b)要特别注意卷积后的结果其存在的n值范围解：yn -
12、1) = x(n) + yx(w - 1)(a) x(w) = 8ny(n) = h(n) = 0 (n 0)力(0)=3(-1) + x(0) + (T) = 1力=yJ(0)+ X(l) + yX(0)=1+=1 2 2以2)=3 + X + yX(l) = yM3) = 1j(2) + x + 1x(2) = (1)2()= y(n -1) + x() + ； x( - 1)电r;.()=(；) “(-1)+()S)y(n) = x(n)*h(n)=.(；)T(“-l) + b() *e7w,w(w)=(),_|h(w-1) *ejoju(n) + eJ(ou(n)=产7建(-%( -1
13、) + 屋() m=l 21 加 _ 1(1) e-a(+D=2ej(on 22w(/7-l)i_ 1小1 2e+ ejo)nu(n)eJ(o(n-) _An co=M(n-1) + e7y/,w()1一”。ejan _(I)”=-u(n -1) + ej(onu(n)pjs211.有一理想抽样系统，抽样频率为。, =6肛抽样后经 理想低通滤波器“(/Q)还原其中：|。|3万“(阳)=21 10,倒 3万今有两个输入%=cos27f,xfl2(r) = cos 5-1,问输出信号居),九2 (f)有无失真？为什么？分析：要想时域抽样后不产生失真的还原出原信号，则抽样频率(工)必须大于 最高信号
14、频率(工)的2倍，即满足工2人。解：根据奈奎斯特定理可知：,.txai(/) = cos2Z,频谱中最高频率。 =2%萼=3%加失真。12 .已知一个线性时不变系 统的 单位抽样响应h(n)除了区间 N。W W之外皆为零；又已知输入信号 x(n)除了区间 N ? & n & N、之外皆为零；如 果假设输出信号 y()除区间 N4 n N 之外 皆 为零，试以N 0, N、，N 2 , N 3裴示N 4 , N 。y() = Z%(加)万( 一加)Kr m v分析：由于“、可知x()的非零范围为M 4加4、3,h (n-m)的非零范围为N。 Ni。解：按照题意，在区间NWWM之外单位抽样响应 双
15、)皆为零；在区间 N2nN3之 外 输 入 x() 皆 为 零，因此 丁()= 、()/?(-“)，由(“)的非零空间为 mN 2 m N 3 h (n - m )的非零空间为N0n-mNl将两不等式相加可得：乂+小+M，在此区间之外，h(n-k)和x(口的 非零抽样互不重叠，故输出皆为零。由于题中给出输出除了区间刈之外 皆为零，所以有：N4 = Nq + n2 n5= a313 .一个具有下列有限长单位抽样响应力()的系统：45) = 0,0),请证明：如果|x()区4,则输出的界N-1值为I y()区81 ()I,同时请证明 及()|可能达到这个A=0界值，即寻找一个满足|x()区3的序列
16、x()，使y()对N-1某些 n 值有 | y(n) |= b h(k) 。4=0N分析：题中要求某些值使|歹()| = 川(左)| ,最方便的是77 = 0时女=0n-y-i满足仅(0)| = b h(k),进一步看只要y(0) = b (左)|满足即可4=0斤=0由卷积和公式有N-1y(0) = h(k)x(k),即要求 x(k) = B=0h * (k)反)1也就是要求满足h * ()6，当一)HOx()= i|/7( -H)|0，当/(一)= 0证明：由于题中给出h(n) = 0 ,(n0 , N h(k)x(n -k)，而 k=0N-lI y(n) | (I h(k) | |一左)|
17、 ),k=Q若IM-2)K 3则输出的界值N-|y()区821加左)1，为达到这个界值我们k=0凑一个序列6*(一)R DX(H)= ,*=0第二章 Z变换1 .求以下序列的Z变换，并画出零极点图和收敛域。(1) x()=以(|。| 1)(5) x(m) = n sin(tyon) , n 0 (g为常数)(6) x(n) = Ar cos(a)on + (P) w(n) ,0 r 1分析：Zx(/J) = X(z) = y x(/7)z*flZ变换定义n的取值是以)的有值范围。Z变换的收敛域 是满足00Z|x(n)z-w| = A/ oo=oc的Z值范围。解：(1)由Z变换的定义可知：X(z
18、)= fa!-+az-=-oow=aon=0008= Zaz +ZdZ-/i=ln=0az 11 - a2=+-az - (l-az)(l-az-1)z二(-l)za(z)(z -a)收敛域：同1,且已1即：同目5 |z|a极点为：z = a, z =- 零点为：z = 0,z = 00 a解：(2)由z变换的定义可知:X(z)= n =co 2. x()=I ()收敛域:极点为:i1 1 2零点为一=。(3)x()=-nu(n 1)解：(3)X(z)= f2口=口 2oog=-2z =-一n=11 NZI1 It1Z2收敛域：|2目1即：|z|g1极点为：z =零点为：z =。2(4)x(w
19、) = ,(n 1)8 1 力解：(4) X(z) = Z ，Z n n=n|2-| 1.空4X(z) = lnz- ln(l - z) = In Z1-z因为X(z)的收敛域和0的收敛域相同, az故X(z)的收敛域为|z|L极点为：2 = 0, 2 = 1零点为：Z = 8(5)x(/?) = sino/7 0(g为常数)解：(5)设 y(n) = sin(on) - w(n)则有 丫(z) = y(n)-z-n = ng_=_/1 2z cos g + z而 x(w) = n - y(n)皿、 d v,、 z”(l-z-2)sing.A(z)=-zY(z) =dz (l-2z cosl极
20、点为：z = ej0z = e-j (极点为二阶)零点为：z = 1, z =-1, z = 0, z = 8(6)x() = Ar cos(00” + ),0 rl-2z-1 cos6y0+z-21 一 2z-i cosg +z则 Y(z)的收敛域为 |z|l 而 x() = Arn - y()/. X(z) = A-Y(-)=jlcos z 1r cos(0 - g)i o -I.2 -21 - 2z rcos + 尸 z则X(z)的收敛域为：目 卜|。2.假如尤()的z变换代数表示式是下式，问X(z)可能有多少不同的收敛域。1-2X(z): 一j%(1 + /2)( +44-2z-, +
21、-Z-2)8分析：有限长序列的收敛域为：0特殊情况有：0v|z|8，胃之0右边序列的收敛域为：/?,_ 因果序列的收敛域为：R.I &+， 4 2 + , nn2 00 |z| oo , n20|z|n|z|oo ,NO左边序列的收敛域为：0|z| 特殊情况有：|z|H双边序列的收敛域为：|z|RX+有三种收敛域：圆内、圆外、环状( = 0, z = 8要单独讨论) 解：对X亿)的分子和分母进行因式分解得(1_:ZT)( +:ZT)X(z)= -j2j23(1 + Z-2)(1 + Z-)(1 + 2Z-|)4241 - - Z-, _ 2113(1 + /ZT)(1-/ZT)(1 + ：Z“
22、)X(Z)的零点为：1/2 , 极点为：j/2 , -j/2 , -3/4 . X(Z)的收敛域为:(1) l/2|Z|3/4,为双边序列，请看图形一(2) | Z | 3/4 ,为右边序列，请看图形三3.用长除法，留数定理，部分分式法求以下X(z)的z反变换|z|- (2) X(z) =j-2I-21-lz- + -S-144z - a(3)X(z) = -一1 az分析：长除法：对右边序列(包括因果序列)(z)的分子、分母都要按 Z的降塞排列，对左边序列(包括反因果序列)(Z)的分子、分 母都要按Z的升幕排列。部分分式法：若(z)用z的正基表示，则按写成部分分 式，然后求各极点的留数，最后
23、利用已知变换关系求z反变换可得 X (/7)O留数定理法：(1)注意留数表示是Res(X(z)zT= (z-zk)X(z)zn- z-zk因而X(z)zT的表达式中也要化成l/(z-z)的形式才能相抵 消，不能用1/(1 -Z*Z-I)来和(Z-Z*)相抵消，这是常出 现的错误。(2)用围线内极点留数时不必取“-”号(负号)，用围线外极点留 数时要取号(负号)。(1) (i)长除法:1 _ J-z-X(z)= f-=1 -z1 + -z42极点为2 = -1/2,而收敛域为：|21/2,因而知x()为因果序列，所以分子分母要 按降幕排列, i -I ,1-2I Z + z 241 + -Z-2
24、)1z2-ZZ24-2所以: U ( )Xz(I) (ii)留数定理法:一J-zn-dz,设 C 为 1+-Z-12目g内的逆时针方向闭合曲线:当之0时，-J-zT =二z在 C 内有i+L-i z+2z = -5一个单极点则 x(n) - Rcs|,n0由于是因果序列,故 0时，xn = 0所以x(n)=-w(h)(1) (iii)部分分式法：1LN1X(z) =y=i11 一2 1 I _IZ l HZ42因为储所以,()(2) (i).长除法：由于极点为Z = L而收敛域为|zl- 414因而x()是左边序列，所以耍按z的升幕排列：8 + 28z + 112z + 2 8z7z7z-28
25、z228z228z2-112z3%(z) = 8 + 28z + 112z2+.= 8 + 7-4 -zn=l-1=8+ 7.4-，-“=-00所以 x() = 8a) + 7(n u(-n-l)(2) (ii)留数定理法：x() = fx(z)zT&设c为z,内的逆时针方向闭合曲线当 。时：X(z)zi在c外有一个单极点z = L.x()= -ResX(z)zT Z-4=7-(1)n, (0时：X(z)zi在c内无极点则：x()= 0,0综上所述，有：x(n) = 8S() + 7(；) u(-n -1)(iii).部分分式法：X(z) _ z-2 _ 8.7z ,1、 z 1z，)zy77
26、7贝 IJ x(z) = 8 - = 2,-!z- az4因为|z|J可知,x()为 aa因果序列，因而要按z的降暴排列：11 z1、t 1 /1、-2+ (。)z + (a)z + aaa cra-qz + jz-a1zg, 1、 -(a-)a/1 1/1、t一(。)d (a)za a a11贝ij X(z)= 一，+.za =i a 所以(ii).留数定理法：x(w)=一jX(z)z“dz ,设 c 为目 , 2可a内的逆时针方向闭合曲线。当 0时：X(z)zT在C内有Z = L 一个单极点 ax() = Resx(zLzJ“ a1 z-a n-l=-Za1z-1Laz Ja=(a - -
27、) f | , ( 0) a ya)当 =0时：X(z)z7在c内有z = 0,z =，两个单极点ax(0) = Resx(z)zT Ll + Res* r=0a11=aa =aa当 o时 x() = 0,问相应的定理是什么？719_X( = )=七彳z1 - -z-1 + Z2讨论一个序列x(),其z变换为:X(z)的收敛域包括单位圆，试求其x(0)值。分析：这道题讨论如何山双边序列Z变换X(Z)来求序列 初值x(0),把序列分成因果序列和反因果序列两部分, 它们各自由X(z)求x(0)表达式是不同的,将它们 各自的x(0)相加即得所求。解：当序列满足nO,x(n) = O时，有：0X(z)
28、= Zx()z-n=-oo=X(0) + x(-l)z + x(-2)z-2 + .所以此时有：lim %(z) = x(O)0若序列x()的Z变换为:19z24(z - 2)(z -；)719 .X(z)= 12 24 z13 -21Z + Z2+=(z) + X2 (z)4 (z-2) a ,1、 W 2 一3 ( z)2X(z)的极点为 Z = 2, z2山题意可知：X(Z)的收敛域包括单位圆则其收敛域应该为：1 |z|0ztO 4(z 2)x2(0) = lim X2(z) = lim=，e “3(z J 32x(O) = X1(O) + x2(O) = -关系是:6 .有一信号y（）,它与另两个信号X（）和工2（）的y(n) = X ( + 3) *%2( 一 + 1)其中=w()已知Zanu(n) = -)- 1 - az，目则利用z变换性质求y（）的z变换y（z）。分析：(1)注意移位定理：x()X(z)x(-n) X(z-)x(n + m) zm Xz x(-n